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選擇權 Options

選擇權 Options. 區國強. 選擇權仍一金融工具，讓其持有者在指定的日期以指定的價格「有權」去買或去賣特定資產 「有權」去買稱買權 call options 「有權」去賣稱賣權 put options 若執行選擇權，必定利潤為正 賣選擇權者稱 writer. 理論上，美式選擇權的執行利潤必定大過歐式選擇權的執行利潤 實務上，上述差異極小，因為投資者可以在公開市場上「再賣」出. K : 執行價格 exercise price C : 買權之價值 P : 賣權之價值 S : 現貨價 F : 期貨價. Long 買權之期終收入 :

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Presentation Transcript

  1. 選擇權 Options 區國強

  2. 選擇權仍一金融工具，讓其持有者在指定的日期以指定的價格「有權」去買或去賣特定資產選擇權仍一金融工具，讓其持有者在指定的日期以指定的價格「有權」去買或去賣特定資產 • 「有權」去買稱買權 call options • 「有權」去賣稱賣權 put options • 若執行選擇權，必定利潤為正 • 賣選擇權者稱 writer

  3. 理論上，美式選擇權的執行利潤必定大過歐式選擇權的執行利潤理論上，美式選擇權的執行利潤必定大過歐式選擇權的執行利潤 • 實務上，上述差異極小，因為投資者可以在公開市場上「再賣」出

  4. K : 執行價格 exercise price C : 買權之價值 P : 賣權之價值 S : 現貨價 F : 期貨價

  5. Long 買權之期終收入: • Long 賣權之期終收入:

  6. 如現貨價 St接近執行價格 K，稱為 「 at-the-money 」 • 如執行選擇權，可獲利潤，則其現貨價 St稱為「in-the-money」 • 如執行選擇權，無利潤可言，則其現貨價 St稱為「out-of-the-money」

  7. 因選擇權在到期日必定有利潤(最少為零) ，故選擇權契約為有價資產(最少為零) ，必需先支付「非負」的價格，始可獲得，些稱為「貼水」(premium) 。故評價選擇權，必需把此貼水轉換為到期日時的未來值 (Cert或Pert )

  8. 賣權-買權平價 Put-call parity • 買特定資產的交易收益，可分解為對該資產「a long call + a short put」，因若資產價格上升，其收益可用long call表示；若資產價格下跌，其損失可用short put表示，此簡單關係連結了call 與 put 的價值，故稱為「賣權-買權平價, Put-call parity」

  9. 表列Put-call parity

  10. 若無套利行為，則無收益資產Put-call parity: • 有收益成長率為 r*之Put-call parity:

  11. 例題 (1999 FRM Exam Q.35) • 根據Put-call parity，賣一個「賣權」等同:A. 買一個「買權」，買股票，借出錢；B. 賣一個「買權」，買股票，借入錢；C. 賣一個「買權」，買股票，借出錢；D. 賣一個「買權」，賣股票，借入錢；

  12. 例題 (2002 FRM Exam Q.47) • 兩年期的歐式買權價值$50，其執行價格為$140，現貨價$100，每年支付股利2%，年利率為5%；則執行價格為$140的兩年期的歐式賣權價值為:A. $77B. $10C. $90D. $81

  13. 例題 (2002 FRM Exam Q.25) • 年利率為6%，一無股利之股票，現價$20，執行價格為$18的六個月歐式買權的賣價為$4，同執行價格、同履約期的歐式賣權的賣價為$1.47，此三種資產(股票、買權及賣權)的訂價是否一致?A. 否，有價值$2.00的套利機會B. 否，有價值$2.53的套利機會C. 否，有價值$14.00的套利機會D. 是

  14. 選擇權的組合 • Short Covered call: 買入資產 + short a call • Long protective put:買入資產 + long a put • Long straddle(同時買賣相同履約期及執行價格的買權及賣權): long a call + long a put • Short straddle: short a call + short a put • Strangle: 不同的執行價格的組合(因 strangle為out-of-money, 故較straddle便 宜)

  15. 價差 spread • 牛價差 bull spread: 預期價格上升:1. 以較低的執行價格 K1買一個買權2. 以較高的執行價格 K2賣一個買權淨成本: C(S,K1) - C(S,K2) >0如果 ST > K2，淨收益:

  16. 例題 (2001 FRM Exam Q.90) • 用選擇權契約投機，下列何者風險最大?A. 使用買權去設立一個「價差」B. 買「賣權」C. 賣「買權」D. 賣「賣權」

