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七大世纪难题之一 ： P = NP ？

学术报告. 七大世纪难题之一 ： P = NP ？. 郝克刚 2006.11. 西北大学 信息学院 计算机科学系 软件工程研究所. 本报告的目的。. 最近七大世纪难题之一的庞加莱猜想获得证明，引发了人们对解决世纪难题的兴趣。 在美国克莱数学研究所 2000 年提出的，每个悬赏 100 万美元大奖的七大世纪难题中，有一个计算机科学问题，这就是“ P = NP ？”问题。 现在就要求很多同学们去研究和解决这个难题，显然是不现实的。但是作为一个从事计算机专业的学生应当知道、了解和关注这个世纪难题的解决，这就是本报告的目的。. 提纲. 庞加莱猜想最后得到证明。

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七大世纪难题之一 ： P = NP ？

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  1. 学术报告 七大世纪难题之一 ： P = NP ？ 郝克刚2006.11 西北大学 信息学院 计算机科学系软件工程研究所 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  2. 本报告的目的。 • 最近七大世纪难题之一的庞加莱猜想获得证明，引发了人们对解决世纪难题的兴趣。 • 在美国克莱数学研究所2000年提出的，每个悬赏100万美元大奖的七大世纪难题中，有一个计算机科学问题，这就是“P = NP ？”问题。 • 现在就要求很多同学们去研究和解决这个难题，显然是不现实的。但是作为一个从事计算机专业的学生应当知道、了解和关注这个世纪难题的解决，这就是本报告的目的。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  3. 提纲 • 庞加莱猜想最后得到证明。 • 克莱数学研究所 七大世纪难题。 • 七大世纪难题之一： P 与 NP 问题。 • 问题涉及的几个基本概念 • 命题逻辑的可满足性问题 • 图论中的一些问题 • P 同构的概念 • 多项式界限的谓词分层 • 试图证明的线索和方向 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  4. 庞加莱猜想证明“最后封顶” 。 • 哈佛大学教授、著名数学家丘成桐教授6月3日在中国科学院晨兴数学研究中心宣布， 七大世纪数学难题”之一的庞加莱猜想，近日被中国科学家——中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学讲席教授曹怀东完成“最后封顶”工作，给出了完全证明。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  5. 庞加莱猜想（Poincare Conjecture） • 亨利•庞加莱（Henri Poincaré）在1904年发表的一组论文中提出： • 任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。every simply connected closed 3-manifold is homeomorphic to the 3-sphere 法国数学家（1854—1912) 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  6. 庞加莱猜想（Poincare Conjecture） • 简单来说就是：每一个没有破洞的(单连通的)封闭三维曲面，都拓扑等价于三维的球面。 • 单连通要求所有曲面上的封闭曲线都可以收缩成一点 ， • 以二位流型解释，例如轮胎面不是。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  7. 亏格0 亏格1 亏格2 亏格4 曲面的亏格 • 曲面的亏格是环柄的数目 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  8. 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  9. 庞加莱猜想的证明 • 1960年美国数学家斯梅尔(S.Smale)跨过这个极难的维数,进而推广到n>3维.并证明了五维及五维以上的庞加莱猜想 , 因此荣获1966年菲尔兹奖. • 1982年,美国数学家弗里德曼(M.Freedman) 证明了4维庞加莱猜想,为此他荣获了1986年菲尔兹奖. • 1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。汉密尔顿研究Ricci流 ， 1993年在丘工作的基础上，发表了一篇关于理解奇点的重要论文。 • 2002年11月俄罗斯数学家格里高里. 佩雷尔曼(Grigory Perelman) 发表他的证明，此后他陆续将一系列的研究报告发表在国际著名的数学网站上。目前国际数学界众多专家都已经注意到他的研究成果， 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  10. 