Sesión 14.1

1. Sesión 14.1 Cónicas: Hipérbola

2. Consideraciones previas Las hipérbolas y las señales de radio son la basedel sistema LORAN (Long Range Navigation – Navegación de Largo Alcance). Es un sistema de ayuda a lanavegación electrónicohiperbólico que utilizael tiempo transcurridoentre la recepción de señalesde radio transmitidas desdetres o más transmisores paradeterminar la posición del receptor.En la actualidad se usa el GPS (Sistema de Posicionamiento Global)

3. y x = -a x = a P(x,y) Vértice Eje focal Vértice x o F2(-c,0) F1(-c,0) Foco Foco Centro La hipérbola Es el conjunto de puntos en el plano, cuya diferenciade sus distancias a dos puntos fijos del plano (focos), es constante. La recta que pasa por los focos es el eje focal.El punto medio entre los focos es el centro. Los puntos donde la hipérbola se interseca con sueje focal son los vértices. d(P; F1)– d(P; F2) = ± 2a

4. V1 V2 -c c a -a F1 F2 Del triángulo: c b a Elementos de la hipérbola y b x -b c2 = a2 + b2 Longitud del eje transversal o focal: 2a Longitud del eje conjugado: 2b

5. y y F1 c b a V1 c a -a -c -b b x F2 Eje focal F1 V1 V2 -a V2 -b -c F2 Eje focal Ecuación de la hipérbola x

6. Ejercicios • Determine los vértices y los focos de la hipérbola9x2 – 16y2 = 144 • Determine la ecuación de la hipérbola con focos(0; -3) y (0; 3) y cuya longitud del eje conjugadoes 4. • Determine los vértices, los focos y las ecuaciones • de las asíntotas. Trace la gráfica

7. Hipérbolas con centro (0;0) Ecuación estándar Eje focal Focos Vértices Semieje transversal Semieje conjugado Relación pitagórica Asíntotas Eje x (c; 0) (a; 0) a b Eje y (0; c) (0; a) a b

8. (h, k + c) (h + a, k) (h - a, k) c c (h, k + a) a b (h + c, k) (h – c, k) b a y y Eje focal y = k (h, k) x (h, k - c) x (h, k) (h, k– a) Eje focal x = h Traslación de hipérbolas

9. Hipérbolas con centro (h, k) Ecuación estándar Eje focal Focos Vértices Semieje transversal Semieje conjugado Relación pitagórica Asíntotas x = h (h; k  c) (h; k  a) a b y = k (h c; k) (h a; k) a b

10. Dada la ecuación Halle el centro, los vértices y las ecuaciones de las asíntotas. Con la información obtenida grafique la curva . Ejercicios • Determine la ecuación de la hipérbola cuyo eje transversal tiene sus puntos finales en (-2; -1) y (-8; -1), y cuya longitud del eje conjugado es 8. • Determine el centro, los vértices y los focos de la hipérbola. Grafique

11. Modelación Las hipérbolas y las señales de radio son la basedel sistema LORAN (Long Range Navigation – Navegación de Largo Alcance). Se conoce que las señales de radio viajan a 980 piespor microsegundo, donde un microsegundo (1s)es 10-6 s. P A, B y C son los focos de las respectivashipérbolas. La posición P se logra conla intersección de lashipérbolas, respecto a unorigen arbitrario (A, B o C).

12. Modelación Simultáneamente se envían señales de radio deunos transmisores A, B y C. C está a 100 millas alnorte de A y B está a 80 millas al este de A. El receptor LORAN del barco Laureate Inc., recibela señal desde A 323,27s después de recibir laseñal desde C y 258,61s después de recibirla desdeB. ¿Cuál es la dirección y la distancia en millas del barco con respecto a A? Nota: considere la posición de A = (0; 0) una milla = 5280 pies

13. Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios: 12, 14, 16, 36,38 y 50 de la páginas 663 y664. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.