尺规作图方法介绍
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尺规作图方法介绍. 鹿城区教师培训和科研中心 周晓虹 [email protected] 目 录. 一、何为 “ 尺规作图 ” 二、 “ 尺规作图 ” 可能问题 三、 “ 尺规作图 ” 不能问题 四、尺规作图的相关延伸 五、 《 数学课程标准 》 及中考要求. 一、何为 “ 尺规作图 ”. 尺规作图就是只使用直尺和圆规,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题。 这里的 “ 直尺 ” 和 “ 圆规 ” 跟现实中的并非完全相同,具有抽象意义。

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尺规作图方法介绍

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Presentation Transcript


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尺规作图方法介绍

鹿城区教师培训和科研中心 周晓虹

[email protected]


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目 录

一、何为“尺规作图”

二、“尺规作图”可能问题

三、“尺规作图”不能问题

四、尺规作图的相关延伸

五、《数学课程标准》及中考要求


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一、何为“尺规作图”

  • 尺规作图就是只使用直尺和圆规,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题。

  • 这里的“直尺”和“圆规” 跟现实中的并非完全相同,具有抽象意义。

  • 直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上画刻度。圆规可以开至无限宽,但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度。


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一、何为“尺规作图”

  • 尺规作图,起源于古希腊。

  • 希腊人强调作图只能用直尺圆规,有下列原因:

    ①希腊几何的基本精神,是从极少的基本假定(定义、公理、公设)出发,推导出尽可能多的命题。

    ②受柏拉图哲学思想的影响。

    ③以毕达哥拉斯学派为代表的希腊人认为圆是最完美的平面图形,圆和直线是几何学最基本的研究对象。

  • 史上最早明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯,他发现以下作图法:在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。

  • 伊诺皮迪斯以后,尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中。


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二、“尺规作图”可能问题

1、作图公法:

  • 经过两个已知点可作一直线;

  • 已知圆心和半径可作一个圆;

  • 若两已知直线相交,可求其交点;

  • 若一已知直线和一已知圆相交,可求其交点;

  • 若两已知圆相交,可求其交点。


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二、“尺规作图”可能问题

2、基本作图

①做一条线段等于已知线段;

②作一角等于已知角;

③平分已知角;

④经过一点作已知直线的垂线;

⑤作线段的垂直平分线。


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二、“尺规作图”可能问题

3、例题分析

例1.已知:如图所示,ΔABC,

求作ΔA'B'C',使ΔA'B'C'≌ΔABC.

例2. 已知:∠AOB及直线MN.

求作:点P,使点P在直线MN上,且点P到OA,OB距离相等.


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例3.已知ΔABC,求作一点,使点P到AB、AC的距离相等,且到边AC的两端点距离相等。

例4.已知斜边,一锐角,作直角三角形。

例5.已知斜边、直角边,求作直角三角形。

例6.已知:三角形两边及第三边上的中线,求作三角形。 


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二、“尺规作图”可能问题

4、最基本的作图表述:

  • 过点×,点×作直线××;或作直线××;或作射线××.

  • 连结点×、×,或连结××.

  • 延长××到点×,使××=××.

  • 延长××交××于点×.

  • 在××上截取××=××.

  • 以点×为圆心,××为半径作圆(弧).

  • 以点×为圆心,××为半径作弧交××于点×.

  • 分别以点×、点×为圆心,以××、××为半径作弧,两弧相交于点×、×.


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二、“尺规作图”可能问题

5、课堂练习:

  • 已知锐角∠a, ∠b(∠a>∠b).

    求作一个角,使它等于2∠a-∠b.

  • 已知一角及其该角平分线长和一条邻边,

    求作三角形.

  • 已知底边及一腰,求作等腰三角形.

  • (中考典例)

    已知:射线OC.

    求作:∠AOB,使OC平分∠AOB(不写做法,但要保留作图痕迹).


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二、“尺规作图”可能问题

6、“尺规作图”的策略

(1)解作图题一般步骤:

①将题给的条件具体化;

②具体叙述所作图形应满足的条件;

③寻找作图方法的途径;

④根据分析所得的作图方法作出正式图形,并依次叙述作图的过程;

⑤为了验证所作的图形是否正确,必须再根据已知的定义、公理、定理等,结合作法来证明所作的图形完全满足题中所要求的条件;

⑥研究这个问题是不是在什么条件下都能作出图形来.在什么情况下,有唯一解,或多解,或没有解.