庞加莱猜想的证明（续1） • 从去年9月底至今年3月，朱熹平和曹怀东应邀前往哈佛大学，以每星期3小时的时间——连续20多个星期——向包括哈佛大学数学系主任在内的5位数学家进行讲解，回答问题。在美国出版的《亚洲数学期刊》6月号以专刊的方式，刊载了长达300多页的长篇论文。 • 2006年6月3日，丘成桐教授３日在中国科学院晨兴数学研究中心宣布，中国科学家朱熹平教授和曹怀东教授完成“最后封顶”工作，给出了完全证明。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  11. 旅美数学家、清华大学讲席教授曹怀东 中山大学 朱熹平教授 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  12. 佩雷尔曼获得费尔兹奖 • 庞卡赫猜想日前已经正式确认由俄国天才数学家佩雷尔曼所破解。因为这项成就，佩雷尔曼获得有「数学界诺贝尔奖」之称的费尔兹奖。 • 但当国际数学联盟试图与佩雷尔曼联络时，佩雷尔曼不但拒绝出席，而且还消失无踪。这项奖定在8.22于西班牙马德里举行的年会上颁发，得奖人拒绝现身，使大会出现「有奖无得主」的尴尬场面。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  13. Grigori Perelman refused the Fields Medal. Grigori Perelman, from Russia, who was awarded with a prestigious Fields Medal at the International Congress of Mathematicians in Madrid, Tuesday, Aug. 22, 2006， but he refused the award. 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  14. John Ball, president of the International Mathematical Union, said that he had urged Perelman to accept the medal, but Perelman said he felt isolated from the mathematics community and "does not want to be seen as its figurehead." • "I regret that Dr. Perelman has declined to accept the medal," Ball said. • Perelman's work is still under review, but no one has found any serious flaw in it, the math union said in a statement. 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  15. 争论：3个小组中的每一个都对检验佩雷尔曼的工作做出了重要的贡献？ • 汉密尔顿的评价:“曹怀东与朱熹平最近在佩雷尔曼等的工作基础上，给出了猜想证明的一个完整与详细的描述。我很高兴这两位Ricci流领域里的杰出学者所写的这篇文章。他们引入了自己的新思想，使得证明变得更容易理解。” • 5月25日，密歇根大学的布鲁斯·克莱纳(Bruce Kleine)和约翰·洛特(John Lott)，把名为“佩雷尔曼论文注记”(Notes on Perelman‘s Papers)的192页文章放到了arXiv网站上。 • 2006年5月，摩根和田刚合作完成的书稿提交给了克雷数学研究所，并在7月25日把这本473页的书放到了arXiv网站上 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  16. 澳洲华裔陶哲轩获菲尔兹奖 • 继数学家丘成桐后，成为第二位获得此数学最高荣誉的华人。 • 1975年生于澳洲，是数学神童，21岁即于普林斯顿大学获博士学位，24岁成为美国加州大学洛杉矶分校教授。 • 由于他对偏微分方程、组合数学、混合分析和堆垒素数论有莫大贡献。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  17. 克莱数学研究所与七大世纪难题。 • 美国麻省剑桥克莱数学研究所(The Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts (CMI) ) • 2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布，该机构设立了七个被称为“千僖年数学难题”巨奖，为每道难题悬赏奖金一百万美元。 • 一百年前 1900 年 8月，David Hilbert在巴黎第二届 国际数学大会上的著名报告中提出了当时未解决的 23 个世界难题。例如Hilbert 第十问题。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  18. 