  17. 例題 (1999 FRM Exam Q.33) • 下列何者構成一個「牛價差 bull spread」?A. 買一個執行價格=50的賣權；賣一個執行價 格=55的賣權B. 買一個執行價格=55的賣權；賣一個執行價 格=50的賣權C. 買一個貼水=5的買權；賣一個貼水=7的買 權D. 買一個執行價格=50的買權；賣一個執行價 格=55的賣權

  18. 例題 (2000 FRM Exam Q.5) • 考慮一個bullish spread: 以$3買入一個執行價格為$30的買權；並以$1.50賣出一個執行價格為$40的買權。若在履約日，股票價格升至$42，則此bullish spread的淨利潤為:A. $8.50B. $9.00C. $9.50D. $12.50

  19. 例題 (2002 FRM Exam 42) • 考慮一熊市發策略:以$7買入一個執行價格為$50的賣權、以每個$4賣出兩個執行價格為$42的賣權、及以$2買入一個執行價格為$37的賣權，全部選擇權的到期日皆相同。若在到期日，資產以$33交易，則上述熊市發策略的淨利潤為:A. $1 B. $2C. $3 D. $4

  20. 選擇權評價的下限 • 不管是「買權」抑或「賣權」，其價值必不為負，故根據Put-call parity，可分別得出其下限:

  21. 美式選擇權是否應提早執行 (假定資產無股利) • 買權：可選擇提早執行或賣出契約提早執行之利潤: St– K賣出契約之利潤下限: 因故絕不提早執行買權契約

  22. 賣權:可選擇提早執行或賣出契約提早執行之利潤: K – St賣出契約之利潤下限:因提早執行之利潤大過賣出契約之利潤下限, 故可能提早執行。若利率低或資產有支付高股利，則降低提早執行的可能性。

  23. 例題 (1999 FRM Exam 34) • 一歐式買權剩一年到期，執行價格為80，年利率為5%，若現貨價為90，則該買權的買價下限為:A. 14.61B. 13.90C. 10.00D. 5.90

  24. 風險中立(risk-neutral)定價 • Binomial process: 假定利率 r = 25% S1 = 150, C1 = 50S0 =100 S2 = 50, C2 = 0

  25. 假定發生第一種情形的機率為 p，則一風險中立的投資者要求: • 同理，選擇權的定價為

  26. Black-Scholes 定價 • 假定: 1.價格連續變動2. 利率固定並已知3. 資產的變異數固定 4.完美市場 (無稅、無運輸成本、放空無 限制、市場連續運作)

  27. 資產價格的统計程序為 geometric Brownian motion (GBM): 在一極短的時間區間 (dt) ，對數報酬率為平均數=μdt、變異數=σ2dt 的常態分配，總報酬率依循第一項的平均變動，第二項為隨機變動 ，dz為平均數=0、變異數=dt的常態分配

  28. 期終價格: ε為N(0,1)的標準常態分配

  29. 買權定價: N(d)為常態分配的累加分配

  30. 根據 put-call parity，歐式賣權之定價:例: 現貨價 S=100，年利率為5%，執行價格K=100，σ=20%，則半年期的買權及賣權分別為何?

  31. Call的價值可視為等同於購買N(d1) = 59.77%現貨，並借入c = $59.77 - $52.88 =$6.89現金，故為現貨的槓干部位 • 買權亦可用風險中立的折現方式表示

  32. 右邊第一項積分為不執行的折現值，第二項積分為執行的折現值，故其為K的折現值乘上執行該選擇權(S > K)的機率，因此風險中立之執行選擇權的機率為

  33. B-S模型的延伸 • Merton(1973)把証劵支付連續紅利 (q)加入B-S 模型中 ，則買權之價值為 ： • 有趣的是，如果選擇權趨向更 in-the-money (即S大過K許多)，導致K-S 買權方程式中的d1與d2很大，使 N(d1)及N(d2)趨向一， 令K-S 買權價值為 ：

  34. 此變成遠期契約的訂價公式，因為極度 in-the-money的選擇權買權，幾可決定必會被執行，故等於直接買遠期契約 • Back(1976)把上述支付紅利的情形從現貨選擇權延伸至期貨選擇權，惟現貨的紅利為現金，期貨的 「隱含紅利」則為無風險利率

  35. 簡單以期貨價格 F 替代現貨價格 S，買權之價值為: • B-S訂價模型的全部係數，除了波動(volatility)外，皆可直接觀察，如果我們以市場價格替代模型價格，則volatility可以用標準差代替，稱為隱含標準差 (implied standard deviation, ISD)

