אטום המימן במבט קוונטי

1. אטום המימן במבטקוונטי משוואתשרדינגרתלת-ממדית, ספין, צימודים וניוונים

2. משוואתשרדינגרתלת-ממדית • הצורה הכללית של משוואתשרדינגרבשלשה ממדים היא: • צורת המשוואה מתאימה לקואורדינטותקרטזיות. אם הפוטנציאל סימטרי בשלשת הממדים הפתרון פשוט ואפשר לכתוב את פונקצית הגל כ- • פתרון של חלקיק בבור דמוי קוביה הנו יוצא דופן בטבע. יותר מקובלת היא סימטרייה כדורית, למשל לגבי אטומים.

3. מערכות קואורדינטות קרטזיות קוטביות

4. המבט הקוטבי • המעבר ממערכת קואורדינטות קוטביותלמע’ קרטזיתהנו • לכן משוואתשרדינגרהנה: • וצורת הפתרונות הנה:

5. משוואתשרדינגר-פתרונות קוטביים (1) • ע”י הכפלה ב מקבלים: • האיבר דורש ש עם פתרון

6. משוואתשרדינגר-פתרונות קוטביים (2) • ע”י חלוקה ב והחלפה מקבלים • כל אגף צ”ל שווה לקבוע, ונקבע זאת להיות • משוואת הגל הרדיאלית הנה:

7. משוואתשרדינגר-פתרונות קוטביים (3) • למשוואה הרדיאלית יש פתרונות אם ורק אמ”מ: • הפוטנציאל הנו בעל צורה של פוטנציאלקולומבי: • ואז הפתרונות הן פונקציות עצמיות עבור המצבים הקשורים: האנרגיה של כל מצב קשור תלויה רק במספרהקוונטיהראשי. בסוגי פוטנציאל אחרים האנרגיות של המצבים הקשורים תלויות בשני מספרים קוונטיים: , כאשר ושלם.

8. מש’ שרדינגר-פתרונות קוטביים (סיכום) • פונקצית הגל נכתבת כמכפלה של שלוש פונקציות: • המספריםהקונטייםהנם שלמים שמקיימים: (ראשי) (אורביטלי) (מגנטי)

9. מש’ שרדינגר-פתרונות קוטביים (סיכום) • האנרגיות של המצבים הקשוריםמקוונטטות. לכל פוטנציאל שלילי רמות האנרגיה של המצבים הקשורים תלויות בחוזק ובצורת הפוטנציאלובמס’ הקוונטיים. • אמ”מהפונציאלהנוקולומבי, רמות האנרגיה הקשורות נתונות ע”י

10. פונקציות הגל של המימן פונקציות הגל הראשונות של אטום המימן.

11. צפיפות ההסתברות וערכים צפויים • צפיפות ההסתברות: • בקואורדינטות כדוריות, יחידת הנפח היא ולכן צפיפות ההסתברות היא • צפיפות ההסתברות הנה סימטרית ביחס לציר הקוטבי. עבור , צפיפות ההסתברות ב”ת בזווית הקוטבית, לכן הוא פונקציה של בלבד. • למציאת ההסתברות לגלות את האלקטרון במרחק מסוים מהגרעין

12. מימן-מיקום האלקטרון • צורות של צפיפות ההסתברות עבור האלקטרון באטום המימן, עבור שלשת מצבי האנרגיה הראשוניים. למרות שצפיפות ההסתברות של מצבי עבור אינן בעליסימטריהכדורית, סכומן בעליסימטריה כזו.

13. צפיפות הסתברות רדיאלית-מימן צפיפות ההסתברות הרדיאלית עבור אלקטרון באטום המימן לגבי שלשת מצבי האנרגיה הראשוניים. החץ מסמן את הערך הצפוי של הקו המרוסק מסמן את הערך של הנגזר מהמודל שלבוהר.