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二、“尺规作图”可能问题

6、“尺规作图”的策略

(2)几何作图题的一般思路:

① 假设所求的图形已经作出,并且满足题中所有的条件。

② 分析图中哪些是关键点,并探讨确定关键点的方法。

③ 运用基本作图法确定关键点,然后完成作图。


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二、“尺规作图”可能问题

7、几种常见的尺规作图方法

(1)轨迹交点法

例1,电信部门要修建一座电视信号发射塔,

按照设计要求,发射塔到两个城镇A、B

的距离必须相等,到两条高速公路m、n

的距离也必须相等,发射塔应修建在什么

位置?


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二、“尺规作图”可能问题

7、几种常见的尺规作图方法

(1)轨迹交点法

例2,在平面直角坐标系中,点A的坐标

是(4,0),点O是坐标原点,在直

线y=x+3上求一点P,使⊿AOP是等

腰三角形,这样的点P有几个?


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二、“尺规作图”可能问题

7、几种常见的尺规作图方法

(2)代数作图法:

例3,只用圆规,不许用直尺,四等分圆周(已知圆心)。

例4,求作一正方形,使其面积等于已知⊿ABC的面积。


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二、“尺规作图”可能问题

7、几种常见的尺规作图方法

(3)旋转作图法:

例5,已知:直线a、b、c,且a∥b∥c.

求作:正⊿ABC,使得A、B、C

三点分别在直线a、b、c上.


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二、“尺规作图”可能问题

7、几种常见的尺规作图方法

(4)位似法作图:

例6,已知:一锐角⊿ABC

求作:一正方形DEFG,使得D、E在

BC上,F在AC上,G在AB上.


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二、“尺规作图”可能问题

7、几种常见的尺规作图方法

(5)面积割补法

例7,过⊿ABC的底边BC上一定点P,

求作一直线l,使其平分⊿ABC的面积.


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三、“尺规作图”不能问题

1、著名的几何三大问题(古典难题):

(1)化圆为方问题:作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积。

(2)三等分角问题:三等分一个任意角。

(3)倍立方问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍。


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三、“尺规作图”不能问题

2、另外两个著名问题:

(1)正多边形作法

(2)四等分圆周


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四、尺规作图的相关延伸

1、用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图

(1)只用直尺及生锈圆规作正五边形 ;

(2)生锈圆规作图,已知两点A、B,找出一点C使得AB = BC = CA。

(3)已知两点A、B,只用半径固定的圆规,求作C使C是线段AB的中点。

2、尺规作图,是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的。

3、10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。

4、几何三大问题如果不限制作图工具,便很容易解决。


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五、《数学课程标准》及中考要求

  • 2011版《数学课程标准》在第三学段的第二部分“图形与几何”中对“尺规作图”有明确要求:

    (1)会用尺规完成以下基本作图:

    作一条线段等于已知线段;

    作一个角等于已知角;

    作一个角的平分线;

    作一条线段的垂直平分线;

    过一点作已知直线的垂线。


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五、《数学课程标准》及中考要求

(2)会利用基本作图作三角形:

已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形;

已知底边及底边上的高作等腰三角形;

已知一直角边和斜边作直角三角形。

(3)会利用基本作图完成作图:

过不在同一直线上的三点作圆;

作三角形的内切圆;

作圆的内接正方形和正六边形。

(4)在上述尺规作图的问题中,了解作图的道理,保留作图的痕迹,不要求写出作法。


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五、《数学课程标准》及中考要求

  • 在中考中作图题主要有:

    已知三边作三角形,

    已知两边及其夹角作三角形;

    已知两角及其夹边作三角形;

    已知底边及底边上的高作等腰三角形;

    已知底边上的高及腰作等腰三角形;

    已知一锐角和斜边作直角三角形。


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现实和理想之间,不变的是跋涉,

暗淡与辉煌之间,不变的是开拓;

整理你的行装,

不同的起点,可以到达同样辉煌的终点。


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感谢 聆听!


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