  36. 如果B-S模型是對的，則不論執行價格 K之高低，ISD皆固定，但實際上，在較高及較低的執行價格，ISD皆增加，此稱為「波動微笑 」(volatility smile) ，此現象在許多市場皆出現，並隨時間的改變而變動。在1987/10股市大崩盤前，此微笑現象的影响並大；大崩盤後，其影响就愈來愈嚴重且複雜

  37. 例題 (2001 FRM Exam Q.91) • 現價 = 100；執行價格 = 110；無風險利率 = 10%，期限 = 0.5年，N(d1) = 0.457185；N(d2) = 0.374163，請計算B-S模型的買權價值:A. $10.90B. $9.51C. $6.57D. $7.92

  38. 例題 (1998 FRM Exam Q.2) • 在B-S買權訂價模型中，何者表示選擇權會否執行的機率:A. d1B. d2C. N(d1)D. N(d2)

  39. 其他選擇權 • 二項選擇權 (binary options，或稱數位選擇權，digital options)：如果資產價格超過執行價格，則支付一固定金額 Q，故其價值 I(x) 稱為指標變數 (indicator variable)

  40. 因 in-the-money時執行的機率為N(d2) ，故此選擇權的期初買權價值為： • 因為價值在執行價格附近不連續(ST低過K，價值為零； ST高過K，價值為Q) ，故很難避險

  41. 關卡選擇權(barrier options) ：H為一事先指定的價格水準，S在整個契約期內:擊倒 (knock-out):若 S<H， 則契約失效釘入 (Knock-in): 若 S>H，則契約生效

  42. Down-and-out call: 如 S < H，則買權失效 • Down-and-in call: 如 S < H，則買權生效 • Up-and-out call: 如 S > H，則買權失效 • Up-and-in call: 如 S > H，則買權生效 • 賣權之情況雷同

  43. Down-and-out call加上down-and-in call等於一般的歐式買權: C = CDO + CDI • 因為買權的價值必定非負，故CDO與 CDI的貼水絕不會大過一般的歐式買權 C • 因為較「便宜」，也意味執行的機率較低 • 在H附近不連續，故很難避險

  44. 亞式選擇權 (Asian options):在期終結算時，不以期終現貨價 ST，而以整個契約期內的平均現貨價為計算標準，其期終價值為: • 因以平均現貨價計算，volatility較小(約為σ/3) ，故較便宜，也較容易避險

  45. 例題 (1997 FRM Exam Q.10) • Knock-out選擇權時常被用以取代一般的選擇權，因為:A. Knock-out options的波動較小B. Knock-out options的貼水較低C. Knock-out options的契約期平均較短D. Knock-out options的gamma較小

  46. 例題 (2002 FRM Exam Q.19) • 現貨價 =100，關卡還未達到，則若現貨價將上升，下列何者不會受益?A. down-and-out 買權:關卡=90,執行價格=110B. down-and-in 買權:關卡=90,執行價格=110C. up-and-in賣權: 關卡=110,執行價格=100D. up-and-in買權: 關卡=110,執行價格=100

  47. 選擇權之非線性風險 • 我們可以把選擇權的價值寫為一般函數式: 衍生性金融商品定價就是尋找 f的值，惟除非多許多簡單化的假定，否則表達不出函數形式，一般需靠數字方法模擬。選擇權定價公式中，一般簡化認定: 現貨價(S)為非線性關係，其餘變數為線性關係；

  48. 風險管理必需先了解函數 f的變動。若小幅變動，可以用 Taylor 展開式趨近:

  49. 一階偏微稱 delta；二階偏微稱 gamma。故以直線估計，為 delta估計，以二項式估計，則是 delta 加 gamma • Taylor 展開式無效的原因:1. 風險因子巨大變動:2. 高度非線性(如選擇權接近到期日，或其 他新興選擇權 exotic options)3.交义偏微

  50. 例題 (1999 FRM Exam Q.65) • 估計普通(vanilla)歐式選擇權的風險時，為什麽常以delta-gamma方式，而非用精確的方程式?A. 以Taylor 展開式展開選擇權的價格函數 時，delta及gamma為首兩項，其他項通 常不顯著B. 只有delta風險及gamma風險可以避險C. 價格函數不能直接計算，delta及gamma則可D. (A)及(C)對，(B) 錯

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