Ly thuye t o th
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 279

LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ PowerPoint PPT Presentation


  • 59 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

s. LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ. s. THOÂNG TIN THAM KHAÛO. Giôùi thieäu taøi lieäu taát caû ngaønh toaùn bao goàm caùc höôùng daãn phöông phaùp hoïc taäp : http://www.cargalmathbooks.com/#Principles of Hamilton http://www.densis.fee.unicamp.br/~moscato/Hamilton.html Caùc ngaønh toaùn hoïc

Download Presentation

LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Ly thuye t o th

s

LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ


Tho ng tin tham kha o

s

THOÂNG TIN THAM KHAÛO

Giôùi thieäu taøi lieäu taát caû ngaønh toaùn bao goàm caùc höôùng daãn phöông phaùp hoïc taäp :

http://www.cargalmathbooks.com/#Principles of Hamilton

http://www.densis.fee.unicamp.br/~moscato/Hamilton.html

Caùc ngaønh toaùn hoïc

http://www.math.fau.edu/locke/graphthe.htm

http://www.graphtheory.com/

http://www.imada.sdu.dk/Research/Digraphs/


Ta i lie u tham kha o

s

TAØI LIEÄU THAM KHAÛO

Toaùn hoïc rôøi raïc öùng duïng trong tin hoïc – Kenneth H. Rosen

(Baûn dòch tieáng Vieät NXB KHKT 1997)

Graph, Networks and algorithms – M. N. S. Swamy,

K. ThulasiramanJohn Wiley & Sons, Inc. 1981.

Discrete mathematics, Kenneth A. Ross .

Charles R.B. Wright, Prentice-Hall, 1988


No i dung

s

NOÄI DUNG

Caùc khaùi nieäm cô baûn

Ñoà thò ñaúng caáu

Caây

Ñoà thò phaúng

Toâ maøu

Doøng


L ch s

s

LÒCH SÖÛ

Baøi toaùn :

Moät khoái ña dieän ñeàu coù 12 maët vaø 20 goùc.

Moãi maët laø nguõ giaùc ñeàu vaø 3 caïnh gaëp nhau ôû moãi goùc.

Moãi goùc laø moät thaønh phoá.

Tìm ñöôøng ñi qua 20 thaønh phoá moãi thaønh phoá ñuùng 1 laàn.


L ch s1

s

LÒCH SÖÛ

Caàu Konigsberg.


Mo t va i ng du ng

s

MOÄT VAØI ÖÙNG DUÏNG

Veõ ngoâi nhaø cuûa Santa Claus baèng 1 neùt duy nhaát.


Mo t va i ng du ng1

s

MOÄT VAØI ÖÙNG DUÏNG

Laøm theá naøo ñeå 3 ngoâi nhaø vaø 3 nhaø maùy noái nhau maø khoâng coù ñöôøng caét nhau.

 Nhaø B

 Nhaø A

 Nhaø C

 Gaz

 Ñieän

 Nöôùc


Mo t va i ng du ng2

B

A

C

F

E

D

s

MOÄT VAØI ÖÙNG DUÏNG

Keát quaû moät baûng thi ñaáu voøng troøn giöõa 6 ñoäi banh.

Muõi teân höôùng töø A ñeán B chæ ñoäi thaéng laø A.

Ba oâng choàng ghen cuøng vôùi 3 baø vôï qua 1 con soâng.

Ñoø chæ chôû toái ña 2 ngöôøi 1 chuyeán:

hoaëc laø 1 choàng vaø 1 baø vôï hoaëc 2 baø vôï.


Mo t so qui c

s

MOÄT SOÁ QUI ÖÔÙC

Cho x laø moät soá thöïc :

soá nguyeân x  x

soá nguyeân x  x,

Ñoà thò <g> = <V, E, I> hay <g> = <V, E>

Taäp ñænh V = {A, B, C, …, P}

Taäp caïnh E = {a, b, c, …, m}

Ñoà thò troáng  = <, > = <V, >


Ly thuye t o th1

s

LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ


Ly thuye t o th

s

ÑOÀ THÒ

Bieåu dieãn baèng hình veõ cuûa ñoà thò <g>

Ñænh

Caïnh

Voøng

Caïnh song song

h

A

g

b

e

c

C

G

Ñænh coâ laäp

f

a

B

H

d

D

Caïnh treo


Ly thuye t o th

h

A

g

b

c

e

C

G

f

a

B

d

D

H

s

ÑOÀ THÒ

Bieåu dieãn baèng taäp hôïp cuûa ñoà thò <g> = <V, E, I>

Taäp ñænh V

V = {A, B, C, D, G, H}

Taäp caïnh E

E = {a, b, c, d, e, f, g, h}

Quan heä tôùi I

I = {CaB, AbB, AcB, BdH, AeH, BfG, AgG, GhG}


Ly thuye t o th

s

ÑOÀ THÒ

Bieåu dieãn baèng ma traän cuûa ñoà thò <g>

h

A

A

B

C

D

G

H

g

A

0

2

0

0

1

1

b

c

e

B

2

0

1

0

1

1

C

G

C

0

1

0

0

0

0

f

a

D

0

0

0

0

0

0

B

d

D

H

G

1

1

0

0

1

0

H

1

1

0

0

0

0


Ly thuye t o th

A

h

g

b

c

e

C

G

f

a

B

d

D

H

s

ÑOÀ THÒ

Baäc cuûa ñænh laø soá caïnh tôùi cuûa ñænh.

deg(A) = 4

deg(G) = 4

deg(C) = 1

deg(D) = 0

deg(B) = 5

deg(H) = 2


Ly thuye t o th

h

A

g

b

c

e

C

G

f

a

B

d

D

H

s

ÑOÀ THÒ

Boå ñeà :

Toång baäc baèng 2 laàn soá caïnh.

Thí duï minh hoïa

Toàng baäc = 4+5+1+0+4+2 = 16.

Soá caïnh = 8.


Ly thuye t o th

s

ÑOÀ THÒ

Chöùng minh :

P = “Toång baäc baèng 2 laàn soá caïnh”.

Pi = “Ñoà thò i caïnh coù toång baäc baèng 2i”.

P = (Pi)jN, N laø taäp soá nguyeân töï nhieân.

Ñoà thò coù 1 caïnh thì toång baäc baèng 2

  • P1 ñuùng.

    Giaû söû Pn ñuùng  ñoà thò n caïnh coù toång baäc baèng 2n”.

    Laáy ñoà thò <g> coù n+1 caïnh, choïn 1 caïnh baát kyø a.

    <g*> (= <g>a) coù n caïnh  toång baäc cuûa <g*> = 2n.

    Toång baäc cuûa <g> = toång baäc cuûa <g*> +2 = 2(n+1).

     Pn+1 ñuùng.


Ly thuye t o th

A

B

C

D

E

F

s

ÑOÀ THÒ

Boå ñeà :

Soá ñænh baäc leû laø soá chaün.

Thí duï minh hoïa :

Coù 4 ñænh baäc chaün.

Coù 2 ñænh baäc leû laø C, F.


Ly thuye t o th

s

ÑOÀ THÒ

Chöùng minh :

Toång baäc =Toång baäc caùc ñænh baäc chaün +

Toång baäc caùc ñænh baäc leû.

 Toång baäc caùc ñænh baäc chaün laø soá chaün.

 Toång baäc caùc ñænh baäc leû laø soá chaün

 Soá ñænh baäc leû laø soá chaün.


O th ho i

B

C

A

G

F

D

E

s

ÑOÀ THÒ HOÄI

B

C

B

C

<g>

<h>

A

A

F

G

F

E

D

E

D

<g>  <h> =


O th giao

B

C

A

F

D

E

s

ÑOÀ THÒ GIAO

B

C

B

C

<g>

<h>

A

A

F

G

F

E

D

E

D

<g>  <h> =


O th hie u

B

C

G

F

D

E

s

ÑOÀ THÒ HIEÄU

B

C

B

C

<g>

<h>

A

A

F

G

F

E

D

E

D

<h>  <g> =

<g>  <h> =


O th to ng va nh

B

C

G

F

D

E

s

ÑOÀ THÒ TOÅNG VAØNH

B

B

C

<g>

<h>

A

A

F

G

F

E

D

E

D

<g>  <h> =


Nh ngh a h nh th c

s

ÑÒNH NGHÓA HÌNH THÖÙC

Cho hai ñoà thò <g> = <V, E, I> vaø <h> = <W, F, J>.

Hoäi :<g>  <h> = <VW, EF, IJ>.

Giao :<g>  <h> = <VW, EF, IJ>.

Hieäu :<g>  <h> = <V, EF, IJ>.

Hieäu caïnh :<g>  caïnh = <V, Ecaïnh, Icaïnh>.

Hieäu ñænh :

<g>  ñænh = <Vñænh, Ecaùc caïnh tôùi cuûa ñænh,

Icaùc caïnh tôùi cuûa ñænh>.

Toång vaønh :

<g>  <h> = <VW, (EF)(EF), (IJ)(IJ)>.


O th con

B

C

A

F

E

D

s

ÑOÀ THÒ CON

B

C

A

G

F

E

D


O th con1

s

ÑOÀ THÒ CON

A

A

E

F

B

C

C

G

G

H

H

D

D


Ly thuye t o th2

s

LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ


Ly thuye t o th

s

ÑÖÔØNG

AEGBC laø moät ñöôøng cuûa ñoà thò <g>

ACBDCFGH laø moät ñöôøng cuûa ñoà thò <h>

A

B

C

B

G

C

H

A

G

F

F

E

D

D

E

<g>

<h>


Chu tr nh

s

CHU TRÌNH

BCDEGB laø moät chu trình cuûa ñoà thò <g>

ACBDCFGA laø moät chu trình cuûa ñoà thò <h>

A

B

C

B

G

C

H

A

G

F

F

E

D

D

E

<g>

<h>


O th n gia n

Ñoà thò ñôn giaûn

s

ÑOÀ THÒ ÑÔN GIAÛN

Ñoà thò ñôn giaûn laø ñoà thò :

* Khoâng coù voøng

* Khoâng coù caïnh song song.

Ñoà thò khoâng ñôn giaûn


O th a y u

K2

K3

K4

K4

K5

s

ÑOÀ THÒ ÑAÀY ÑUÛ


O th bu

B

C

B

C

A

G

F

A

F

G

D

E

<k>

D

E

s

ÑOÀ THÒ BUØ

Ñoà thò <h> = <W, F> laø buø cuûa <k> = <V, E> :

W = V

<h>  <k>  KV

<h> ñôn giaûn vaø toái ñaïi vôùi tính chaát buø.

<h>


O th phu

B

C

B

A

F

A

G

F

D

<k>

E

E

<h>

s

ÑOÀ THÒ PHUÏ

Ñieàu kieän hai ñoà thò <h> vaø <k> phuï nhau nhau trong <g> :

<h>  <k> = <g>

<h>  <k> = 

B

C

A

G

F

D

E

<g>


O th nh h ng

B

>

B

>

>

>

>

A

C

>

>

A

C

D

>

D

Ñoà thò ñònh höôùng

(Digraph)

Ñoà thò voâ höôùng

s

ÑOÀ THÒ ÑÒNH HÖÔÙNG


O th co tro ng l ng

s

ÑOÀ THÒ COÙ TROÏNG LÖÔÏNG

A

B

3

7

C

4

2

5

1

6

D

9

3

E

F


O th e u

s

ÑOÀ THÒ ÑEÀU

Ñoà thò ñeàu laø ñoà thò coù moïi ñænh coù cuøng baäc.

K1, K2, K3, K4, K5, K6, …


O th l ng pha n

s

ÑOÀ THÒ LÖÔÕNG PHAÂN


O th l ng pha n1

s

ÑOÀ THÒ LÖÔÕNG PHAÂN


O th l ng pha n2

K2,2

K3,2

K3,3

K3,3

s

ÑOÀ THÒ LÖÔÕNG PHAÂN

Ñoà thò löôõng phaân ñaày ñuû Km,n.


O th kho ng l ng pha n

C3

C5

s

ÑOÀ THÒ KHOÂNG LÖÔÕNG PHAÂN

Ñoà thò K1, K3, K4, K5, K6, … khoâng löôõng phaân (K2 laø löôõng phaân).

Caùc ñoà thò sau cuõng khoâng löôõng phaân.


O th l ng pha n3

s

ÑOÀ THÒ LÖÔÕNG PHAÂN

Ñònh lyù :(1.6.1 page 24. Graph theory Reinhard Diesteil- 2000)

Ñoà thò <g> löôõng phaân  <g> khoâng chöùa chu trình leû.

Minh hoïa :

Ñoà thò coù chu trình chaün :

Ñoà thò coù chu trình leû :


O th l ng pha n4

s

ÑOÀ THÒ LÖÔÕNG PHAÂN

Ñònh lyù : Ñoà thò löôõng phaân  khoâng chöùa chu trình leû.

Chöùng minh :

() Ñoà thò löôõng phaân neân moïi chu trình ñeàu phaûi ñi qua ñi laïi giöõa hai nhoùm ñænh neân moïi chu trình phaûi chaün.

() Choïn moät caây phuû <t> vaø moät ñænh goác O treân <t>.

Chieàu daøi cuûa moät ñænh laø soá caïnh cuûa ñöôøng töø goác ñeán ñænh ñoù.

Chia caùc ñænh cuûa <t> laøm 2 nhoùm – nhoùm coù chieàu daøi chaün vaø leû.

Xeùt 2 ñænh A, B keà nhau.

Neáu caïnh AB thuoäc caây phuû thì A vaø B thuoäc 2 nhoùm khaùc nhau.

Neáu caïnh AB khoâng thuoäc caây phuû thì A vaø B cuõng thuoäc 2 nhoùm khaùc nhau vì chu trình chöùa A, B chaün.