七大世纪难题。 • Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture贝赫和斯维讷通－戴尔猜想。 • Hodge Conjecture霍奇猜想； • Navier-Stokes Equations纳维叶－斯托克斯方程的存在性与光滑性； • P vs NP P 与 NP 的关系问题； • Poincaré Conjecture庞加莱猜想； • Riemann Hypothesis黎曼假设； • Yang-Mills Theory杨－米尔斯理论； 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  19. 世纪难题之一 ： P 与 NP 关系问题。 • 即在多项式时间界限下，确定的图灵机器和非确定的图灵机器所接受的语言类是否相同的问题。 • 问题涉及的几个概念。 • 图灵机器 ( Turing Machine) 和 非确定（ nondeterministic ）图灵机。 • 多项式函数时间。 • 图灵机器所接受的语言类 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  20. 阿伦·图灵（Alan Turing） • 图灵出生于1912年，1930年入剑桥大学学习数学，1934年他22岁时，在国王学院(Kings College)完成了学位论文。 • 他的1936年的论文：论可计算数及其在不可判定问题中的应用，证明了数学不可能用计算机完全建模。 • 他在论文中提出的后来称之为图灵机器的概念，成为电子计算机诞生的理论基础。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  21. 图灵机器 ( Turing Machine) 。 • 符号表Γ：{s1,…,sn},输入符号表Σ⊆ Γ, b∈Γ- Σ • 状态表Q：{q1,…,qm}, q0, qa ∈ Q • 一条两个方向都是潜在无穷长的由格子组成的带子。 • 一个读写头，可以读所指格子上的符号，并按下述规则根据所指的符号和读头的状态做动作：在所指格子上写一符号，读头变换状态，读头位置保持不动(H)，左移(L)或右移(R)一格。 • 一组形如下式的规则： • si,qj  sk,ql,d. 其中 d=H,L或R. 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  22. M 接收的字和语言 • 我们说M 接受字w ，如果把字w 放在 M 的带子上，以开始状态 q0运行，最后在终止状态qa 结束计算。 • 也就是说，如果 M 在其他状态结束计算，或计算不终止，则M不 接受字w 。 • 字母表Σ上的被M 接收的语言，记作 L(M), 定义为： L(M) = { w∈Σ*. | M 接受字w } 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  23. 非确定的图灵机 ( Turing Machine) 。 • 符号表、状态表、潜在无穷长的带子以及读写头都与确定的图灵机相同，不同的是： • 它的规则形如下式： si,qj  sk1,ql1,d1 | …… | skk,qlk,dk • 在非确定的图灵机的执行中，每一步后的状态是非确定的，有多种可能。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  24. 多项式时间运行 • 用 tM(w)表示 M 在输入字 w 上的计算步数. 如果计算不停机，则 tM(w) = ∞. • 用 TM(n)表示 M 对所有长度等于n（ n ∈N ）的输入字的最坏的计算时间，即 T M(n) = max{ t M(w)| w ∈Σn } 其中 Σn是Σ上长度等于 n 的字 ， • 如果有 k使得对于所有的 n, TM(n)≤ nk. 我们称M 以多项式时间运行（M runs in polynomial time 。） 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  25. 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  26. 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  27. N上函数的序 • N上函数 如果存在充分大的 k ，使得对于所有的 n>k，均有 f(n)>g(n) 则称 g  f c  c1x+c0 c2x2+c1x+c0  ……  cnxn+……+co x(n+1)  ……  2n 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  28. 可计算性和实际可行性(feasible) • 由三十年代发展起来的图灵机器理论、递归函数理论等为“可计算”这个概念给出了一个确切的数学定义， • “多项式时间有界的图灵机器” 刻划了“实际可行的 (feasible) 算法”直观概念。Feasibility Thesis: A natural problem has a feasible algorithm iffit has a polynomial-time algorithm. • “P = NP?”