14. תנע זוויתי במכניקהקווטית (1) • שימור התנע הזוויתי הקלאסי נובע מהעדר מומנט סיבוב במסלול מעגלי, בגלל שכיוון הכוח הוא לאורך הרדיוס-ווקטור. • התנע הזוויתי הקלאסי של חלקיק, ביחס לראשית, הנו • אנו מצפים שהתנע הזוויתי יישמר גם במערכותקוונטיות, למשל של אלקטרון באטום.

15. תנע זוויתי במערכותקוונטיות (2) • החלפת התנע במשוואה הקלאסית של התנע הזוויתיבאופרטורהתנעהקוונטימביא לסדרתאופרטורי התנע הזוויתיהקוונטי:

16. תנע זוויתי במערכותקוונטיות (3) • בקוונטים, כאשר משתנה דינמי הנו קבוע תנועה, פונקצית הגל היאפנ’ עצמית שלהאופרטורהמיצג את המשתנה הדינמי. הערך העצמי של משוואתאופרטורזו מתאר מצב יציב של המשתנה הדינמי. כיוון שמצפים שהתנעהזויתינשמר, נחפש פתרונות של משוואות מהצורה: • מש’ האופרטורעבור התנע הזוויתי לאורךZ: מצטמצמת ל- עם פתרונות הערך העצמי המספרהקוונטינותן את רכיבZשל התנע הזוויתי במצבהקוונטי

17. תנע זוויתי במערכותקוונטיות (4) • נדון במשוואת הערכים העצמיים עבור : • ע”י חלוקת המשוואה ב , והחלפת המשתנה: מקבלים משוואה שאגפה השמאלי זהה לאגף הימני של • למשוואה זו יש פתרונות רק אם , כאשר הוא שלם חיובי או אפס, וכן . כיוון ש הוא הערך העצמי שלהאופרטורהמתאר את נובע או . • המספרהקוונטיקובע את הגודל של התנע הזוויתי הכולל.

18. קוונטיזציהמרחבית (1) תנע זוויתי עבור • הגבלת הגודל של רכיבZ של התנע הזוויתי=הגבלה לגבי כיוונים מותרים של ווקטור התנע הזוויתי. • עפ”י המודל שלבוהר, אלקטרון שמקיף את הגרעין יוצר מומנטדיפולמגנטי. לווקטורהדיפולהמגנטי אותו כיוון כמו לווקטור התנע הזוויתי. תנע זוויתי ומומנט דיפולמגנטי

19. קוונטיזציהמרחבית (2) • הערך הקטן ביותר של מתקבל כאשר הוא הגדול ביותר. לכן עבור מקבלים • לגבי אטומי מימן במצב אי אפשר למצוא את ווקטור התנע הזוויתי (האורביטלי) קרוב יותר לצירZ מהערך שחושב למעלה. ערכים מותרים של תנע זוויתי

20. אפקטאיינשטיין-דה האס • הניסוי, שבוצע ב-1915, מראה את שימור התנע הזוויתי ברמה אטומית. הגליל הממוגנט (ע”י שדה מגנטי חיצוני) מתחיל להסתובב כך שהתנע הזוויתי שלו יהיה שווה בגודלו והפוך בכיוונו לתנע הזוויתי של מכלול האטומים שווקטורי התנע הזוויתי שלהם נהיו מקבילים.

21. ניוון • פונקצית הגל מוגדרת לחלוטין אם יודעים את שלשת המספריםהקוונטיים . • כמות המספריםהקוונטייםשנחוצים כדי לאפיין לחלוטין מצבקוונטי, שווה למספר הממדים הבלתי תלויים שבמשוואתשרדינגר. • יכול להיות מצב בו כמה מצביםקוונטיים(שונים) הם בעלי אותה אנרגיה אלה מצבים מנוונים • בפוטנציאלקולומבי, לכל המצבים עם אותו יש אותה אנרגיה, ללא תלות בערכי . (degenerate states)

22. מצביםקוונטייםאטומיים-סיכום Symbol Name Represents Allowed values Principal Energy 1, 2, 3, … Orbital Magnitude 0, 1, 2, …, n-1 of orbital angular momentum Magnetic Direction of 0, +/-1, +/-2, ..., orbital ang. +/-l momentum