1 / 4

Производная сложной функции

Теорема 10*. Пусть функции дифференцируемы в точке M ( ψ 1 ,…, ψ k ), а функция U ( x 1 , x 2 ,…, x n ) дифференцируема в точке X ( x 1 , x 2 ,…, x n ) , соответствующей точке M при отображении f .

noah-mcleod
Download Presentation

Производная сложной функции

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Теорема 10*. Пусть функции дифференцируемы в точке M(ψ1,…, ψk), а функция U(x1, x2,…, xn) дифференцируема в точке X(x1, x2,…, xn), соответствующей точке M при отображении f. Тогда композиция функций U(x1(ψ1,…, ψk), x2(ψ1,…, ψk),…, xn(ψ1,…, ψk)) дифференцируема в точке M(ψ1,…, ψk), и ее производные находится Производная сложной функции Теорема 10. Пусть функции x1= f1(t), x2= f2(t), …, xn= fn(t) дифференцируемы в точке t, а функция U(x1, x2,…, xn) дифференцируема в точке X(x1, x2,…, xn), соответствующей точке t при отображении f. Тогда композиция функций U(x1(t), x2(t),…, xn(t)) дифференцируема в точке t и ее производная находится по формуле

  2. Теорема 11.Инвариантность формы первого дифференциала. Пусть функция z=f(x,y), гдеx=x(u,v)иy=y(u,v) удовлетворяют условиям теоремы 10. Тогда форма дифференциала dz=z'x dx+z'y dy остается неизменной, независимо от того что xиy зависимые или независимые переменные

  3. Частные производные высших порядков Опр 30. Частная производная n – го порядка есть первая производная по любой переменной от производной (n-1) – го порядка Теорема 12. Если функция U=f(x,y) и ее частные производные f 'x ; f 'y; f ‘'xx; f ''xyи т.д.определены и непрерывны в точке M0 и в ее окрестности, то f ''xy= f ''yx, f '''xxy=f '''xyx=f '''yxxи т.д. т.е. частная производная высшего порядка не зависит от порядка дифференцирования Опр 31. Дифференциалом 2-го порядка дважды дифференцируемой функции U=U(M)в точке M0называется дифференциал от дифференциала 1– го порядка. d 2U(M0 )=d(dU(M0 )) Дифференциалом k-гопорядка k раз дифференцируемой функции называется d k U(M0 )=d(d k-1U(M0 )) d k U=[U 'x dx+U 'y d y]k k – не возведение в степень!

  4. Формула Тейлора функции нескольких переменных Формула Тейлора функции одной переменной Теорема 13. Пусть U=f(М) дифференцируема n раз в точке M0. Тогда приM→M0справедлива следующая формула f(M)=P(M)+Rn(M) где P(M)=f(M0 )+df(M0 )+ d 2 f(M0 )+…+ d n f(M0 ) Здесь dM=M-M0 Rn-остаточный член Rn=O(r n)- в форме Пеано, - в форме Лагранжа m – между M0 и M

More Related