Mo t so o th a c bie t

C6

C4

C5

C3

s

MOÄT SOÁ ÑOÀ THÒ ÑAËC BIEÄT

Chu trình : C3, C4, C5, C6, …


Mo t so o th a c bie t1

W4

W3

W5

W6

s

MOÄT SOÁ ÑOÀ THÒ ÑAËC BIEÄT

Baùnh xe : W3, W4, W5, W6, …


Mo t so o th a c bie t2

Q3

Q1

Q2

s

MOÄT SOÁ ÑOÀ THÒ ÑAËC BIEÄT

Khoái : Q1, Q2, Q3, …


Ly thuye t o th3

s

LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ


O th lie n tho ng

A

B

G

C

H

I

F

D

E

Ñoà thò lieân thoâng

Ñoà thò lieân thoâng

s

ÑOÀ THÒ LIEÂN THOÂNG

Ñoà thò lieân thoâng coù ñöôøng noái giöõa 2 ñænh baát kyø

Ñoà thò rôøi raïc vì khoâng coù ñöôøng noái giöõa A, B


O th lie n tho ng1

s

ÑOÀ THÒ LIEÂN THOÂNG

Ñònh lyù :

Ñoà thò coù ñuùng 2 ñænh baäc leû phaûi coù moät ñöôøng noái giöõa 2 ñænh naøy.

Chöùng minh : (baèng phaûn chöùng)

Moät thaønh phaàn lieân thoâng khoâng theå chöùa moät ñænh baäc leû.


Pha n ca t

P

Q

s

PHAÂN CAÉT

Ñoà thò <g> = <V, E>, taäp ñænh P, Q thoûa PQ = V.

Phaân caét <P, Q> = taäp caùc caïnh noái giöõa P vaø Q.

P = {A, D, E}, Q = {B, C, F}

A

B

D

C

E

F

<g>


Pha n ca t1

s

PHAÂN CAÉT

P = {A, C, D, H},

Q = {B, E, F, G}

<P, Q> = {BD, BD, BC, EC, FC, FA, GA, GH}

A

B

G

C

H

F

D

E


Ta p ca t

s

TAÄP CAÉT

Ñoà thò <c> laø taäp caét cuûa ñoà thò <g> neáu :

1. <g>  <c> laø ñoà thò rôøi raïc.

2. <c> laø ñoà thò con toái tieåu vôùi tính chaát 1.

Nhaän xeùt :

Tính chaát 2 nghóa laø khoâng coù ñoà thò con <s> cuûa <c> sao cho <g>  <s> laø rôøi raïc.


Ta p ca t1

s

TAÄP CAÉT

1

2

5

4

3

8

6

7

9

{2, 5, 8} laø taäp caét


Ta p ca t2

s

TAÄP CAÉT

1

2

5

4

3

8

6

7

9

{1, 2, 5, 8} khoâng laø taäp caét


Ta p ca t3

s

TAÄP CAÉT

Phaân caét <{A, B, C}, {D, E, F}> = {AD, BE, CF}

khoâng laø taäp caét

A

D

B

E

C

F


Chu tr nh euler

s

CHU TRÌNH EULER

Chu trình Euler laø chu trình chöùa moïi caïnh cuûa ñoà thò.

A

B

F

C

E

D


Chu tr nh euler1

s

CHU TRÌNH EULER

Ñònh lyù :

Ñoà thò laø Euler  Lieân thoâng + moïi ñænh baäc chaün.

Chöùng minh :

()Lieân thoâng vì laø chu trình

Moãi ñænh coù caïnh tôùi thì coù caïnh ra.

()Laáy töøng chu trình vaø raùp taát caû chu trình laïi

thaønh moät chu trình.


T m chu tr nh euler

s

TÌM CHU TRÌNH EULER

Algorithm :

Bieåu dieãn ñoà thò baèng ma traän keà.

1. Choïn moät ñieåm baét ñaàu.

2. Choïn caïnh noái vôùi ñieåm baét ñaàu.

3. Choïn ñænh coøn laïi cuûa caïnh noái laøm ñænh baét ñaàu.

4. Laëp laïi böôùc 2 cho ñeán khi khoâng coøn caïnh.

5. Gheùp caùc chu trình laïi vôùi nhau.


T m chu tr nh euler1

A

B

C

D

I

J

A

B

C

D

I

J

s

TÌM CHU TRÌNH EULER

Choïn ñænh A

Choïn caïnh AB, xoùa oâ AB vaø BA

Choïn ñænh B

Choïn caïnh BJ, xoùa oâ BJ vaø JB

Choïn ñænh J

Choïn caïnh JA, xoùa oâ JA vaø AJ

Loaïi ñænh A vì khoâng coøn caïnh noái A.

Choïn laïi ñænh B, tieáp tuïc …

Chaám döùt khi caùc caïnh ñöôïc choïn heát.

A

B

J

C

I

D

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

0

0

0


Ng euler

s

ÑÖÔØNG EULER

Ñònh lyù :

Ñöôøng Euler  Lieân thoâng + coù ñuùng 2 ñænh baäc leû.

Chöùng minh :

Boå sung theâm moät caïnh noái 2 ñænh baäc leû.

Trôû thaønh baøi toaùn tìm chu trình Euler.


T m chu tr nh euler2

s

TÌM CHU TRÌNH EULER

Fleury algorithm :

Ñoà thò <V, E> lieân thoâng, caùc ñænh baäc chaün

(hoaëc 2 ñænh baäc leû).

Laáy W = , F = .

1. Choïn ñænh laøm vieäc A baäc leû boû vaøo W

(hoaëc ñænh baát kyø neáu khoâng coù ñænh baäc leû).

2. Neáu khoâng coù caïnh noái ñeán ñænh A thì döøng.

3. Choïn caïnh e noái vôùi ñænh A, ñaàu kia cuûa e laø B,

sao cho boû e ñi khoâng laøm ñoà thò rôøi raïc.

4. E  {e}, V {A}, W + {B}, F + {e}.

5. Laëp laïi böôùc 2.


Thua t toa n fleury

s

THUAÄT TOAÙN FLEURY

Choïn ñænh A : W + {A}

Choïn caïnh AB

V  {A}, X  {AB}, W + {B}, F + {AB}

Choïn ñænh B vaø caïnh BC

V  {B}, X  {BC}, W + {C}, F + {BC}

Choïn ñænh C vaø caïnh CD

V  {C}, X  {CD}, W + {D}, F + {CD}

Choïn ñænh D vaø caïnh DI

V  {D}, X  {DI}, W + {I}, F + {DI} …

<g> = <V, E>.

V = {A, B, C, D, I, J} E = {AB, AJ, BC, BI, BJ, CI, CJ, CD, DI, IJ}

A

B

J

C

I

D


So ng i gi a 2 nh

a

A

D

c

b

f

B

C

d

s

SOÁ ÑÖÔØNG ÑI GIÖÕA 2 ÑÆNH

Ñònh lyù :

Soá ñöôøng ñi coù chieàu daøi r giöõa 2 ñænh v vaø w cuûa ñoà thò <g> coù ma traän keà K laø giaù trò cuûa toïa ñoä (v, w) cuûa ma traän Kr.

Thí duï :

Soá ñöôøng ñi töø A ñeán C coù chieàu daøi 4

laø 10 (giaù trò cuûa oâ (1,3) cuûa ma traän K4).

Caùc ñöôøng ñi laø : afff, accf, aabd, afdd, bbaf, bbbd, bccd, bddd, bdff, aaaf

K =

K4 =


So ng i gi a 2 nh1

s

SOÁ ÑÖÔØNG ÑI GIÖÕA 2 ÑÆNH

Chöùng minh ñònh lyù :

Truy chöùng treân chieàu daøi r giöõa 2 ñænh i, j.

Ma traän keà K = [kij].

Neáu r =1 laø chieàu daøi giöõa i vaø j thì ñònh lyù ñuùng.

Giaû söû ñònh lyù ñuùng vôùi chieàu daøi r giöõa 2 ñænh i vaø j.

Chöùng minh ñònh lyù ñuùng vôùi chieàu daøi r+1.

Soá ñöôøng coù chieàu daøi r laø phaàn töû taïi toïa ñoä (i, j) cuûa Kr = [lij].

Phaàn töû taïi toïa ñoä (i, j) cuûa Kr+1 = [mij] :

mij = li1.k1j + li2.k2j + … + lin.knj.

Vaäy ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.

Soá ñöôøng noái töø n ñeán j

Soá ñöôøng noái töø 1 ñeán j

Soá ñöôøng noái töø 2 ñeán j


So ng i gi a 2 nh2

s

SOÁ ÑÖÔØNG ÑI GIÖÕA 2 ÑÆNH

Aùp duïng ñònh lyù :

1. Tìm ñoä daøi cuûa ñöôøng ñi ngaén nhaát giöõa 2 ñænh.

Tính chuoãi luõy thöøa ma traän keà K1+K2+…Kn-1.

2. Chöùng minh tính lieân thoâng cuûa ñoà thò.

Xeùt chuoãi luõy thöøa ma traän keà K1+K2+…Kn-1.


Ly thuye t o th4

s

LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ


Chu tr nh hamilton

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Chu trình Hamilton laø chu trình :

* khoâng taïo voøng

* ñi qua moïi ñænh cuûa ñoà thò.


Chu tr nh hamilton1

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Chu trình Hamilton phaûi chöùa ñuùng 2 caïnh tôùi cuûa moãi ñænh.

CAÙC NGUYEÂN TAÉC KIEÅM TRA CHU TRÌNH H

1. Hai caïnh tôùi cuûa ñænh baäc 2 phaûi thuoäc chu trình H

2. Khoâng ñöôïc coù chu trình tröôùc khi coù chu trình H

3. Khi choïn 2 caïnh tôùi cuûa moãi ñænh thì xoùa caùc caïnh coøn laïi.


Chu tr nh hamilton2

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Ñoà thò sau khoâng coù chu trình Hamilton :

Choïn ñænh A (baäc 2)  caïnh AB, AE ñöôïc choïn.

Choïn ñænh B (baäc 2)  caïnh BA, BE ñöôïc choïn.

Hình thaønh chu trình tröôùc khi taïo ra chu trình H.

A

B

E

C

D


Chu tr nh hamilton3

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Aùp duïng caùc nguyeân taéc treân ñeå tìm chu trình Hamilton.

Ñænh C, D baäc 2  caïnh CB, CF, DA, DE ñöôïc choïn.

Taïi E ñaõ choïn DE, choïn EB.

 xoùa EA, EF.

Taïi ñænh B, caïnh BE vaø BC ñaõ ñöôïc choïn  BA, BF bò xoùa.

Coøn laïi AF ñöôïc choïn, keát quaû laø chu trình H.

A

B

D

C

E

F


Chu tr nh hamilton4

A

B

G

C

H

F

D

E

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Aùp duïng caùc nguyeân taéc treân ñeå tìm chu trình Hamilton.

Ñænh H baäc 1 neân khoâng coù chu trình H.


Chu tr nh hamilton5

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Aùp duïng caùc nguyeân taéc treân ñeå tìm chu trình Hamilton

Ñoà thò ñoái xöùng qua truïc ñöùng  khoâng caàn xeùt caùc ñænh C, H, K.

Ñænh A, G baäc 2  AB, AC, GE, GI ñöôïc choïn.

Giaû söû choïn BD

 BF bò xoùa.

 F baäc 2 neân FE, FJ ñöôïc choïn.

 Taïi E ñaõ choïn EF, EG neân ED, EH bò xoùa.

 D baäc 2 neân DC ñöôïc choïn.

 Hình thaønh chu trình.

 Khoâng theå choïn BD

A

B

C

D

E

H

F

G

I

J

K


Chu tr nh hamilton6

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Giaû söû choïn BF.

 BD bò xoùa.

 D baäc 2 neân DE, DC ñöôïc choïn.

 Taïi E ñaõ choïn ED, EG neân EF, EH bò xoùa.

 Taïi C ñaõ choïn CA, CD neân CH bò xoùa.

 Taïi H chæ coøn baäc 1.

 Ñoà thò khoâng coù chu trình H.

A

B

C

D

E

H

F

G

I

J

K


Chu tr nh hamilton7

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Tìm chu trình Hamilton cuûa ñoà thò :

Ñoà thò ñoái xöùng qua maët phaúng chöùa ñieåm M, D, E, F, K, N vaø thaúng goùc vôùi maët phaúng naèm ngang vaø coù moät taâm “gaàn” ñoái xöùng E.

Ñoà thò khoâng coù ñænh baäc 2.

Choïn E laø ñænh baét ñaàu.

J

B

A

C

E

F

M

D

N

K

I

G

H

L


Chu tr nh hamilton8

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Choïn ED, EF.

 Xoùa EB, EH.

 Choïn BA, BC, HG, HI.

 Choïn DA (DG laø nhö nhau).

 Xoùa AJ, AM.

Choïn JC, JN, MN, ….

Xoùa CK, NK, ….

Ñænh K coøn laïi baäc 1.

Vaäy khoâng theå choïn ED, EF.

J

B

A

C

E

F

M

D

N

K

I

G

H

L


Chu tr nh hamilton9

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Choïn EB, EH.

 Xoùa ED, EF.

 Choïn DA, DG, FC, FI.

1. Choïn BA.

 Xoùa BC, AM, AJ.

Choïn JC, JN, MG, MN.

Xoùa CK, NK, NL.

Ñænh K coøn laïi baäc 1.

Vaäy khoâng theå choïn BA.

2. Choïn BC.

J

B

A

C

E

F

M

D

N

K

I

G

H

L


Chu tr nh hamilton10

s

CHU TRÌNH HAMILTON

2. Choïn BC.

 Xoùa AB, CJ, CK.

Choïn JA, JN.

Xoùa AM.

Choïn MN, ….

Xoùa KN, ….

Ñænh K coøn laïi baäc 1.

Vaäy khoâng theå choïn EB, EH.

J

B

A

C

E

F

M

D

N

K

I

G

H

L


Chu tr nh hamilton11

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Choïn EB, ED.

 Xoùa EF, EH.

 Choïn FC, FI, HG, HI.

 Xoùa IK, IL.

