Il Teorema di Rolle
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Il Teorema di Rolle. Chi era Michel Rolle ?. Cosa dice il Teorema di Rolle?. Discussione. Ricostruisci e controlla. A cura della V A del Liceo Scientifico “Jacopone da Todi” di Todi. Torna al menu del progetto. MICHEL ROLLE.

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Presentation Transcript


Il teorema di rolle

Il Teorema di Rolle

Chi era Michel Rolle?

Cosa dice il Teorema di Rolle?

Discussione

Ricostruisci e controlla

A cura della V A del Liceo Scientifico “Jacopone da Todi” di Todi

Torna al menu del progetto


Il teorema di rolle

MICHEL ROLLE

Michel Rolle nasce a Ambert nel 1652. Dal 1685 è membro dell’Accademia di Parigi come “géomètre pensionnaire”. Fu uno dei matematici più abili del suo tempo, tuttavia si distinse per un atteggiamento critico verso i nuovi metodi del calcolo differenziale che si andavano allora affermando, dando luogo a vivaci polemiche con P. Varignon e Jean Bernoulli e fu al centro di alcune polemiche contro l’Hôpital sul concetto di infinito e contro la geometria di Cartesio. La sua fama è dovuta soprattutto al Teorema che porta il suo nome: Teorema di Rolle, da lui dimostrato nel 1691.

Le sue opere più importanti sono: “Traité d’algebre” 1690 e “Methode pour résudre les égalités” 1691.


Il teorema di rolle

TEOREMA DI ROLLE

Data una funzione qualsiasi f(x), continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in ]a,b[ vi è almeno un punto c dell’intervallo [a,b] dove la derivata della funzione si annulla.

  • IPOTESI:

  • f continua in [a,b]

  • f derivabile in ]a,b[

  • f(a) = f(b)

TESI:

Esiste almeno un punto c in (a,b) tale che


Il teorema di rolle

Dimostrazione:

  • Sia f(x) continua in [a,b], derivabile in ]a,b[ , tale che f(a) = f(b).

In virtù dell’ipotesi della continuità, vale il teorema Bolzano-Weierstrass, che ci assicura che esistono almeno un punto di massimo e un punto di minimo in [a,b].

  • Supponiamo che entrambi cadano negli estremi a e b dell’intervallo.

Ad esempio, se:

Max = f(a) e min = f(b), in virtù dell’ipotesi che f(a) = f(b), si ha che Max = min e quindi f(x) è costante in tutto l’intervallo [a,b]. Quindi f’(x) = 0 in tutto [a,b].


Il teorema di rolle

  • Supponiamo ora che almeno uno dei due, il massimo o il minimo, cada nell’intervallo ]a,b[.

Ad esempio, se:

Max = f(c), con c appartenente all’intervallo ]a,b[ ,allora il rapporto incrementale sinistro

mentre il rapporto incrementale destro è


Il teorema di rolle

Come si può notare dal seguente grafico:

RI-<0

RI+>0


Il teorema di rolle

In virtù dell’inverso del Teorema della permanenza del segno ne segue che, il

lim

lim

≥ 0

≤ 0

e

E in virtù dell’ipotesi della derivabilità, i due limiti devono essere uguali e quindi:

0

=

lim

=

lim


Il teorema di rolle

Discussione

Esaminiamo le ipotesi del Teorema di Rolle e analizziamo cosa accade se cadono le ipotesi.

Cosa succede se cade l'ipotesi di continuità della funzione?

Se cade l’ipotesi di continuità della funzione in [a,b], la tesi continua a valere solo in alcuni casi.

Consideriamo ad esempio

così definita:

La cui rappresentazione grafica è la seguente


Il teorema di rolle

Come è evidente, la funzione non è continua in , tuttavia la tesi continua a valere, mentre ciò non accade per la funzione , così definita

La cui rappresentazione grafica è

Si vede che in questo caso la tesi non vale.


Il teorema di rolle

- x - 1se –2 ≤ x ≤ -1

0 se -1 < x < 1

x - 1se 1 ≤ x ≤ 2

Cosa succede se cade l'ipotesi di derivabilità?

Si possono fare considerazioni analoghe a quanto accade per la continuità, cioè, se cade l’ipotesi che f sia derivabile in ]a,b[, la tesi del Teorema di Rolle continua a valere solo in alcuni casi.

Infatti, se si considera la funzione

così definita

x f(x)=


Il teorema di rolle

rappresentata così

La funzione f(x) è continua in [-2,2]; f(-2)=f( 2) =1,ma non è derivabile in x = -1e x = 1; tuttavia esistono infinitipunti x tra ]-1,1[ in cui f’(x) = 0.


Il teorema di rolle

Cosa succede se cade l'ipotesi che pone

f(a)=f(b)?

Di nuovo si ritrova che la tesi continua a valere soltanto in alcuni casi.

Infatti, se si considera

definita da

la funzione è continua in

, derivabile in

, ma

e la tesi del Teorema di Rolle non vale.

Se invece si considera la funzione

definita da

, in tal caso, sebbene risulta che

nel punto

si ha che


Il teorema di rolle

Utilizzando il Teorema di Rolle, si può affermare che se l’equazione

xn + an-1xn-1 + … +a1x + a0 = 0

ammette radici reali, allora, fra due di esse, l’equazione

nxn-1+ (n-1)xn-2 + … + a1 =0

ammette almeno una radice.

Infatti, poiché

f(x)= xn + an-1 xn-1 + … + a1x + a0

1) è continua in R

2) è derivabile in R,

3) se x1 e x2 sono radici di f(x), allora

f(x1) = f(x2) = 0

Per il Teorema di Rolle  almeno ] x1, x2 [ tale che f ( ) = 0 cioè

f ( ) =nxn-1+ (n-1)xn-2+ … + a1 = 0.


Il teorema di rolle

Attraverso il Teorema di Rolle, si riesce a dire, ad esempio, che l’equazione 3x5+ 15x – 12 = 0 ammette una sola radice reale.

Infatti, il Teorema fondamentale dell’algebra ci assicura che l’equazione, essendo di grado dispari, ha almeno una radice reale.

Se per assurdo esistessero due radici x1 , x2 reali tali che

f(x1) = f(x2) = 0, allora dovrebbe esistere un x0 appartenente all’intervallo aperto ] x1, x2[ tale che la derivata prima calcolata nel punto x0è uguale a zero, ma f’(x)= 15x4 + 15 non si annulla mai nel campo reale.


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