问题：“在多项式时间界限下，确定的和非确定的图灵机器是否具有同等的功能？” 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  29. 有些确定的和非确定的机器的功能相同 如果不加多项式时间的限制， • 确定的和非确定的图灵机的功能是相同的，它们所接受的语言都是递归可枚举集。 • 对于有穷自动机来讲也是相同的，它们所接受的语言都是正则集合。 • 如果对图灵机加上空间的限制， • 在多项式空间界限下，确定的和非确定的图灵机也具有同样的功能。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  30. 有些确定的和非确定的机器功能不同。 • 并不是在所有情况下，确定的和非确定的机器都具有同样的功能。 • 例如，对具有一个下推存贮的有穷机器来讲两者的功能是不相同的， • 非确定性的下推自动机所接受的语言是上下文无关语言， • 而确定的下推自动机所接受的语言却是上下文无关语言的一个真正的子类。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  31. “P = NP ?”问题的回答有两种可能 • “P = NP ?”问题：“在多项式时间界限下，确定的和非确定的图灵机器是否具有同等的功能？” • 回答有两种可能，一种是肯定的回答，一种是否定的回答。这两个方面都有人在作努力，比较多的人倾向于后一种回答。 • 这个问题的提法相当清晰，但是要解答这个问题却不容易。当代很多有名的计算机科学家都研究了这个问题，问题至今仍未解决，而且愈来愈觉得是相当困难的。解决这个问题似乎需要在方法上有重大突破 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  32. 上世纪70年代有重大突破--NP完全问题 • S. A. Cook (1971)[1]和R. M. Katp (1972)[2]首先提出了P归结的概念，证明了任何多项式界限下非确定图灵机器接受的语言都可以P归结为命题逻辑公式的可满足性问题。 • 也就是说命题逻辑公式的可满足性问题是NP完全的。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  33. L1 f(L1) L2 P 归结 • 定义（P 归结）: 假定 L1， L2分别是 Σ1和Σ2上的语言。如果存在一个多项是时间可计算函数f : Σ1 * →Σ2* ，使得对所有 x ∈ Σ1 *，有 x ∈ L1当且仅当 f(x) ∈ L2 ，则称语言L1可以P 归结为语言L2， • 定理 设语言L1可以P 归结为语言L2。如果L2 ∈ P 则 L1 ∈ P 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  34. NP完全的定义 • 定义我们称L0是NP完全的，如果满足条件： （1） L0 ∈NP （2）对于NP中的任何语言L，L都可以P归结为语言L0。 • S. A. Cook证明了命题逻辑公式的可满足性问题是NP完全的。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  35. NP完全概念的主要意义 • 定理. 令L0是NP 完全的，如果 L0∈ P，则所有属于NP 的语言L都属于P。从而P =NP，如果能证明 L0不属于P ，则P≠NP。 • 这就是NP完全概念的主要意义。即把一个一般的 P=NP 问题归结为一个具体的语言L0是否属于P 的问题。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  36. NP完全问题 • 后来证明了一大批问题都是 NP 完全问题。 • 命题逻辑的可满足性问题。 • 无向图的团集问题、离集问题和结点复盖问题 。 • 集合族的粘连问题，隔衬问题和集合复盖问题 。 • 有向图的环路边集问题和环路点集问题 • H 环路问题和销售员问题 ， • …… Minesweeper 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  37. 命题逻辑的可满足性问题和重言式问题 • 所谓命题逻辑的可满足性问题，是说任意给一命题逻辑公式(布尔表达式)，问此公式是否是可满足的。即问对此公式的变元是否至少存在着一组赋值，而使此公式取真值。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  38. 命题逻辑的可满足性问题 • 在对变元进行编码以后。可以把布尔表达式变成某给定字母表中的字，而所有表示可满足的布尔表达式的字的集合可以看作是此给定字母表上的一个语言L0 • 定理.命题逻辑的可满足性问题是NP完全的(Cook)。 • 定理. CNF（合取范式）型的布尔表达式的可满足性问题是NP完全的。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  39. 3－CNF (3-合取范式)的可满足性问题 • 定义.