Choïn KC, KN.

Xoùa CB, CJ.

Choïn JA, JN.

Xoùa NM, NL.

Ñænh L coøn laïi baäc 1.

Vaäy khoâng theå choïn EB, ED.

Töông töï, khoâng theå choïn EB, EF.

Ñoà thò khoâng coù chu trình H.

J

B

A

C

E

F

M

D

N

K

I

G

H

L


Chu tr nh hamilton12

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Ñònh lyù :

Ñoà thò ñaày ñuû n ñænh, vôùi n laø soá leû  3 thì coù

(n1)/2 chu trình Hamilton töøng ñoâi giao nhau baèng .

Chöùng minh :

Ñoà thò ñaày ñuû neân coù chu trình H.

Moãi chu trình H coù n caïnh.

Soá chu trình H töøng ñoâi giao nhau baèng   (n1)/2.


Chu tr nh hamilton13

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Chöùng minh : (tieáp theo)

Ñaët caùc ñænh leân moät voøng troøn vaø moät ñænh ôû taâm, ñaùnh soá caùc ñænh cheùo nhau qua ñöôøng kính.

7

n4

5

n2

3

1

n

2

n1

4

n3

6

n5


Chu tr nh hamilton14

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Chöùng minh : (tieáp theo)

Treân truïc ngang coù 3 ñænh neân soá ñænh coøn laïi laø n3.

Chia soá ñænh coøn laïi laøm 2 nhoùm – nhoùm soá chaün vaø nhoùm soá leû.

Caùc ñænh treân hình troøn taïo thaønh ña giaùc ñeàu n1 caïnh.

Noái caùc ñænh theo nhö hình veõ.

Xoay hình veõ theo taâm moät goùc 360/(n1).

Toång coäng coù (n1)/2 vò trí khaùc nhau.


Chu tr nh hamilton15

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Caùc ña dieän ñeàu sau laø ñoà thò Hamilton.


Chu tr nh hamilton16

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Caùc ña dieän ñeàu sau laø ñoà thò Hamilton.


Chu tr nh hamilton17

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Ñònh lyù :

Ñoà thò ñôn giaûn coù n ñænh vôùi n 3. Neáu moïi 2 ñænh khoâng keà nhau coù toång baäc  n thì ñoà thò coù chu trình Hamilton.

Ñònh lyù :

Ñoà thò ñôn giaûn coù n ñænh vôùi n 3. Neáu moïi ñænh coù baäc  n/2 thì ñoà thò coù chu trình Hamilton.

Ñònh lyù :

Ñoà thò ñôn giaûn coù n ñænh coù ít nhaát ½(n1)(n2) + 2thì ñoà thò coù chu trình Hamilton.


Chu tr nh hamilton18

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Ñònh lyù :

Ñoà thò khoâng theå coù chu trình Hamilton neáu xoùa k ñænh naøo ñoù ñoà thò coøn laïi coù nhieàu hôn k thaønh phaàn lieân thoâng.

Ñònh lyù :

Ñoà thò lieân thoâng vaø caùc ñænh ñöôïc ñaùnh chæ soá x1, …, xn sao cho deg(xi)  deg(xi+1).

Neáu vôùi moïi k, deg(xk)  k < ½(n) daãn ñeán deg(xnk)  nk thì ñoà thò coù chu trình Hamilton.


Chu tr nh hamilton19

s

CHU TRÌNH HAMILTON

Ñònh lyù :

Trong ñoà thò löôõng phaân,

Neáu coù chu trình H  hai nhoùm löôõng phaân coù cuøng soá ñænh.

Neáu coù ñöôøng H  soá ñænh cuûa hai nhoùm sai nhau moät ñænh.

Trong ñoà thò löôõng phaân ñaày ñuû thì chieàu ngöôïc laïi cuõng ñuùng, ie

Coù chu trình H  hai nhoùm löôõng phaân coù cuøng soá ñænh.

Coù ñöôøng H  soá ñænh cuûa hai nhoùm sai nhau moät ñænh.


Euler va hamilton

K1 + 2K2 =

s

EULER VAØ HAMILTON

Khaùi nieäm Euler vaø hamilton laø ñoäc laäp.

Khoâng Euler

Euler

Hamilton

K3

K4 e

Khoâng Hamilton

K1 + 2K2

K2,3


E m so ng gi a 2 nh

s

ÑEÁM SOÁ ÑÖÔØNG GIÖÕA 2 ÑÆNH

Ñònh lyù :

Soá ñöôøng khaùc nhau ñoä daøi r ñi töø ñænh vi tôùi ñænh vjcuûa ñoà thò coù ma traän keà A baèng giaù trò cuûa phaàn töû (i, j) cuûa ma traän Ar.


E m so ng gi a 2 nh1

b

d

a

c

a

b

c

d

0

1

a

0

1

1

0

0

b

0

A =

0

1

0

c

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

d

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

A2 =

A4 =

A3 =

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

s

ÑEÁM SOÁ ÑÖÔØNG GIÖÕA 2 ÑÆNH

Thí duï :

Coù bao nhieâu ñöôøng chieàu daøi 2 ñi töø a ñeán c : 1

Coù bao nhieâu ñöôøng chieàu daøi 3 ñi töø a ñeán c : 0

Coù bao nhieâu ñöôøng chieàu daøi 4 ñi töø c ñeán c : 1

?

?

?

0

1

1


E m so ng gi a 2 nh2

s

ÑEÁM SOÁ ÑÖÔØNG GIÖÕA 2 ÑÆNH

Chöùng minh ñònh lyù :

Ñoà thò coù n ñænh laø v1 , … , vn.

Truy chöùng treân ñoä daøi r.

Ar+1 = Ar.A.

Ñaët A = [aij], Ar = [bij] , Ar+1 = [cij].

bi1 soá ñöôøng coù chieàu daøi r noái 2 ñænh vi, v1.

a1j soâù caïnh (0 hay 1) noái 2 ñænh v1, vj.

bi1a1j soá ñöôøng coù chieàu daøi r+1 noái vi ,vj ñi qua ñænh v1.

Töông töï, cho bi2a2j .

Vaäy (cij) = bi1a1j + bi2a2j + … + binanj laøsoá ñöôøng noái coù chieàu daøi r+1 noái 2 ñænh vi, vj.


E m so ng gi a 2 nh3

s

ÑEÁM SOÁ ÑÖÔØNG GIÖÕA 2 ÑÆNH

ÖÙng duïng ñònh lyù treân :

Cho ñoà thò m caïnh

1. Tìm soá caïnh ít nhaát noái 2 ñænh vi, vj.

Tính Ar vôùi r = 2, 3, 4, … :

neáu taïi r (< m) maø Ar [i,j] ≠ 0 thì soá caïnh laø r.

neáu r = m maø Ar [i,j] = 0 thì 2 ñænh rôøi nhau.

2. Chöùng minh ñoà thò coù lieân thoâng hay khoâng.

Tính Ar vôùi r = 2, 3, 4, … , m.

neáu coù moät r sao cho Ar [i,j] ≠ 0 vôùi moïi i, j thìñoà thò lieân thoâng.

neáu coù moät Am [i,j] = 0 thì ñoà thò rôøi raïc.


Ly thuye t o th5

s

LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ


A ng ca u

s

ÑAÚNG CAÁU

Hai ñoà thò <V, E> vaø <W, F> laø ñaúng caáu nhau neáu :* Coù aùnh xaï 1-1treânf giöõa V vaø W

* Coù aùnh xaï 1-1treâng giöõa E vaø F

* f vaø g duy trì quan heä tôùi.

F

E

A

A

D

F

B

B

C

E

C

D


A ng ca u1

s

ÑAÚNG CAÁU

Hai ñoà thò sau ñaúng caáu nhau :

A

A

F

G

C

J

B

C

B

F

I

D

H

I

G

J

E

E

D

H


A ng ca u2

C

A

D

C

A

B

E

B

D

E

s

ÑAÚNG CAÁU

TIEÂU CHUAÅN 1

* Cuøng soá ñænh baäc i, vôùi moïi i

* Cuøng soá caïnh


A ng ca u3

s

ÑAÚNG CAÁU

Hai ñoà thò thoûa tieâu chuaån 1 nhöng khoâng ñaúng caáu


A ng ca u4

C

A

D

C

D

A

E

B

<g>

E

B

<h>

s

ÑAÚNG CAÁU

TIEÂU CHUAÅN 2

Caùc ñoà thò con töông öùng phaûi ñaúng caáu

<g> = <h> = K4 + K2


A ng ca u5

s

ÑAÚNG CAÁU

Hai ñoà thò thoûa tieâu chuaån 2 nhöng khoâng ñaúng caáu


A ng ca u6

<g*>

<g>

<h>

<h*>

s

ÑAÚNG CAÁU

TIEÂU CHUAÅN 3

Phaàn buø phaûi ñaúng caáu

<g>  <g*> = K7 vaø <h>  <h*> = K7

Chöùng minh <g>  <h>  Chöùng minh <g*>  <h*>


O lie n tho ng ca nh

s

ÑOÄ LIEÂN THOÂNG CAÏNH

Ñoä lieân thoâng caïnh laø soá caïnh nhoû nhaát laáy ñi laøm ñoà thò rôøi raïc.

Ñoä lieân thoâng caïnh laø 2

Ñoä lieân thoâng caïnh laø 1

Ñoä lieân thoâng caïnh laø 4


O lie n tho ng nh

s

ÑOÄ LIEÂN THOÂNG ÑÆNH

Ñoä lieân thoâng ñænh laø soá ñænh nhoû nhaát laáy ñi laøm ñoà thò rôøi raïc.

Ñoä lieân thoâng ñænh laø 2

Ñoä lieân thoâng ñænh laø 1


O th kha ta ch

s

ÑOÀ THÒ KHAÛ TAÙCH

Ñoà thò khaû taùch neáu ñoä lieân thoâng ñænh laø 1.

Ñònh nghóa töông ñöông.

Ñoà thò khaû taùch neáu coù moät ñoà thò con sao cho

phaàn phuï cuûa noù vaø noù chæ coù 1 ñænh chung.

Ñænh caét laø ñænh laáy ñi laøm ñoà thò rôøi raïc.

Khoáilaø ñoà thò con khoâng khaû taùch toái ñaïi.

A

Ñoà thò khaû taùch, ñænh A laø ñænh caét


O th kha ta ch1

s

ÑOÀ THÒ KHAÛ TAÙCH

Ñònh lyù :

Trong ñoà thò lieân thoâng, X laø ñænh caét 

Ñoà thò coù hai ñænh sao cho moïi ñöôøng noái hai ñænh naøy

ñeàu ñi qua X.

Ñònh lyù :

Ñoä lieân thoâng ñænh Ñoä lieân thoâng caïnh Baäc nhoû nhaát.


O th kha ta ch2

s

ÑOÀ THÒ KHAÛ TAÙCH

Heä quaû :

Taäp caét trong ñoà thò khaû taùch coù soá ñænh  2 chöùa

ít nhaát 2 caïnh.

Ñònh lyù :

Ñoä lieân thoâng ñænh toái ña cuûa moät ñoà thò laø

phaàn nguyeân cuûa 2e/n, vôùi ñoà thò n ñænh e caïnh.

Ñoà thò laø k-lieân thoâng neáu ñoä lieân thoâng ñænh laø k.


O th kha ta ch3

A

B

B

A1

A2

s

ÑOÀ THÒ KHAÛ TAÙCH

Nhaän xeùt :

Neáu ñònh nghóa khaû taùch laø taùch 1 ñænh ra 2 ñænh vaø

choïn tuøy yù caùc caïnh tôùi 2 ñænh vaø ñoà thò rôøi raïc.

Thì K2 thoûa ñònh nghóa naøy nhöng khoâng laø ñoà thò

khaû taùch vôùi ñònh nghóa ban ñaàu.


Phe p bie n o i ba c 1

B

B

A

A

C2

C2

C1

C1

H

H

G

G

B

F

F

A

D

D

E

C

E

H

B

G

B

G1

G2

A

A

G1

G2

F

C

C

E

H

D

H

F

F

D

E

E

D

s

PHEÙP BIEÁN ÑOÅI BAÄC 1

Cheû ñænh caét thaønh 2 ñænh vaø choïn caùc caïnh tôùi cho hai

ñænh môùi ñeå ñoà thò taùch thaønh 2 thaønh phaàn lieân thoâng.


A ng ca u ba c 1

s

ÑAÚNG CAÁU BAÄC 1

Hai ñoà thò ñöôïc goïi laø ñaúng caáu baäc 1 neáu coù theå bieán

ñoåi laãn nhau qua moät soá laàn bieán ñoåi baäc 1.

Heä quaû :

Hai ñoà thò khoâng khaû taùch ñaúng caáu baäc 1  chuùng ñaúng caáu.


Phe p bie n o i ba c 2

Y1

X2

Y

X1

X2

X

Y1

X

Y

Y2

X1

Y2

s

PHEÙP BIEÁN ÑOÅI BAÄC 2

Taùch 2 ñænh vaø raùp ngöôïc töøng caëp ñænh


Phe p bie n o i ba c 21

B1

A2

A

A1

A2

A

A1

B2

B

B1

B2

B

s

PHEÙP BIEÁN ÑOÅI BAÄC 2

Cho pheùp taùch coù ñænh baäc 0.


A ng ca u ba c 2

s

ÑAÚNG CAÁU BAÄC 2

Hai ñoà thò ñöôïc goïi laø ñaúng caáu baäc 2 neáu coù theå bieán ñoåi

laãn nhau qua moät soá laàn bieán ñoåi baäc 1 vaø baäc 2.

Heä quaû :

Ñaúng caáu thì ñaúng caáu baäc 2.

Ñaúng caáu baäc 1 thì ñaúng caáu baäc 2.


Quan he chu tr nh

s

QUAN HEÄ CHU TRÌNH

Hai ñoà thò ñöôïc goïi laø coù quan heä chu trình neáu :

coù aùnh xaï f 1-1treân giöõa caùc caïnh,

coù aùnh xaï g 1-1treân giöõa caùc chu trình cuûa 2 ñoà thò,

sao cho 2 chu trình töông öùng vôùi aùnh xaï g thì caùc caïnh cuûa

chuùng töông öùng vôùi aùnh xaï f.

Ñònh lyù :

Hai ñoà thò ñaúng caáu baäc 2  chuùng coù quan heä chu trình.


Ly thuye t o th6

s

LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ


Ly thuye t o th

s

CAÂY

Caây = Lieân thoâng + Khoâng chu trình

caây

Khoâng laø caây


Ly thuye t o th

s

CAÂY

Ñònh lyù :

Caây  Moïi caëp ñænh trong ñoà thò coù moät ñöôøng noái.

Chöùng minh :

() (phaûn chöùng)

Giaû söû coù 2 ñöôøng noái, hoäi 2 ñöôøng noái thaønh chu trình.

() (hieån nhieân)


Ly thuye t o th

s

CAÂY

Ñònh lyù :

Ñoà thò laø caây  Ñoà thò lieân thoâng n ñænh vaø coù n1 caïnh.

Chöùng minh :

() (truy chöùng treân soá ñænh)

Pi = Caây coù i ñænh thì coù i1 caïnh. i N.

P1 ñuùng.Giaû söû P2, … , Pn ñuùng, chöùng minh Pn+1 ñuùng.

Laáy moät caây <g> coù n+1 ñænh.

Choïn moät caïnh e baát kyø coù 2 ñình ñaàu A vaø B.

Boû caïnh e baát kyø ñoà thò trôû thaønh 2 thaønh phaàn lieân thoâng.

Moãi thaønh phaàn lieân thoâng thoûa giaû thieát truy chöùng.

() (phaûn chöùng)


Ly thuye t o th

s

CAÂY

Ñònh lyù :

Ñoà thò coù n ñænh, n1 caïnh, khoâng chu trình thì lieân thoâng.

Chöùng minh :

Truy chöùng treân soá ñænh.

Phaûn chöùng : giaû söû ñoà thò coù 2 thaønh phaàn lieân thoâng.


Ly thuye t o th

s

CAÂY

Neáu ñoà thò coù 2 tính chaát cuûa tam giaùc thì coù tính chaát thöù 3.

Lieân thoâng

e = n1

Khoâng chu trình


Ly thuye t o th

s

CAÂY

Ñònh lyù :

Caây coù ít nhaát 2 ñænh baäc 1.

Chöùng minh : (caùch 1)

Truy chöùng treân soá ñænh (coù töø 2 ñænh trôû leân).

Pn = Caây n ñænh coù ít nhaát 2 ñænh baäc 1.

P2 ñuùng.

Laáy caây <t> coù n+1 ñænh.


Ly thuye t o th

A1

A

A2

A3

A4

A5

s

CAÂY

Chöùng minh : (caùch 1) (tieáp theo)

Choïn moät ñænh baát kyø A,

Boû taát caû caïnh tôùi cuûa ñænh A.

Ñoà thò bò taùch thaønh nhieàu thaønh phaàn

lieân thoâng.

Chæ coù moät caïnh noái töø A ñeán

moãi thaønh phaàn lieân thoâng.

Moãi thaønh phaàn lieân thoâng khaùc

troáng vaãn laø caây neân coù ít nhaát 2

ñænh baäc 1, coù moät ñænh khaùc vôùi Ai.


Ly thuye t o th

s

CAÂY

Chöùng minh : (caùch 2)

Phaûn chöùng : giaû söû moïi ñænh coù baäc  2.

 toång baäc  (2  soá ñænh)

 (2  soá caïnh)  (2  soá ñænh)

 soá caïnh  soá ñænh.

 Maâu thuaãn.

Giaû söû chæ coù 1 ñænh baäc 1.

 (2  soá caïnh)  (2  (soá ñænh1)) + 1

 soá ñænh > soá ñænh.

 Maâu thuaãn.


Ca y phu

B

A

C

H

G

F

E

D

s

CAÂY PHUÛ

Ñoà thò <s> laø caây phuû cuûa ñoà thò <g> neáu :

* <s> laø ñoà thò con cuûa <g>

* <s> laø caây

* <s> coù cuøng soá ñænh vôùi <g>.


Ca y phu1

s

CAÂY PHUÛ

Ñònh lyù : (Cayley)

Soá caây phuû cuûa Kn laø nn2.

Chöùng minh :

Ñaët  = {<t> | <t> laø caây phuû cuûa Kn}

 = {1, …, n} laø baûng alphabet coù n kyù töï.

nn2 = {w | w : n2  n, w laø aùnh xaï},

moãi w laø moät töø goàm n2 kyù töï trong .

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh khi tìm ñöôïc 1 aùnh xaï 1-1 töø

 vaøo nn2 vaø 1 aùnh xaï 1-1 töø nn2 vaøo .

Ñaët teân caùc ñænh cuûa Kn baèng caùc phaàn töû cuûa taäp .


Ca y phu2

s

CAÂY PHUÛ

Chöùng minh : (tieáp theo)

Ñaët h1 :   nn2, h1(<t>) = w, vôùi w ñöôïc ñònh nghóa

nhö sau :

1. choïn ñænh laù cuûa caây <t> coù con soá nhoû nhaát,

laáy ñænh keà cuûa ñænh laù ñaët vaøo vò trí 1 cuûa töø w,

xoùa caïnh treo noái vôùi ñænh laù.

2. Tieáp tuïc vôùi caây <t> coøn laïi cho ñeán khi

töø w coù ñuû n2 kyù töï.

Deã daøng kieåm tra h1 laø aùnh xaï vaø 1-1.


Ca c ca y phu cu a k 4

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

3

3

4

4

14

23

44

33

41

34

32

43

31

24

42

13

12

11

21

22

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

3

3

4

4

s

CAÙC CAÂY PHUÛ CUÛA K4

Aùnh xaï h1 laø 1-1.


Ca y phu3

s

CAÂY PHUÛ

Chöùng minh : (tieáp theo)

Ñaët h2 : nn2  ,, h2(w) = <t>, vôùi <t> ñöôïc ñònh nghóa nhö sau :

Tính baäc cuûa caùc ñænh baèng caùch ñeám soá laàn xuaát hieän

trong w vaø coäng theâm 1.

1 =   {c | kyù töï c coù trong w}.

Veõ caïnh noái kyù töï thöù 1 cuûa w vôùi min(1),2 = 1  min(1).

Veõ caïnh noái kyù töï thöù 2 cuûa w vôùi min(2),

3 = 2  min(2).

Tieáp tuïc cho ñeán khi coù ñöôïc caây <t>.

Deã daøng kieåm tra h2 laø aùnh xaï vaø 1-1.


Ca c ca y phu cu a k 41

s

CAÙC CAÂY PHUÛ CUÛA K4

Aùnh xaï h2 laø 1-1.

Veõ h2(w) vôùi w =


Ca y phu to i tie u

A

B

1

7

C

3

5

2

9

6

D

4

3

E

F

s

CAÂY PHUÛ TOÁI TIEÅU

Caây phuû toái tieåu <s> cuûa ñoà thò coù troïng löôïng neáu :

* <s> laø caây phuû.

* <s> coù toång giaù trò caùc caïnh nhoû nhaát trong caùc caây phuû.

Toång giaù trò laø 16


Kho ng gian metric

s

KHOÂNG GIAN METRIC

Khoaûng caùch laø moät ñaïi löôïng.

Caùc tính chaát cuûa khoaûng caùch :

Khoaûng caùch giöõa ñieåm A vaø A laø 0.

Khoaûng caùch luoân laø moät soá döông.

Khoaûng caùch giöõa A vaø B baèng vôùi khoaûng caùchgiöõa B vaø A.

Baát ñaúng thöùc tam giaùc.


Kho ng gian metric1

s

KHOÂNG GIAN METRIC

Khoâng gian metric coøn ñöôïc goïi laø khoâng gian höõu löôïng.

X laø taäp hôïp khaùc troáng, d : XX  R laø aùnh xaï thoûa :

i)d(x, x) = 0, x,

ii)d(x, y) > 0, x  y,

iii)d(x, y) = d(y, x), x, y,

iv)d(x, y)  d(x, z) + d(z, y) x, y, z,

Aùnh xaï d ñöôïc goïi laø moät metric treân X.

<X, d> ñöôïc goïi laø moät khoâng gian metric.


Kho ng gian metric2

s

KHOÂNG GIAN METRIC

Quaû caàu môû S(x, r) = {y | d(x, y) < r}, vôùi x  X, r  R.

Taäp A  X laø taäp môû neáu : (x  A)(r  R+) : S(x, r)  A.

Tính chaát :

* Hoäi caùc taäp môû laø taäp môû.

* Giao höõu haïn caùc taäp môû laø taäp môû.


Kho ng gian topo

s

KHOÂNG GIAN TOPO

 Laø moät hoï taäp con cuûa taäp X thoûa tính chaát :

* Hoäi caùc taäp trong  laø moät taäp trong .

* Giao höõu haïn caùc taäp trong  laø moät taäp trong .

 ñöôïc goïi laø moät topo treân X.

<X, > ñöôïc goïi laø khoâng gian topo.

Phaàn töû cuûa  ñöôïc goïi laø taäp môû.


A i l ng tre n o th

B

B

C

A

G

F

Soá caïnh noái A, F laø 3

B

C

A

G

F

B

C

B

C

B

D

A

G

F

E

A

F

Soá caïnh noái A, F laø 2

Soá caïnh noái A, F laø 6

A

G

F

A

G

F

A

F

Soá caïnh noái A, F laø 4

A

G

F

Soá caïnh noái A, F laø 6

D

E

E

D

E

E

D

Soá caïnh noái A, F laø 3

E

E

Soá caïnh noái A, F laø 5

s

ÑAÏI LÖÔÏNG TREÂN ÑOÀ THÒ

Khoaûng caùch giöõa hai ñænh.

Khoaûng caùch dv giöõa hai ñænh laø soá caïnh nhoû nhaát noái 2 ñænh.

Tìm dv(A, F)

dv(A,F) = 2


A i l ng tre n o th1

s

ÑAÏI LÖÔÏNG TREÂN ÑOÀ THÒ

Heä quaû :

dv laø moät metric treân ñoà thò lieân thoâng <g>.

Chöùng minh :

dv : <g><g>  R thoûa :

dv(X, X) = 0, X  <g>,

dv(X, Y) > 0, X  Y,

dv(X, Y) = dv(Y, X), X, Y  <g>,

dv(X, Y)  dv(X, Z) + dv(Z, Y), X, Y, Z  <g>


A i l ng tre n o th2

s

ÑAÏI LÖÔÏNG TREÂN ÑOÀ THÒ

Heä quaû :

Ñoà thò lieân thoâng vôùi khoaûng caùch dv laø moät khoâng gian metric.


A i l ng tre n o th3

s

ÑAÏI LÖÔÏNG TREÂN ÑOÀ THÒ

Khoaûng caùch leäch taâm.

Khoaûng caùch leäch taâm cuûa ñænh X trong ñoà thò <g> laø :

E(X) = max {dv(X, V) | V  <g>}


A i l ng tre n o th4

s

ÑAÏI LÖÔÏNG TREÂN ÑOÀ THÒ

Taâm cuûa ñoà thò.

Taâm cuûa ñoà thò laø ñænh coù khoaûng caùch leäch taâm nhoû nhaát.


A i l ng tre n o th5

s

ÑAÏI LÖÔÏNG TREÂN ÑOÀ THÒ

Ñònh lyù :

Caây coù 1 hoaëc 2 taâm.

Chöùng minh :

Moät caây coù ít nhaát 2 ñænh treo.

Ñænh treo V coù ñænh keà W  E(V) = E(W) + 1.

Do ñoù caùc ñænh treo khoâng theå laø taâm.

Xoùa ñi caùc ñænh treo taâm vaãn khoâng thay ñoåi.

Ñoà thò coøn laïi vaãn laø caây.

Tieáp tuïc xoùa caùc ñænh treo cho ñeán khi ñoà thò coøn laïi

laø 1 ñænh hay 1 caïnh.


A i l ng tre n o th6

s

ÑAÏI LÖÔÏNG TREÂN ÑOÀ THÒ

Daây.

Daây cuûa moät caây phuû laø caïnh khoâng thuoäc caây phuû.

Nhaùnh.

Nhaùnh laø caïnh thuoäc caây phuû.


A i l ng tre n o th7

s

ÑAÏI LÖÔÏNG TREÂN ÑOÀ THÒ

Haïng.

Haïng laø soá caïnh cuûa caùc caây phuû cuûa caùc thaønh phaàn lieân thoâng.

Ñoä khoâng.

Ñoä khoâng laø soá daây töông öùng vôùi moät caây phuû.


A i l ng tre n o th8

s

ÑAÏI LÖÔÏNG TREÂN ÑOÀ THÒ

Heä quaû :

Haïng(<g>) = Soá ñænh  Soá thaønh phaàn lieân thoâng.

Haïng(<g>) + Ñoäkhoâng(<g>) = Soá caïnh.


A i l ng tre n o th9

s

ÑAÏI LÖÔÏNG TREÂN ÑOÀ THÒ

Thí duï :

Haïng = 7 Ñoä khoâng = 4 Haïng = 6Ñoä khoâng = 7

ñoà thò <h> coù

caây phuû maøu xanh

Cho ñoà thò <g> coù

caây phuû maøu cam

Daây

Nhaùnh


Kg ca y phu h u l ng

s

KG CAÂY PHUÛ HÖÕU LÖÔÏNG

Tìm taát caû caây phuû cuûa moät ñoà thò lieân thoâng.

1. Lieät keâ taát caû chu trình : <c1>, <c2>, … , <ck>.

2. Xoùa moät caïnh e1 cuûa chu trình ñaàu tieân trong danh saùch <c1>.

3. Tieáp tuïc böôùc 2 cho ñeán khi khoâng coøn <ci> naøo laø chu trình.

 Ñoà thò coøn laïi laø moät caây phuû.