如果CNF中，每个合取因子(是个析取式)中的析取项数≦K，则称此表达式为K－CNF (K-合取范式) • 我们可以证明当K≧3时，可满足性问题是NP完全的。 • 定理. 3－CNF的可满足性问题是NP完全的。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  40. 重言式问题 • 我们注意对于一个布尔表达式，如果已化为析取范式(DNF)，则它的可满足性是很容易(在多项式时间界限内)确定的。关键在于这种DNF和CNF之间的转化一般需要指数函数的时间。 • 一个表达式是可满足的，当且仅当A是非重言式。若A是一个合取范式，则用对偶定理可以很快求出A的析取范式，因此很容易得出： • 定理.析取范式的非重言式问题是NP完全的。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  41. 图论中的一些问题：团集、离集、复盖 • 我们令G=<V, E>是一个有穷的无向图，V是结点集，E是边集。 • 定义. G 的结点集V的一个子集合，称为是一个团集，如果这个子集中的每对不同结点之间都有边连接。 • 团集问题是任意给定无向图G和正整数K，问此G中有无结点个数≧K的团集。 • 团集问题是NP完全的。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  42. G G’ 5 5 1 1 4 4 2 2 3 3 例如G中有K=3的团集({1, 2, 5}, {1, 4, 5})但没有K=4的团集； 而G’中只有K=2的团集({2, 4}, {1, 3}, {3, 5})但没有K=3的团集。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  43. 离集问题 • 定义。 G的结点集V的一个子集合称为是一个离集，如果这个子集中的每对结点之间都没有边相连接。 • 离集问题 是任意给定无向图G和正整数K，问此G中有无结点个数≧K的离集。 • 离集问题是NP完全的。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  44. G G’ 5 5 1 1 4 4 2 2 3 3 • 图G中有K=2的离集({2, 4}, {1, 3}, {3, 5})但没有K=3的离集， • 图G’中有K=3的离集({1, 2, 5}, {1, 4, 5})但没有K=4的离集。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  45. 结点复盖问题 • 定义。 G的结点集V的一个子集合称为是一个结点复盖，如果G的每个边都与此子集中某结点相连接。 • 结点复盖问题是任意给定无向图G和正整数K，问此图有无结点个数≦K的结点复盖。 • 结点复盖问题是NP完全的。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  46. G G’ 5 5 1 1 4 4 2 2 3 3 • 图G有K=3的复盖(如{1, 5, 3}, {1, 2, 4}, {5, 2, 4})，但没有K=2的复盖， • 图G’有K=2的复盖(如{2, 3}, {3, 4})，但无K=1的复盖。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  47. Minesweeper 挖地雷游戏 • 'Minesweeper is NP-complete', Mathematical Intelligencer volume 22 number 4, 2000, pages 9-15 NP 完全问题已经发现有上千个！ 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  48. P 同构 • Hartmanis 和 Berman(1976)引入了 P 同构的概念，提出了关于P 同构的必要充分条件，而且证明了这些已知的 NP 完全问题全是 P 同构的。这就更本质地揭示了这些问题的内在联系。 • 证明了很多不同领城的问题，包括逻辑演算、图论、规划论等领域组合问题，都是同构的，这就深刻地揭示了其中的内在规律性。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  49. P 同构的定义 • 定义. 语言L1 和L2 语言，称为是P 同构的。如果存在P 函数f : 和P函数 g : ，g和f互逆，而且： (由于g与f的互逆性，也可等价地写成为 )。 • 显然，如果L1和L2同构，则L1可以P归结为L2，L2也可以P归结为L1。 西北大学计算机科学系软件工程研究所

  50. 所有的NP完全问题都是同构的? • Hartmanis和Berman证明了许多已知的NP完全问题确实是都与可满足性问题同构，这就更深刻的揭示了NP完全问题之间的本质联系。 • 他们推测所有的NP完全问题都是同构的，但这只是一种推测，目前仍未得到证明。 • 如果能证明这一点，即等于证明了P≠NP。 • 目前还不能排除这样的可能性：P≠NP，又存在着不同构的NP完全问题 西北大学计算机科学系软件工程研究所

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