4. Backtracking töø <ck> ñeán <c1> phaùt sinh taát caû caây phuû.


Kg ca y phu h u l ng1

s

KG CAÂY PHUÛ HÖÕU LÖÔÏNG

Khoaûng caùch ds giöõa 2 caây phuû.

ds(<t>, <v>) = Soá caïnh cuûa caây phuû <t> ôû ngoaøi caây phuû <v>.


Kg ca y phu h u l ng2

s

KG CAÂY PHUÛ HÖÕU LÖÔÏNG

Heä quaû :

Khoâng gian caây phuû vôùi khoaûng caùch ds laø moät

khoâng gian höõu löôïng.

Chöùng minh :

Caùc tính chaát i, ii, iii cuûa metric deã daøng kieåm tra.


Kg ca y phu h u l ng3

<h>

<g>

6

1

5

2

3

4

7

<k>

s

KG CAÂY PHUÛ HÖÕU LÖÔÏNG

Chöùng minh : (tt)

Chöùng minh baát ñaúng thöùc tamgiaùc (iv) töø töông quan

cuûa 3 taäp hôïp.

<g> = 1+3+4+5,

<h> = 1+2+3+6,

<k> = 2+3+4+7

<g>  <h> = 4+5,

(<g>  <k>) + (<k>  <h>) = 5+1+4+7.

<g>  <h>  (<g>  <k>) + (<k>  <h>)


Ca y phu trung ta m

s

CAÂY PHUÛ TRUNG TAÂM

<t> laø caây phuû trung taâm cuûa <g> neáu :

* <t> laø caây phuû.

* maxi ds(<t>, <ti>) = minj maxk ds(<tj>, <tk>),

<ti>, <tj>, <tk> laø caây phuû cuûa <g>.


Thua t toa n ca y phu

s

THUAÄT TOAÙN CAÂY PHUÛ

1. Taïo caây troáng <t>

2. Boû moät ñænh baát kyø cuûa <g> vaøo <t>.

3. Neáu soá ñænh <t> baèng soá ñænh <g> thì döøng.

4. Tìm moät ñænh V khoâng thuoäc <t> sao cho coù moät

caïnh noái V vôùi <t>.

5. Theâm V vaøo <t>.

6. Laëp laïi böôùc 3.


Thua t toa n prim

s

THUAÄT TOAÙN PRIM

Choïn ñænh baát kyø A.

Choïn AF trong soá AB, AF.

Choïn AB trong soá AB, FD, FG.

Choïn BC trong soá FD, FG, BD, BC, BE.

Choïn CH trong soá FD, FG, BD, BE, CH, CE.

Choïn BD trong soá FD, FG, BD, BE, CE, HG.

Choïn CE trong soá FD, FG, BE, CE, HG, DE.

Choïn FG trong soá FG, BE, HG, DE, EG.

Toàng giaù trò 1+2+2+1+2+3+5 = 16.

B

C

2

2

4

1

3

2

A

4

D

H

E

3

7

1

6

5

G

F


Thua t toa n prim1

s

THUAÄT TOAÙN PRIM

Tìm caây phuû toái tieåu.

1. Taïo caây troáng <t>

2. Boû moät ñænh baát kyø cuûa <g> vaøo <t>.

3. Neáu soá ñænh <t> baèng soá ñænh <g> thì döøng.

4. Tìm moät ñænh V khoâng thuoäc <t> sao cho coù moät caïnh

noái V vôùi <t> coù troïng löôïng nhoû nhaát trong soá caùc caïnh noái töø V vaøo <t>.

5. Theâm V vaøo <t>.

6. Laëp laïi böôùc 3.


Thua t toa n kruskal

s

THUAÄT TOAÙN KRUSKAL

Xaép xeáp caùc caïnh theo thöù töï taêng daàn :

AF = CH, AB = BD = BC, CE = DF, BE = DE, FG, GH, EG.

Choïn caùc caïnh AF, CH, AB, BD, BC, CE, FG.

Toàng giaù trò 1+1+2+2+2+3+5 = 16.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

B

C

2

2

4

1

3

2

A

4

D

H

E

3

7

1

6

5

G

F


Thua t toa n kruskal1

s

THUAÄT TOAÙN KRUSKAL

Tìm caây phuû toái tieåu.

<g> = <V, E> laø ñoà thò lieân thoâng coù troïng löôïng.

Xeáp caùc caïnh cuûa E theo traät töï taêng daàn (ei)i.

1. Taïo caây troáng <t>, i = 1.

2. Boû ei vaøo <t> neáu khoâng taïo thaønh chu trình trong <t>.

3. i = i+1.

4. Neáu <t> coù |V|1 caïnh thì döøng.

5. Laëp laïi böôùc 2.


Ly thuye t o th

Cây tìm kiếm

Là một cây mô tả các chọn lựa có thể thực hiện trong mỗi bước của quá trình giải bài toán.

- Toàn bộ cây tìm kiếm được tượng trưng bằng một hình tam giác. - Vị trí bắt đầu ở đỉnh, vị trí kết thúc ở đáy.


Ly thuye t o th

Ví dụ

Bài toán 8 hậu : Cho bàn cờ vua 8x8. Hãy đặt các con hậu trên bàn cờ sao cho không quân hậu nào có thể ăn quân hậu nào.

1.

Trạng thái bắt đầu : Bàn cờ trống

Trạng thái kết thúc : Bàn cờ với 8 hậu không ăn nhau.

2.

3.

Không gian trạng thái : bàn cờ với 1, 2, ..., 8 hậu không ăn nhau.

Mối liên hệ : bàn cờ n hậu với n-1 hậu. ( Không tính chi phí )


Ly thuye t o th

Cây tìm kiếm

Bàn cờ trống

[8,8]

[1,1]

...

...

...

...

[8,8], [7,6]

[1,1], [2,3]

...


Ly thuye t o th

Bài toán 8 con hậu


State space database search

State Space

Không gian tìm kiếm thường là một graph

Mục tiêu tìm kiếm là một path

Phải lưu trữ toàn bộ không gian trong quá trình tìm kiếm

Không gian tìm kiếm biến động liên tục trong quá trình tìm kiếm

Đặc tính của trạng thái/nút là phức tạp & biến động

Database

Không gian tìm kiếm là một list hay tree

Tìm kiếm một record/nút

Phần tử đã duyệt qua là không còn dùng tới

Không gian tìm kiếm là cố định trong quá trình tìm kiếm

Thuộc tính của một record/nút là cố định

StateSpace & Databasesearch


Graph search

GraphSearch

Giải thuật graph search phải có khả năng tìm kiếm ra tất cả các path có thể có để tìm được nghiệm : PATH từ trạng thái khởi đầu đến goal.

Graph search thực hiện bằng cách “lần” theo các nhánh của graph. Từ một trạng thái, sinh ra các trạng thái con, chọn một trạng thái con, xem đó là trạng thái xét kế tiếp. Lặp lại cho đến khi tìm thấy một trạng thái đích.

“Lần” theo các trạng thái  Đi vào ngõ cụt ?

Khi gặp nhánh không đi tiếp được, giải thuật phải có khả năng quay lui lại trạng thái trước đó để đi sang nhánh khác: BACK TRACKING. Do đó giải thuật còn có tên là BACKTRACK search.


Depth first search

DepthFirstSearch

Procedure depth_frist_search;

Begin

open :=[start]; close:=[];

While (open <>[]) do

begin

remove X which is the leftmost of Open;

If (X=goal) the return (Success)

else begin

generate children of X; Put X to close;

eleminate children of X which is in Open or Close;

Put remain children on LEFT end of open;

End;

End;

Return (FALL);

End;

Làgraphsearchvớicácnút“concháu”củanúthiệnthờiđượcxemxéttrướccácnút“anhem”.


C c chi n l c t m ki m m

Các chiến lược tìm kiếm mù

Tìm kiếm theo chiều sâu: Depth-first search

Hiện thực: LIFO stack


Depth first search1

Depth-first search

Hiện thực: LIFO stack


Depth first search2

Depth-first search

Hiện thực: LIFO stack


Depth first search3

Depth-first search

Hiện thực: LIFO stack


Depth first search4

Depth-first search

Hiện thực: LIFO stack


Depth first search5

Depth-first search

Hiện thực: LIFO stack


Depth first search6

Depth-first search

Hiện thực: LIFO stack


Depth first search7

Depth-first search

Hiện thực: LIFO stack


Depth first search8

Depth-first search

Hiện thực: LIFO stack


T m ki m sa u

Tìm kiếm Saâu

Open = [A]; closed = []

Open = [B,C,D]; closed = [A]

Open = [E,F,C,D]; closed = [B,A]

Open = [K,L,F,C,D];closed = [E,B,A]

Open = [S,L,F,C,D];closed = [K,E,B,A]

Open = [L,F,C,D]; closed = [S,K,E,B,A]

Open = [T,F,C,D];

closed = [L,S,K,E,B,A]

Open = [F,C,D]; closed = [T,L,S,K,E,B,A]


Depth first search v d

DepthFirstSearch–Vídụ


Breath first search

BreathFirstSearch

Procedure Breath_frist_search;

Begin

open :=[start]; close:=[];

While (open <>[]) do

begin

remove X which is the leftmost of Open;

If (X=goal) the return (Success)

else begin

generate children of X; Put X to close;

eleminate children of X which is in Open or Close;

Put remain children on RIGHT end of open;

End;

End;

Return (FALL);

End;

Làgraphsearchvớicácnút“anhem”củanúthiệnthờiđượcxemxéttrướccácnút“concháu”


T m ki m r ng breadth first search

Các chiến lược tìm kiếm mù

Tìm kiếm rộng(Breadth-first search)

Hiện thực: FIFO queue.


Breadth first search

Breadth-first search

Hiện thực: FIFO queue.


Breadth first search1

Breadth-first search

Hiện thực: FIFO queue.


Breadth first search2

Breadth-first search

Hiện thực: FIFO queue.


T m ki m r ng

Tìm Kiếm Rộng

Open = [A]; closed = []

Open = [B,C,D];

closed = [A]

3. Open = [C,D,E,F];

closed = [A,B]

4. Open = [D,E,F,G,H];

closed = [A,B,C]

5. Open = [E,F,G,H,I,J];

closed = [A,B,C,D]

6. Open = [F,G,H,I,J,K,L];

closed = [A,B,C,D,E]

7. Open = [G,H,I,J,K,L,M];

(vì L đã có trong open);

closed = [A,B,C,D,E,F]


Breath first search k t qu th c hi n

BreathFirstSearchKết quả thực hiện


Breath first vs depth first

BreathFirstvsDepthFirst

Breath First: open được tổ chức dạng FIFO

Depth First: open được tổ chức dạng LIFO

Hiệu quả

Breath First luoân tìm ra nghiệm coù số cung nhỏ nhất

Depth First “thường” cho kết quả nhanh hơn.

Kết quả

Breath First search chắc chắn tìm ra kết quả nếu coù.

Depth First coù thể bị lặp voâ tận. Tại sao??????

Buøng nổ tổ hợp gaây khoù khăn lớn nhất cho thöïc hieän giải thuật naøy.

GiảiPhápchobùngnổtổhợp??


Ly thuye t o th

Rộng

Sâu


Ly thuye t o th

Rộng

Sâu

- Chỉ quan tâm đến hướng đi đã chọn.

- Quan tâm đến tất cả hướng đi  tốn bộ nhớ để lưu trữ

- Có thể đi vào các ngõ, nhánh cụt (không thể đi tiếp được nữa)  quay lui

- Không cần quay lui


Thua t toa n dijkstra

s

THUAÄT TOAÙN DIJKSTRA

Tìm ñöôøng ñi ngaén nhaát töø A ñeán H.

Laáy caây <t> = (A).

Ñænh keà cuûa <t> laø B, F.(i)

Ñöôøng noái vôùi A : AB = 2, AF = 1(ii)

 Choïn ñöôøng ngaén nhaát noái vôùi A : AF.(iii)

Theâm AF vaøo <t> = (A)(AF).(iv)

(i) B, D, G.

(ii) AB = 2, AFD = 4, AFG = 6

(iii)  Choïn AB.

(iv) <t> = (A)(AF)(AB).

B

C

2

2

4

1

3

2

A

4

D

H

E

3

7

1

6

5

G

F


Thua t toa n dijkstra1

s

THUAÄT TOAÙN DIJKSTRA

(i) D, G, C, E.

(i) ABC = 4, ABD = 4, ABE = 6, AFD = 4, AFG = 6

(ii) Choïn BC.

(iv) <t> = (A)(AF)(AB)(ABC).

(i) D, G, E, H.

(ii) AFD = 4, AFG = 6, ABD = 4, ABE = 6, AABCE = 7, ABCH = 5

(iii) Choïn FD.

(iv) <t> = (A)(AF)(AB)(ABC)(AFD).

B

C

2

2

4

1

3

2

A

4

D

H

E

3

7

1

6

5

G

F


Thua t toa n dijkstra2

s

THUAÄT TOAÙN DIJKSTRA

(i) G, E, H.

(ii) ABE = 6, ABCE = 7, AFDE = 8, ABCH = 5, AFG = 6

(iii) Choïn CH.

(iv) <t> = (A)(AF)(AB)(ABC)(AFD)(ABCH).

Vaäy ñöôøng ñi ngaén nhaát töø A ñeán H laø ABCH.

Nhöng tieáp tuïc ñeå caùc ñænh coøn laïi thuoäc <t>.

Tieáp tuïc :ABE = 6,

AFG = 6.

<t> = (A)(AF)(AB)(ABC)(AFD)(ABCH)(ABE)(AFG).

KQ : <t> laø caây Dijkstra, con ñöôøng ngaén nhaát töø A ñeán taát caû caùc ñænh.

B

C

2

2

4

1

3

2

A

4

D

H

E

3

7

1

6

5

G

F


Thua t toa n dijkstra3

s

THUAÄT TOAÙN DIJKSTRA

Tìm ñöôøng ñi ngaén nhaát giöõa 2 ñænh.

<g> = <V, E> laø ñoà thò lieân thoâng coù troïng löôïng.

1. Choïn ñænh X laø thaønh phaàn 1.

2. Choïn caïnh ngaén nhaát noái vôùi thaønh phaàn 1 laøm thaønh phaàn 2.

3. Trong caùc caïnh noái vôùi caùc thaønh phaàn choïn caïnh coù con ñöôøng noái ñeán X ngaén nhaát laøm thaønh thaønh phaàn keá tieáp.

4. Böôùc 3 ñöôïc thöïc hieän cho tôùi khi moïi ñænh ñeàu ñöôïc choïn thì döøng.


Ly thuye t o th7

s

LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ


O th pha ng

s

ÑOÀ THÒ PHAÚNG

(Trong chöông naøy chæ xeùt caùc ñoà thò khoâng coù ñænh coâ laäp)

Bieåu dieãn phaúng laø bieåu dieãn treân maët phaúng hai chieàu sao cho

caùc caïnh khoâng caét nhau.

Ñoà thò phaúng laø ñoà thò coù bieåu dieãn phaúng.

Bieåu dieãn khoâng phaúng cuûa ñoà thò phaúng

Bieåu dieãn phaúng cuûa ñoà thò phaúng

Ñoà thò khoâng phaúng


A die n

Ña dieän

Bieåu dieãn phaúng cuûa ña dieän

s

ÑA DIEÄN

Khoái ña dieän coù theå laøm xuïp xuoáng thaønh ñoà thò phaúng.

Ñònh lyù :

v laø soá ñænh, e laø soá caïnh, f laø soá maët cuûa ña dieän.

f = e  v +2.


O th pha ng1

1

2

3

4

5

s

ÑOÀ THÒ PHAÚNG

Ñònh lyù : (coâng thöùc Euler)

Ñoà thò phaúng lieân thoâng coù soá ñænh v, caïnh e, mieàn f.

f = e  v +2.

Chöùng minh :

Truy chöùng treân soá caïnh.

soá ñænh v = 8

soá caïnh e = 11

soá mieàn f = 5


O th pha ng2

s

ÑOÀ THÒ PHAÚNG

Heä luaän : (coâng thöùc Euler)

Ñoà thò phaúng, lieân thoâng, ñôn giaûn coù soá ñænh v,soá caïnh e (>2), soá mieàn f.

e  3f/2

e  3v  6.

Heä luaän :

Ñoà thò phaúng, ñôn giaûn coù ít nhaát moät ñænh baäc  5.


O th pha ng3

K5

K3,3

K3,3

s

ÑOÀ THÒ PHAÚNG

Boå ñeà :

K5, K3,3 laø ñoà thò khoâng phaúng.

K5laø ñoà thò khoâng phaúng vôùi soá ñænh nhoû nhaát.

K3,3laø ñoà thò khoâng phaúng vôùi soá caïnh nhoû nhaát.


O ng ca u

s

ÑOÀNG CAÁU

Hai ñoà thò ñöôïc goïi laø ñoàng caáu neáu bieán ñoåi ñöôïc laãn nhau

baèng caùch theâm hoaëc bôùt caùc ñænh baäc 2.


O ng ca u1

s

ÑOÀNG CAÁU

Boå ñeà :

Neáu ñoà thò phaúng thì moïi ñoà thò con cuûa noù cuõng phaúng.

Boå ñeà :

Moät ñoà thò laø phaúng  moïi ñoàng caáu cuûa noù ñeàu phaúng.

Ñònh lyù : (Kuratowski)

<g> laø phaúng  <g> khoâng chöùa ñoàng caáu vôùi K5 hoaëc K3,3.


O ng ca u2

s

ÑOÀNG CAÁU

Ñoà thò chöùa moät ñoàng caáu vôùi K5


O ng ca u3

s

ÑOÀNG CAÁU

Ñoà thò chöùa moät ñoàng caáu vôùi K3,3


O th o i nga u

s

ÑOÀ THÒ ÑOÁI NGAÃU

Ñoà thò <g> = <V, E> laø ñoái ngaãu cuûa <h> = <W, F> neáu coù

aùnh xaï 1-1treân f : E  F :

f(chu trình) = taäp caét, hoaëcf(taäp caét) = chu trình.

<g> ñoái ngaãu vôùi <h>

<k> cuøng ñoái ngaãu vôùi <h>

1

1

2

1

3

5

2

5

3

6

4

2

6

4

4

5

3

6

<h>

<k>

<g>


O th o i nga u1

4

1

4

5

2

3

2

3

5

1

s

ÑOÀ THÒ ÑOÁI NGAÃU

Hai ñoà thò ñoái ngaãu khoâng caàn thieát coù aùnh xaï 1-1treân giöõa taäp ñænh.


Ve o th o i nga u

s

VEÕ ÑOÀ THÒ ÑOÁI NGAÃU

Qui trình D

Veõ ñoà thò <h> töø moät bieåu dieãn phaúng cuûa <g> :

* Moãi mieàn cuûa <g> laáy moät ñænh cho <h>.

* Moãi caïnh e cuûa <g> veõ moät caïnh f noái 2 ñænh

naèm trong 2 mieàn keà vôùi e.

Keát quaû cuûa qui trình D laø moät ñoà thò ñoái ngaãu.


Ve o th o i nga u1

s

VEÕ ÑOÀ THÒ ÑOÁI NGAÃU

Qui trình D


O th o i nga u2

s

ÑOÀ THÒ ÑOÁI NGAÃU

Ñoà thò K4 ñoái ngaãu vôùi chính noù goïi laø töï ñoái ngaãu.


Ve o th o i nga u2

s

VEÕ ÑOÀ THÒ ÑOÁI NGAÃU

Ñònh lyù: (Whitney)

Ñoà thò <g> coù ñoái ngaãu <g> phaúng.


Ly thuye t o th8

s

LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ


To ma u

s

TOÂ MAØU

Toâ maøu ñænh hay toâ maøu laø toâ hai ñænh keà khoâng cuøng maøu.

<g> laø n-maøu neáu coù moät caùch toâ vôùi soá maøu duøng  n.

Saéc ñoä ñænh hay ñôn giaûn laø saéc ñoä cuûa moät ñoà thò laø soá maøu nhỏ nhaát duøng ñeå toâ maøu.

Saéc ñoä = 2

Saéc ñoä = 3

Saéc ñoä = 3


To ma u1

s

TOÂ MAØU

Thuaät toaùn Welch-Powell :

1. Xaéáp xeáp thöù töï baäc caùc ñænh theo traät töï giaûm daàn.

2. Toâ maøu taát caû caùc ñænh theo thöù töï vöøa xeáp, khoâng toâ caùc ñænh keà cuûa ñænh ñaõ toâ.

Thuaät toaùn döøng khi taát caû caùc ñænh ñaõ ñöôïc toâ.

3. Baét ñaàu toâ laïi caùc ñænh vôùi moät maøu môùi, vôùi danh saùch laø caùc ñænh chöa ñöôïc toâ.


To ma u2

B

C

D

A

G

E

F

s

TOÂ MAØU

Duøng thuaät toaùn Welch-Powell toâ maøu ñoà thò sau :

1. Xeáp thöù töï caùc ñænh theo baäc giaûn daàn :

BFDGECA

2. Toâ maøu caùc ñænh :

Vaøng(B), Vaøng(E) FDGCA

Xanh(F), Xanh(D) GCA

Cam(G), Cam(C) A

Tím(A).

Saéc ñoä = 4.


To ma u3

B

C

I

G

A

D

H

J

E

F

s

TOÂ MAØU

Thuaät toaùn Welch-Powell khoâng cho keát quaû toát nhaát.

1. Xeáp thöù töï caùc ñænh  ADBCEFGHIJ

2. Toâ maøu caùc ñænh :

Vaøng(A, D), Cam(B, F, G, H, I, J), Xanh(C, E).

Tuy nhieân :Saéc ñoä = 2.


To ma u4

A

G

B

F

C

E

D

s

TOÂ MAØU

Laäp lòch thi.Coù 7 moân caàn xeáp lòch : A, B, C, D, E, F, G.

Caùc moân coù chung sinh vieân : AB, AC, AD, AG, BC, BD, BE, BG, CD, CF, CG, DE, DF, EG, FG.

Xeáp lòch laø toâ maøu ñoà thò :

Ngaøy vaøng moân C, E.

Ngaøy xanh moân B.

Ngaøy tím moân D, G.

Ngaøy ñoû moân A, F.

Ngaøy vaøng moân C, E.

Ngaøy xanh moân B, F.

Ngaøytím moân D, G.

Ngaøy ñoû moân A.


To ma u5

s

TOÂ MAØU

Ñònh lyù :

Caùc phaùt bieåu sau töông ñöông :

1. <g> laø 2-maøu.

2. <g> laø löôõng phaân.

3. <g> khoâng coù chu trình vôùi chieàu daøi leû.


To ma u6

s

TOÂ MAØU

Ñònh lyù :

1. Kn coù saéc ñoä n.

2. Moät chu trình coù soá ñænh  3 coù saéc ñoä 2 neáun chaünvaø saéc ñoä 3 neáu n leû.

3. Ñoà thò chöùa ñoà thò con coù saéc ñoä n thì coù saéc ñoäít nhaát laø n.

4. Ñoà thò coù saéc ñoä 2  khoâng coù chu trình coùsoá caïnh leû.

5. Saéc ñoä cuûa ñoà thò  baäc lôùn nhaát +1.

6. Caây coù töø 2 ñænh trôû leân coù saéc ñoä 2.


To ma u7

e

a

b

d

h

g

c

f

s

TOÂ MAØU

Hai mieàn cuûa moät ñoà thò phaúng ñöôïc goïi laø keà nhau neáucoù ít nhaát moät caïnh chung.

Thí duï :Mieàn a keà vôùi b, g, h.

Mieàn b keà vôùi a, d.


To ma u8

s

TOÂ MAØU

Baûn ñoà laø moät bieåu dieãn phaúng.

Toâ maøu baûn ñoà laø toâ mieàn sao cho hai mieàn keà khaùc maøu.

Toâ maøu mieàn laø moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa toâ maøu ñænh.

Vieäc toâ maøu khoâng caàn quan taâm ñeán caïnh song song vaø voøng.

Baøi toaùn toâ maøu laø baøi toaùn phaân hoaïch.

Toâ maøu caïnh laø toâ hai caïnh keà khoâng cuøng maøu.


To ma u9

s

TOÂ MAØU

Ñònh lyù :

Moïi ñoà thò phaúng laø 5-maøu.


To ma u10

s

TOÂ MAØU

Saéc ñoä caïnh cuûa moät ñoà thò laø soá maøu nhoû nhaát duøng ñeå toâ maøu caïnh.


To ma u11

s

TOÂ MAØU

Ñònh lyù :

1. Kn coù saéc ñoä caïnh laø n1 neáu n chaün, laø n neáu n leû.

2. Ñoà thò löôõng phaân coù saéc ñoä caïnh baèng vôùi baäc lôùn nhaát.


Ly thuye t o th

Bài toán tô màu bản đồ

Cho một bản đồ, tô màu cho mỗi nước trên bản đồ sao cho hai nước láng giềng (có chung đường biên giới) có hai màu khác nhau.

Vấn đề: số màu cần dùng tối đa là bao nhiêu?

1976 người ta đã dùng máy tính để chứng minh được là chỉ cần dùng tối đa là 4 màu.


Ly thuye t o th

Bài toán tô màu bản đồ

Chuyển bài toán về dạng đồ thị, mỗi đỉnh là một nước. Hai nước có chung đường biên giới thì hai đỉnh tương ứng sẽ có cung nối với nhau.

1

3

7

6

4

5


Ly thuye t o th

Bài toán tô màu bản đồ

Cách giải : thuật toán tối ưu dựa trên nguyên lý thứ tự.

Bậc của một đỉnh : là tổng số cung nối đến đỉnh đó.

2

Bậc (2) = 2Bậc (3) = 4Bậc (4) = 2

Bậc (5) = 2

Bậc (6) = 3

Bậc (7) = 3

3

7

6

4

5


Ly thuye t o th

Bài toán tô màu bản đồ

Thuật toán

  • i := 1;

  • WHILE <tồn tại đỉnh chưa được tô màu> DO

    • WHILE <tồn tại đỉnh có thể tô màu Ci> DOChọn đỉnh Pm có bậc cao nhất ( có thể tô màu Ci )Tô màu Ci cho đỉnh PmĐặt bậc của đỉnh Pm = 0 Với mỗi đỉnh Lk có cung nối với đỉnh PmBậc(Lk) = Bậc(Lk) – 1Cấm tô màu Ci cho đỉnh Lk

    • i = i + 1; { Chọn màu tô kế tiếp }


Ly thuye t o th

Bài toán tô màu bản đồ

[2]

1

[3]

[4]

3

2

4

[3]

6

[2]

5

[2]


Ly thuye t o th

Bài toán tô màu bản đồ

[2]  [1]

1

[3]  [2]

[4]  [0]

3

2

4

6

[3]  [2]

5

[2]  [1]

[2]


Ly thuye t o th

Bài toán tô màu bản đồ

[1]

1

[2]

[0]

3

2

4

6

[2]  [1]

5

[1]  [0]

[2]  [0]


Ly thuye t o th

Bài toán tô màu bản đồ

[1]  [0]

1

[2]  [0]

[0]

3

2

4

6

[1]  [0]

5

[0]

[0]


Ly thuye t o th

Bài toán tô màu bản đồ

[0]

1

[0]

[0]

3

2

4

6

[0]

5

[0]

[0]


Ly thuye t o th

Bài toán tô màu bản đồ

[0]

1

[0]

[0]

3

2

4

6

[0]

5

[0]

[0]


Ly thuye t o th

Thuậttoántômàutốiưutrênđồthị


Thu t to n t m u t i u tr n th

Thuật toán tô màu tối ưu trên đồ thị


B i t p

B

F

G

A

C

H

I

E

D

Bài tập


V d 2 ph n c ng l ch c ng t c l ch thi u

Vídụ 2: Phâncông, lịchcôngtác, lịchthiđấu

  • Có một cuộc hội thảo khoa học với 9 chủ đề khác nhau, mỗi chủ đề diễn ra trong một buổi.

  • Các chủ đề sau không được đồng thời: AE, BC, CD, ED, ABD, AHI, BHI, DFI, DHI, FGH.

  • Xây dựng lịch sao cho số buổi diễn ra là ít nhất.

  • Gợi ý: số màu = số buổi.


Ae bc cd ed abd ahi bhi dfi dhi fgh

AE, BC, CD, ED, ABD, AHI, BHI, DFI, DHI, FGH.


Ly thuye t o th9

s

LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ


Ma ng c ba n

A

D

5

3

1

1

4

E

B

2

2

3

S

T

4

2

1

1

F

C

s

MAÏNG CÔ BAÛN

Maïng cô baûn laø ñoà thò ñôn giaûncoù höôùng coù :

Hai nguoàn (nguoàn vaøo S vaø nguoàn raT).

Moãi caïnh coù moät taûi.


Do ng

doøng

taûi

doøng

A

doøng

B

s

DOØNG

Doøng cuûa caïnh laø löôïng nöôùc chaûy qua caïnh.

Doøng cuûa maïng laø toång doøng cuûa caùc caïnh xuaát phaùt töø S.

Doøng cuûa maïng ñöôïc goïi ñôn giaûn laø doøng

Taûi cuûa moãi caïnh laø doøng toái ña chaûy qua caïnh.


Do ng1

s

DOØNG

Doøng cuûa maïng cuõng laø toång doøng cuûa caùc caïnh ñeán T.

Vì doøng cuûa caùc caïnh xuaát phaùt töø S ñeàu ñöôïc baûo toàn taïi caùc ñænh, neân doøng cuûa taát caû caùc caïnh ñeán T phaûi baèng toàng doøng cuûa caùc caïnh xuaát phaùt töø S.


Do ng2

A

D

2,5

2,3

2,4

0,1

0,1

E

B

2,2

2,2

2,3

S

T

0,1

0,4

0,2

0,1

F

C

s

DOØNG

Doøng cuûa caïnh laø moät giaù trò khoâng aâm thoûa 2 ñieàu kieän :

Doøng cuûa caïnhTaûi cuûa caïnh.

Taïi moãi ñænh :[toång doøng caïnh vaøo] = [toång doøng caïnh ra].


Ca nh ba o ho a

A

D

2,5

2,3

2,4

0,1

0,1

E

B

2,2

2,2

2,3

S

T

0,1

0,4

0,2

0,1

F

C

s

CAÏNH BAÛO HOØA

Caïnh baûo hoøa laø caïnh coù doøng = taûi.

eg : Caïnh SB, ET.

Doøng cuûa maïng laø doøng cuûa caùc caïnh töø ñænh S.

eg : SA + SB + SC = 2+2+0 = 4

Doøng cöïc ñaïi laø doøng cuûa maïng coù giaù trò lôùn nhaát coù theå.


Ng ta ng do ng

A

D

2,5

2,3

2,4

0,1

0,1

E

B

2,2

2,2

2,3

S

T

0,1

0,4

0,2

0,1

F

C

s

ÑÖÔØNG TAÊNG DOØNG

Ñöôøng taèng doøng laø ñöôøng töø S ñeán T khoâng chöùacaïnh baûo hoøa.

Ñöôøng SADT laø ñöôøng taêng doøng.

Ñöôøng SBFT khoâng laø ñöôøng taêng doøng vì coù caïnh SB baûo hoøa.


Ng ta ng do ng1

A

D

0,1

0,1

E

B

2,2

2,2

2,3

S

T

0,1

0,4

0,2

0,1

F

C

s

ÑÖÔØNG TAÊNG DOØNG

Taêng doøng cho moãi caïnh cuûa SADT leân 1.

Doøng taêng töø 4 leân 5 (3+2+0).

Maïng baây giôø khoâng coù ñöôøng naøo laø ñöôøng taêng doøng.

Nhöng 5 chöa phaûi laø doøng cöïc ñaïi.

2,5

3,5

2,4

3,4

2,3

3,3


Ng ta ng do ng2

A

D

3,5

3,3

3,4

0,1

0,1

E

B

2,2

2,2

S

T

F

C

s

ÑÖÔØNG TAÊNG DOØNG

Taêng doøng SC leân 1.

 doøng CE cuõng phaûi taêng 1.

Taïi E bò leäch (3 ñeán vaø 2 ra) .

 giaûm doøng BE ñi 1.

Taïi B laïi bò leäch.

 taêng doøng BF (hay BD) leân 1

Taïi F (hay D) laïi bò leäch.

 taêng doøng FT (hay DT) leân 1.

Doøng cuûa maïng baây giôø laø 6.

1,3

2,3

1,1

0,1

1,4

0,4

1,2

0,2

1,1

0,1


Ng ta ng do ng3

B

E

S

T

C

F

C

B

E

S

F

T

s

ÑÖÔØNG TAÊNG DOØNG

2,3

1,3

Ñònh nghóa laïi khaùi nieäm ñöôøng taêng doøng.

Ñöôøng taêng doøng laø ñöôøng töø S ñeán T chöùa :

caùc caïnh cuøng höôùng khoâng baûo hoøa,

caùc caïnh nghòch höôùng coù doøng  0.

0,1

0,1

1,1

1,1

0,4

1,4

0,2

1,2

1,1

0,1

1,3

2,3

1,2

0,2

1,1

0,1

1,4

0,4


Th du

4,7

3,4

2,5

0,7

2,9

5,6

A

D

C

B

S

E

T

2,7

0,9

6,7

1,4

4,5

3,6

 min laø 2

 min laø 3

s

THÍ DUÏ

Tìm ñöôøng taêng doøng cöïc ñaïi.

SA coù theå taêng toái ñalaø 3

BC…laø 3

CD…laø 7

AB coù theå giaûm toái ña laø 3

DE…laø 2

ET…laø 5

Do ñoù doøng coù theå taêng toái ña 2 (= min {3, 2}).


T m do ng c c a i

s

TÌM DOØNG CÖÏC ÑAÏI

Ñeå tìm doøng cöïc ñaïi thì tìm nhöõng ñöôøng taêng doøng vaø giataêng cöïc ñaïi, vieäc naøy ñöôïc thöïc hieän cho ñeán khi khoâng coøn ñöôøngtaêng doøng.

Tuy nhieân khi ñoà thò coù soá caïnh khaù lôøn thì vieäc tìm taát caûñöôøng taêng doøng khoâng coøn deã daøng.

Caàn nghieân cöùu thuaät toaùn doøng cöïc ñaïi.


Ta p ca t4

s

TAÄP CAÉT

Taäp caét cuûa maïng laø taäp hôïp caùc caïnh sao cho laáy ñi thì maïng bò rôøi raïc thaønh 2 thaønh phaàn (phaàn X chöùa nguoàn vaøo S, phaàn Y chöùa nguoàn ra T).

Yù nieäm taäp caét baét nguoàn töø khaùi nieäm bottle-neck.

B

C

khoâng laø taäp caét

laø taäp caét

T

S

E

D

A


Ta p ca t5

s

TAÄP CAÉT

Doøng cuûa maïng =

Toång doøng cuûa caùc caïnh cuûa taäp caét höôùng töø S ñeán T 

Toång doøng cuûa caùc caïnh cuûa taäp caét höôùng töø T ñeán S.


Ta p ca t6

s

TAÄP CAÉT

Taûi cuûa taäp caét laø toång taûi cuûa caùc caïnh trong taäp caét coù höôùngtöø phaàn chöùa S vaøo phaàn chöùa T.

B

A

2

6

4

4

5

T

2

S

2

3

10

3

C

D

Taûi cuûa taäp caét = 7

Taûi cuûa taäp caét = 11


Ta p ca t7

s

TAÄP CAÉT

Taäp caét cöïc tieåu laø taäp caét coù taûi nhoû nhaát.

Taûi cuûa taäp caét C1 = {SA, AB, BD, BE, CE} = SA+BD+BE+CE = 25.

Taûi cuûa taäp caét C2 = {SA, AB, BD, ET} = SA + BD + ET = 12.

Moïi taäp caét khaùc ñeàu coù taûi lôùn hôn 12  C2 laø taäp caét cöïc tieåu.

A

10

D

5

4

9

3

B

6

T

S

11

4

2

8

E

6

C


Ta p ca t8

A

B

4

5

2

T

S

1

3

8

4

3

C

D

s

TAÄP CAÉT

Taát caû caùc taäp caét cuûa ñoà thò :

Taäp caét cöïc tieåu laø {BC, BT, CD}.


Max flow min cut

Taäp caét

Doøng

s

MAX-FLOW MIN-CUT

Moät doøng baát kyø Taûi cuûa moïi taäp caét.

 Doøng cöïc ñaïi Taûi cuûa moïi taäp caét.

 Doøng cöïc ñaïi Taûi cuûa taäp caét cöïc tieåu.


Max flow min cut1

Taûi cuûa taäp caét

Doøng töø X vaøo Y

X

Y

S

T

s

MAX-FLOW MIN-CUT

Taûi cuûa taäp caét  Doøng caïnh töø X vaøo Y

Doøng = ( Doøng caïnh töø XY)  ( Doøng caïnh töø YX)

Doøng töø Y vaøo X

Taäp caét


Ta p ca t9

B

A

1,2

4,6

4,4

1,4

2,5

T

1,2

S

2,2

2,3

2,10

2,3

C

D

s

TAÄP CAÉT

Taäp caét  = {AD, BT, BD, CD}, X = {S, A, B, C}, Y = {D, T}.

Taûi cuûa taäp caét = AD + BT + CD = 2 + 6 + 3 = 11.

Doøng töø X vaøo Y = AD + BT + CD = 2 + 4 + 2 = 8.

Doøng töø Y vaøo X = BD = 2.

Doøng cuûa maïng = (Doøng töø X vaøo Y)  (Doøng töø Y vaøo X) = 6.


Max flow min cut2

s

MAX-FLOW MIN-CUT

Ñònh lyù : (max-flow min-cut theorem)

Doøng cöïc ñaïi = Taûi cuûa taäp caét cöïc tieåu.

Chöùng minh :

Ta coù doøng cöïc ñaïi  taûi cuûa taäp caét cöïc tieåu.

Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc chæ caàn tìm taäp caét coù taûi baèng vôùi doøng cöïc ñaïi.

Goïi  laø doøng cöïc ñaïi.

X = {W  coù moät ñöôøng taêng doøng ñi töø S ñeán ñænh W}

Y = (Taäp ñænh cuûa ñoà thò)  (X  {S}).

 T  Y, neáu T  X thì coù ñöôøng taêng doøng töø S ñeán T vaø khoâng laø doøng cöïc ñaïi.


Max flow min cut3

s

MAX-FLOW MIN-CUT

Chöùng minh : (tieáp theo)

 = {caïnh noái X vaø Y} laø taäp caét.

Moïi caïnh MN töø X höôùng vaøo Y phaûi baûo hoøa,(1)

töø Y höôùng vaøo Xcoù doøng baèng 0,(2)

neáu khoâng thì coù ñöôøng taêng doøng töø S vaøo N vaø N  X.

(1)  Taûi cuûa  = Toång doøng caùc caïnh cuûa  noái X vaøo Y.

(2)  Doøng cuûa maïng = Toång doøng caùc caïnh cuûa  noái X vaøo Y.

Doøng cuûa maïng = Taûi cuûa taäp caét .

(doøng naøo ñoù  doøng cöïcñaïi  taûi cuûa taäp caét cöïctieåu taûi cuûa 1 taäp caét)

Vaäy Doøng cöïc ñaïi  = Taûi cuûa taäp caét cöïc tieåu.


Max flow min cut4

s

MAX-FLOW MIN-CUT

Chöùng minh treân cho moät thuaät toaùn tìm doøng cöïc ñaïi.

1. Tìm taäp X = {W  coù ñöôøng taêng doøng töø S ñeán W}.

2. Tìm taäp Y = V  (X  {S}).

3. Tìm  = {caïnh noái X vaø Y}.

4. Taûi cuûa  = Toång doøng caùc caïnh cuûa  noái X vaøo Y.

5. Doøng cöïc ñaïi  = Taûi cuûa .


Max flow min cut5

A

D

38,50

15,15

40,40

36,36

22,22

20,20

13,15

E

28,30

48,48

S

T

66,70

B

12,12

10,24

20,20

30,30

52,60

0,18

40,40

C

F

s

MAX-FLOW MIN-CUT

X = {A, B, C, D, E}.

Ñænh A (SB, BA), B (SB), C (SB, BE, EC), D (SB, BA, AD), E (SB, BE).

Y = {F, T}.

Taäp caét  = {CF, EF, DT, ET, FE}.

Taûi cuûa taäp caét = 40+12+36+48 = 136.

 Doøng cöïc ñaïi laø 136.


Thua t toa n max flow

5

A

D

0,5

3

4

1

1

0,3

0,1

0,1

0,4

2

3

2

E

B

0,2

0,3

0,2

S

T

1

4

2

0,1

0,4

0,2

1

0,1

F

C

s

THUAÄT TOAÙN MAX-FLOW

Tìm doøng cöïc ñaïi cuûa maïng :

Cho moãi caïnh moät doøng baèng 0.

Baét ñaàu töø S choïn caïnh khoâng baûo hoøa SA.

SA coù taûi 3, cho ñænh A nhaõn (S,3).

(S,3)


Thua t toa n max flow1

3,5

0,5

3,3

0,3

0,1

0,1

0,1

0,1

0,4

3,4

0,2

0,2

0,3

0,3

0,2

0,2

0,1

0,1

0,4

0,4

0,2

0,2

0,1

0,1

(S,3)

A

D

E

B

S

T

s

F

C

THUAÄT TOAÙN MAX-FLOW

Choïn AD,AD coù taûi 5 nhöng SA coù taûi 3

neân cho D nhaõn (A,3).

Töông töï, T coù nhaõn (D,3).

Tìm ñöôïc ñöôøng taêng doøng SADT.

(A,3)

(D,3)


Thua t toa n max flow2

A

D

3,5

3,5

E

B

3,3

3,3

S

0,1

0,1

1,1

0,1

3,4

4,4

T

0,2

0,2

1,3

0,3

0,2

0,2

F

0,1

0,1

C

0,4

0,4

0,2

0,2

0,1

0,1

s

THUAÄT TOAÙN MAX-FLOW

Töông töï, tìm ñöôøng taêng doøng thöù 2 SBDT.

Ñænh B coù nhaõn (S,3), D nhaõn (B,1), T nhaõn (D,1).

Doøng taêng ñöôïc 1.

Vaãn coøn caïnh khoâng baûo hoøa ñeán B.


Thua t toa n max flow3

A

D

3,5

3,5

E

B

3,3

3,3

S

0,1

0,1

1,1

1,1

4,4

4,4

T

0,2

2,2

3,3

1,3

2,2

0,2

F

0,1

0,1

C

0,4

0,4

0,2

0,2

0,1

0,1

s

THUAÄT TOAÙN MAX-FLOW

Tìm ñöôïc ñöôøng taêng doøng thöù 3 SBET.

Ñænh B coù nhaõn (S,2), E nhaõn (B,2), T nhaõn (E,2).

Doøng taêng ñöôïc 2.

Tieáp tuïc vôùi ñænh C.


Thua t toa n max flow4

A

D

3,5

3,5

E

B

3,3

3,3

S

0,1

0,1

1,1

1,1

4,4

4,4

T

2,2

2,2

3,3

3,3

2,2

1,2

F

1,1

0,1

C

1,4

0,4

0,2

1,2

1,1

0,1

s

THUAÄT TOAÙN MAX-FLOW

Tìm ñöôïc ñöôøng taêng doøng SCEBFT.

C coù nhaõn (S,2), E coù nhaõn (C,1).

Töø ET ñaõ baûo hoøa neân E lui veà B,

B coù nhaõn (E,1), F nhaõn (B,1), T nhaõn (F,1).

Doøng taêng ñöôïc 1.


Thua t toa n max flow5

A

D

3,5

E

B

3,3

S

0,1

1,1

4,4

T

2,2

3,3

1,2

F

1,1

C

1,4

1,2

1,1

s

THUAÄT TOAÙN MAX-FLOW

SC khoâng baûo hoøa cho ñænh C nhaõn (S,1),

nhöng khoâng theå tieáp tuïc.

Thuaät toaùn döøng vôùi doøng cöïc ñaïi 7.


Thua t toa n max flow6

5

A

D

3

4

1

1

2

3

2

E

B

S

A

B

C

D

E

F

T

S

T

S

0,3

0,3

0,2

1

4

A

0,5

0,1

2

1

B

0,1

0,2

0,1

C

0,1

F

C

D

0,4

E

0,2

F

0,4

T

s

THUAÄT TOAÙN MAX-FLOW

Tìm doøng cöïc ñaïi cuûa maïng.

Duøng phöông phaùp baûng.

Ñieàn vaøo baûng taûi cuûa caùc caïnh vôùi doøng 0.


Thua t toa n max flow7

S

A

B

C

D

E

F

T

S

0,3

3,3

0,3

0,3

0,2

0,2

A

3,5

0,5

0,1

0,1

B

0,1

0,1

0,2

0,2

0,1

0,1

C

0,1

0,1

D

0,4

3,4

E

0,2

0,2

F

0,4

0,4

T

s

THUAÄT TOAÙN MAX-FLOW

Ñænh S, SA coù theå coù doøng 3, gaùn A nhaõn (S,3).

Ñænh A, AD coù theå coù doøng 5, gaùn D nhaõn (A,3).

Ñænh D, DT coù theå coù doøng 4, gaùn T nhaõn (D,3).

 Ñöôøng taêng doøng SADT taêng 3.


Thua t toa n max flow8

S

A

B

C

D

E

F

T

S

3,3

3,3

1,3

0,3

0,2

0,2

A

3,5

3,5

0,1

0,1

B

0,1

1,1

0,2

0,2

0,1

0,1

C

0,1

0,1

D

3,4

4,4

E

0,2

0,2

F

0,4

0,4

T

s

THUAÄT TOAÙN MAX-FLOW

Choïn SB, gaùn B nhaõn (S,3).

Choïn BD, gaùn D nhaõn (B,1).

Choïn DT, ñænh T coù nhaõn (D,1).

 Ñöôøng taêng doøng SBDT taêng 1.


Thua t toa n max flow9

S

A

B

C

D

E

F

T

S

3,3

3,3

3,3

1,3

0,2

0,2

A

3,5

3,5

0,1

0,1

B

1,1

1,1

2,2

0,2

0,1

0,1

C

0,1

0,1

D

4,4

4,4

E

2,2

0,2

F

0,4

0,4

T

s

THUAÄT TOAÙN MAX-FLOW

Choïn SB (chöa baûo hoøa), gaùn B nhaõn (S,2).

Choïn BE, gaùn E nhaõn (B,2).

Choïn ET, ñænh T coù nhaõn (E,2).

 Ñöôøng taêng doøng SBET taêng 2.


Thua t toa n max flow10

S

A

B

C

D

E

F

T

S

3,3

3,3

3,3

3,3

1,2

0,2

A

3,5

3,5

0,1

0,1

B

1,1

1,1

1,2

2,2

0,1

1,1

C

1,1

0,1

D

4,4

4,4

E

2,2

2,2

F

1,4

0,4

T

s

THUAÄT TOAÙN MAX-FLOW

SC, gaùn C nhaõn (S,2). CE, gaùn E nhaõn (C,1).

E bò ñöùng neân lui laïi B.BE, gaùn B nhaõn (E,1).

BF, F gaùn nhaõn (B,1). FT, T gaùn nhaõn (F, 1).

 Ñöôøng taêng doøng SCEBFT taêng 1.


Thua t toa n max flow11

S

A

B

C

D

E

F

T

S

3,3

3,3

1,2

A

3,5

0,1

B

1,1

2,2

1,1

C

1,1

D

4,4

E

2,2

F

1,4

T

s

THUAÄT TOAÙN MAX-FLOW

Ñænh C coù nhaõn (S,1), nhöng khoâng coøn caïnhkhoâng baûo hoøa vaø nghòch höôùng töø C.

Do ñoù thuaät toaùn döøng.

Doøng cöïc ñaïi laø 4+2+1 = 7 (hay 3+3+1).


Ly thuye t o th10

s

LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ


Flow networks

A

D

2t

3t

4t

4t

E

B

2t

2t

3t

Caàn Thô

Long An

4t

2t

3t

5t

F

C

s

FLOW NETWORKS

Nhaø maùy LAMILK saûn xuaát söõa hoäp taïi Long An coù kho haøng taïi Caàn Thô. Moãi ngaøy phaûi mang saûn phaåm veà chöùa taïi kho Caàn Thô. Töø LA ñeán CT coù nhieàu con ñöôøng ñi qua moät soá ñòa phöông nhö hình veõ sau :

Treân caùc ñoaïn ñöôøng naøy coù giôùi haïn veà troïng taûi cuûa xe, treân moãi tuyeán ñöôøng xe chæ ñuû thôøi gian chaïy qua moät laàn trong ngaøy. Hoûi raèng LAMILK phaûi saûn xuaát bao nhieâu taán moãi ngaøy ñeå chôû heát ñeán kho.


Flow networks1

s

FLOW NETWORKS

Maïng laø ñoà thò <g> = <V, E> ñôn giaûncoù höôùng lieân thoâng coù :

1. ñænh S goïi laø nguoàn vaøo vaø ñænh T goïi laø nguoàn ra,

2. c : V  V  R+laø aùnh xaï thoûa :

c(X, Y) = 0neáu (X, Y)  E,

3. f : V  V  R (soá thöïc) laø aùnh xaï thoûa :

f(X, Y)  c(X, Y),X, Y  V

f(X, Y) =  f(Y, X),X, Y  V

YV f(X, Y) = 0,X  V  {S, T}

4. doøng f ñöôïc kyù hieäu laø |f| = YV f(S, Y)


Flow networks2

A

2,2

2,5

E

B

5,9

3,5

7,10

T

S

4,5

4

4,6

7

C

D

6

s

FLOW NETWORKS

Thí duï :

Ñoà thò naøy laø flow networks

Ñoà thò naøy cuõng laø flow networks


Ly thuye t o th

s

FLOW

Boå ñeà :

Cho maïng <g> = <V, E> vaø f laø moät doøng.

Kyù hieäu :

f(H, K) = XH YK f(X, Y),H, K  V.

Ta coù :

1. f(H, H) = 0,H  V.

1. f(H, K) =  f(K, H),H, K  V.

1. f(HL, K) = f(H, K) + f(L, K),H, K, L  V vaø HL=.

1. f(H, KL) = f(H, K) + f(H, L),H, K, L  V vaø KL=.


Residual networks

s

RESIDUAL NETWORKS

Cho maïng <g> = <V, E> vaø f laø moät doøng.

Taûi thaëng dö (residual capacity) cuûa moät caïnh XY laø :

cf(X, Y) = c(X, Y)  f(X, Y),X, Y  V.

Maïng thaëng dö cuûa <g> töông öùng vôùi doøng f laø maïng <gf> = <V, Ef> vôùi Ef ñöôïc ñònh nghóa nhö sau :

Ef = {(X, Y) | cf(X, Y) > 0, X, Y  V}


Residual networks1

A

D

2,2

2,5

1,4

1,4

E

5,9

B

3,5

8,10

T

S

4,5

4

4,6

7

F

C

3

3

3

2

1

1

2

4

2

2

T

S

3

5

8

2

1

4

7

4

4

s

RESIDUAL NETWORKS

Thí duï :

<g> = <V, E> vaø f nhö sau :

<gf> = <V, Ef>


Residual networks2

s

RESIDUAL NETWORKS

Boå ñeà :

Maïng <g> = <V, E> vaø maïng thaëng dö ø<gf> = <V, Ef> töông öùng vôùi doøng f.

Laáy f’ laø moät doøng cuûa maïng thaëng dö ø<gf>, khi ñoù :

|f + f’| = |f| + |f’|

vôùi pheùp tính + cuûa doøng ñöôïc ñònh nghóa nhö sau :

(f + f’)(X, Y) = f(X, Y) + f’(X, Y),X, Y  V.


Augmenting path

A

D

2,2

2,5

1,4

3

3

1,4

3

2

E

5,9

B

3,5

8,10

1

1

T

S

2

4

2

2

T

S

4,5

4

3

5

8

4,6

7

F

2

1

C

4

7

4

4

s

AUGMENTING PATH

Maïng <g> = <V, E> vaø maïng thaëng dö ø<gf> töông öùng vôùi doøng f.

Ñöôøng taêng doøng <p> cuûa f laø moät ñöôøng töø S vaøo T trong maïng <gf>.

cf(p) = min {cf(XY) | XY <p>}

cf(p) = min {2, 3, 3} = 2

cf(p) = min {2, 2, 1} = 1

cf(p) = min {4, 7, 4} = 4

cf(p) = min {2, 2, 4} = 2


Augmenting path1

s

AUGMENTING PATH

Boå ñeà :

Maïng <g> = <V, E> vôùi doøng f vaø <p> laø moät ñöôøng taêng doøng trong maïng <gf>.

Haøm fp : V  V  R ñöôïc ñònh nghóa nhö sau :

fp(X, Y) = cf(<p>),Neáu XY  <p>

fp(X, Y) =  cf(<p>),Neáu YX  <p>

fp(X, Y) = 0,tröôøng hôïp khaùc.

Khi ñoù fp laø moät doøng trong <gf> vaø |fp| = cf(<p>) > 0.


Augmenting path2

s

AUGMENTING PATH

Boå ñeà :

Maïng <g> = <V, E> vôùi doøng f vaø <p> laø moät ñöôøng taêng doøng trong maïng <gf>.

Haøm f’ : V  V  R ñöôïc ñònh nghóa :

f’ = f + fp.

Khi ñoù f’ laø moät doøng trong <g> vaø |f’| = |f| + |fp| > |f|.


Cuts of flow networks

s

CUTS OF FLOW NETWORKS

Taäp caét (Maïng <g> = <V, E> vôùi doøng f vaø <p> laø moät ñöôøng taêng doøng trong maïng <gf>.

Haøm f’ : V  V  R ñöôïc ñònh nghóa :

f’ = f + fp.

Khi ñoù f’ laø moät doøng trong <g> vaø |f’| = |f| + |fp| > |f|.


Max flow min cut6

s

MAX-FLOW MIN-CUT

Ñònh lyù : (max-flow min-cut theorem)

Doøng cöïc ñaïi = Taûi cuûa taäp caét cöïc tieåu.


Ly thuye t o th11

s

LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ


Chuye n ve ma ng c ba n

s

CHUYEÅN VEÀ MAÏNG CÔ BAÛN

Maïng mixed laø maïnh cô baûn nhöng coù moät soá caïnh coù 2 chieàu.

Tröôøng hôïp naøy thì theâm caïnh song song cho caùc caïnh 2 chieàu.


Chuye n ve ma ng c ba n1

s

CHUYEÅN VEÀ MAÏNG CÔ BAÛN

Maïng mixed laø maïnh cô baûn nhöng coù moät soá caïnh coù 2 chieàu.

Tröôøng hôïp naøy thì theâm caïnh song song cho caùc caïnh 2 chieàu.


Ly thuye t o th12

s

LYÙ THUYEÁT ÑOÀ THÒ

HẾT PHAÀN 2


  • Login