第二章     静态场
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第二章 静态场. 2.1 静电场 2.2 恒定电流场 2.3 静磁场 2.4 恒定电场. 2.1 静电场. 库仑定律与电场强度 电通量密度和麦克斯韦第一方程 静电场的能量和电位 导体、电介质和电容 泊松方程和拉普拉斯方程. 一、库仑定律与电场强度. 真空介电常数或真空电容率:. 用矢量表示库仑定律. 电场强度. 电场强度. 场点. 源点. 叠加原理. N 个点电荷的场. 场叠加的例子. 场叠加的例子. 场叠加的例子. 场叠加的例子. 体电荷分布的场. 体电荷分布的场. 各种电荷分布的场. 体电荷分布.

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第二章 静态场

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Presentation Transcript


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第二章 静态场

2.1 静电场

2.2 恒定电流场

2.3 静磁场

2.4 恒定电场


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2.1 静电场

  • 库仑定律与电场强度

  • 电通量密度和麦克斯韦第一方程

  • 静电场的能量和电位

  • 导体、电介质和电容

  • 泊松方程和拉普拉斯方程


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一、库仑定律与电场强度

真空介电常数或真空电容率:


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用矢量表示库仑定律


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电场强度


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电场强度

场点

源点


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叠加原理

N个点电荷的场


6874582

场叠加的例子


6874582

场叠加的例子


6874582

场叠加的例子


6874582

场叠加的例子


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体电荷分布的场

体电荷分布的场


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各种电荷分布的场

体电荷分布

面电荷分布

线电荷分布


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无限长线电荷分布的场

对称性分析:

1、电场强度只随ρ变化

2、电场强度只有ρ分量

所以


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无限长线电荷的例子(一)


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无限长线电荷的例子(一)


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无限长线电荷的例子(二)


6874582

无限长线电荷的例子(二)


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无限大面电荷分布的场

对称性分析:

1、电场强度只随x变化

2、电场强度只有x分量

在Q点:


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无限大面电荷的例子(平行板电容器)

在x>a的区域:

在x<0的区域:

在0<x<a的区域:


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金属球

绝缘材料

二、电通量密度

1、法拉第的同心球实验

2、电位移或电通量

3、电通量密度


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高斯定理

1、任意曲面上的电通量

2、高斯定理

穿过任意闭曲面的电通量等于该曲面所包围的总电荷


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高斯定理举例


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利用高斯定理求解对称分布电荷的场


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利用高斯定理求解对称分布电荷的场


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麦克斯韦第一方程(静电场方程)

麦克斯韦第一方程的积分形式

麦克斯韦第一方程的微分形式


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三、静电场的电位和能量

外力做功:

电场力做功:

克服电场力做功:

电位差(电压)的定义:

正负电位差的含义:正功、负功


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电位

0电位参考点:无限远处,“地”

点电荷的电场:


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电荷分布的电位

点电荷:

体分布电荷:

面分布电荷:

线分布电荷:


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静电场的环量——旋度

旋度定理:

所以:

静电场是无旋场

等效的说法:

1、静电场是保守场

2、沿任何闭合路径的环量为零

3、两点之间的电位差只与两点的位置有关,而与路径无关


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电位与电场强度的关系

点电荷的例子:


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V

等位线


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利用电位求电场-电偶极子

优点:简单方便

同理,


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利用电位求电场-电偶极子

电偶极矩:


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电偶极子的等位面


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利用电位求电场-环形线电荷分布的场

由图知:

因此:


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区域

静电场中的能量

电位能:

电位能的建立过程:

1、把q1从∞移到a点

2、把q2从∞移到b点

3、移动两个点电荷的总能量

4、交换移动顺序


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静电场中的能量

区域

5、移动三个点电荷

6、颠倒移动顺序


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静电场中的能量

第一项:

能量密度:


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静电场能量举例


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四、静电场中的导体——静电感应

金属的晶体结构


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导体的表面电荷分布


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静电感应和静电平衡

  • 导体内部静电场的电场强度为0

  • 在导体表面的静电场的电场强度处处垂直于导体表面

  • 导体是等位体,导体表面是等位面


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真空

导体

导体边界条件


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_

+

_

+

_

+

_

+

五、静电场中的电介质

物质的种类:导体、半导体、电介质

电介质:无极性介质、极性介质

等效

电偶极矩

呈电中性

合成电矩:

合成电场:


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电场对电偶极子的作用

+q

-q

受力结果:电偶极矩的方向与电场方向一致


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极化现象-无极性介质

极化后:


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极化现象-极性介质

极化后:


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极化现象-极性介质

水分子

加电后

加电前


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束缚体电荷

介质表面

束缚面电荷

极化结果


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极化强度

定义:单位体积中的分子电偶极矩之和

极化前:任意体积微元 中,

极化后:任意体积微元 中,

且极化程度越高, 越大。

含义:某一点处的平均电偶极矩


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束缚电荷密度


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束缚电荷密度

定义束缚面电荷密度

和束缚体电荷密度

则P点电位为

可见,束缚电荷可产生和自由电荷一样的电场


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介质中的静电场方程

定义电通量密度

从而


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电介质的介电常数或电容率

电介质的属性:

线性:

各向同性:与外加电场的方向无关

均匀:各部分性质相同

A类电介质

其中:

称作电极化率

称作相对介电常数

称作电介质的介电常数

结构方程:


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介质高压击穿

  • 若外加的电场太大,可能使得介质分子中的电子脱离分子的束缚,成为自由电子,介质变成导电材料,这种现象称为介质击穿,如闪电现象、开关打火现象等等。

  • 介质能保持不被击穿的最大外加电场强度,称为该介质的击穿场强(或介电强度、绝缘强度)。

  • 防止高压击穿的方法:

    • 抽真空

    • 填充惰性气体

    • 填充介电常数高的介质(变压器油、聚四氟乙烯)


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常见材料的相对介电常数和绝缘强度


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极化的应用-微波炉


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电介质问题举例


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电介质表面的边界条件-法向分量

在扁圆柱面上应用高斯定理

分界面

当 时,有

若媒质2为导体,则

换成用 表示有


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电介质表面的边界条件-切向分量

在扁矩形回路上求电场的环量

当 时,有

若媒质2为导体,则


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注:令上述方程中的 ,即为真空中的方程

介质中的静电场基本方程小结

  • 微分方程:

  • 积分方程:

  • 结构方程:

  • 边界条件:


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六、导体系统的电容和电容器

导体球的电位为

导体球的电量增加为n倍时,

孤立导体

电容的定义:

孤立导体球的电容:


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2

1

3

多导体系统-部分电容

自电容:

导体与大地(或无限远处)之间

互电容:

导体与导体之间

任何导体与大地之间以及导体之间均存在电容!


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电容器

带等量异号电荷、相互接近又绝缘的两个导体构成一个电容器

导体a

电容器的电容仅与导体形状和填充介质有关

导体b


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电容器举例——平行板电容


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电容器举例——同轴线电容


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2.2 恒定电流场——导电媒质和直流电路


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一、电流强度与电流密度

电流强度:单位时间内流过导体横截面的电量

△t时间内通过△S面积的电量为

流过△S面积的电流为

体电流密度的定义:

流过面积S的电流则为


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面电流密度


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电荷守恒——电流连续性方程

流出S面的总电流为

应该等于V内电荷的减少率

电流连续性方程的积分形式

电流连续性方程的微分形式


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恒定电流场

说明电荷密度变化的点是体电流密度的源点

对于流过直流的导电媒质,电荷密度保持动态的平衡

基尔霍夫电流定律


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漂移量

电流的微观形成

导体中电子的运动


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欧姆定律

可以证明:

其中 为电子迁移率

假设单位体积中有N个电子,则:

欧姆定律的微分形式

称 为导体的电导率

电阻率:

良导体

物质分类

电介质


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常见媒质的电导率

注: 随温度变化,常温下变化忽略不计


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导体的电阻

导体内的电场:

导体内的电流密度:

流过导体的电流:

导体的电阻:


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欧姆定律的积分形式

横截面积 S

总电流 I

L


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焦耳定律——媒质的损耗

  • 电流的热效应和焦耳热

  • 载流时会出现焦耳热的媒质称为有耗媒质

    损耗小的媒质可近似为无耗媒质

电场力:

做功:

功率:

焦耳定律的微分形式

功率密度:

总功率:


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焦耳定律的积分形式

焦耳定律的积分形式


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电流密度的边界条件

在扁圆柱面上求面积分

分界面

法向分量连续

切向分量不连续


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静电平衡过程——驰豫时间

以铜为例:

驰豫时间:

静电平衡时间:


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电源

电动势——直流电源的作用

外部能源:化学反应(电池)、机械驱动(直流发电机)、

光激发源(太阳能电池)、热敏装置(热电偶)


2 3 magnetostatic field

2.3 静磁场Magnetostatic field

  • 静磁场:

  • 由恒定电流或永久磁体产生的磁场

  • 不随时间变化,仅是空间坐标的函数。

  • 有关定理、定律以安培定律为基础。


2 3 1

真空中的磁导率:

2.3.1 静磁场

一、安培定律

I’

L’

取电流方向为回路的正方向;

z

I

L

0

x

y


Magnetic flux intensity

I’

z

L’

0

y

x

二、磁感应强度(Magnetic flux intensity)

  • Biot-Savart定律:


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直线电流的磁场


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环形电流的磁场


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  • 分布体电流产生的磁感应强度:

  • 分布面电流产生的磁感应强度:


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三、磁力线

磁力线与电流相互交链

电流元的磁力线

与 成右手螺旋关系


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电流环的磁力线

电流环中心的磁力线方向与电流方向成右手螺旋关系。


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I

螺线管的磁力线

螺线管中心的磁力线方向与电流方向成右手螺旋关系。


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永久磁体的磁力线

  • 磁力线的性质:

磁力线是无头无尾的闭合曲线,磁力线与电流交链。


2 3 2

2.3.2 静磁场的基本方程和性质

一、磁通连续性定律(磁场的高斯定律)

  • 表示为某矢量的旋度


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  • 微分形式(即 的散度):

结论:磁场为无散场,无散度源;

没有“磁荷”(磁单极子)存在。

磁力线为无头无尾的闭曲线。


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  • 积分形式:

磁力线

奥式公式

S

V

结论:

闭合面上的磁通量恒等于0。


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S :L 所张的任意曲面

S

L

二、静磁场的安培环路定律

  • 积分形式

L:任意闭曲线

I :与 L相铰链的净电流

I


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斯托克斯公式

要上式对任意的S成立,必有:

结论:磁感应强度的旋度等于电流密度乘以 ,

电流密度是静磁场的旋涡源

微分形式(即 的旋度):


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  • 积分方程:

(磁通连续性定律积分形式)

(安培环路定律积分形式)

三、静磁场的基本方程

  • 微分方程:

(磁通连续性定律微分形式)

(安培环路定律微分形式)


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利用安培环路定律求磁场


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利用安培环路定律求磁场


2 3 3

  • 线电流产生的磁矢位

2.3.3 静磁场的磁位

一、磁矢位( Vector potential )

  • 分布电流产生的磁矢位


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二、由磁矢位求磁感应强度

(i = x, y, z)

  • 积分式比较

  • 的积分表示式比 的积分式更简单;

  • 可先求 再求 。这是静磁场问题的常用解法。


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将 代入

可以证明,分布于有限区域的电流产生的磁矢位满足

即:

可分成三个标量泊松方程:

(i = x, y, z)

三、静磁场磁矢位满足的方程

  • 磁矢位的矢量泊松方程:


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  • 磁矢位的矢量拉普拉斯方程:

无电流处( )的磁矢位方程:

可分成三个标量拉普拉斯方程:

(i = x, y, z)

  • 拉普拉斯方程是泊松方程在无电流处的特例。

  • 磁矢位无明确物理意义,是分析、计算磁场的辅助函数。


Scalar potential

  • 磁标位的拉普拉斯方程

四、磁标位( Scalar potential )

  • 磁标位是与电位相对应的物理量

无电流处:

可令:

为标量磁位,简称磁标位

  • 注:磁标位只能用于无电流区域。


2 3 4

  • 磁偶极矩

S

I :电流环上的电流强度

S :电流环的面积

:电流环面的法向,与电流

方向成右手螺旋关系

2.3.4静磁场中的媒质

一、磁偶极子(Magnetic dipole )

  • 磁偶极子:

尺寸很小、形状任意的电流环

I


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磁偶极子的场图


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磁偶极子所受力矩:

磁偶极子在磁场中的受力

受力结果:使磁偶极矩的指向转向与磁力线指向相同的方向(此时力矩为0)。


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  • 分子(或原子,以下略)的固有磁偶极矩

分子内的电子绕原子核运动,形成了微观电流环,每个微观电流环都对应一个磁偶极矩。

一个分子内所有磁偶极矩的矢量和称为分子的固有磁偶极矩。

原子核

电子


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二、媒质的分类

(如Cu、Pb、Ag、H2O、N2)

  • 抗磁质:

分子固有磁偶极矩=0

  • 顺磁质:

(如O2、N2O、Na、Al)

分子固有磁偶极矩≠0

由于分子热运动,所有分子的固有磁偶极矩杂乱排列。

  • 铁磁质:(如铁、钴、镍等少数物质)

  • 固有磁矩在不同的极小区域内就有一定程度的一致取向,形成不为零的磁畴磁矩,但各磁畴磁矩的取向却是杂乱的。


Magnetization

外加静磁场

顺磁质分子

杂乱的取向被改变为几乎一致

三、磁化作用(Magnetization):

  • 定义:外加磁场使分子固有磁偶极矩重新分布的作用。

外加静磁场

抗磁质分子

出现感应磁偶极矩


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抗磁质的磁偶极子与外加磁场的磁力线反向。

磁化的结果:

媒质每个分子都是一个磁偶极子(可能是固有的,也可能是感应的),且取向几乎都平行于外加磁场的磁力线。


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顺磁质的磁偶极子与外加磁场的磁力线同向


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磁化前:任意体积微元 中, 。

磁化后:任意体积微元 中, ;

且磁化程度越高, 越大。

四、磁化强度:

  • 定义

:单位体积中的分子磁偶极矩之和


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磁化电流的磁场

  • 磁偶极子的磁矢位:

  • 磁化电流的磁矢位:


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磁化体电流

(媒质非均匀或外加磁场不均匀时才会出现)

磁化面电流

  • 磁化体电流密度

  • 磁化面电流密度

×

  • 磁化电流又称为束缚电流。

  • 自由电子定向移动形成的电流称为传导电流。

五、磁化电流:

媒质表面

顺磁质


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磁化电流的形成


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  • 媒质中的磁通连续性定律与真空中的磁通连续性定律相同:

积分形式

微分形式

六、媒质中静磁场的方程

1、磁通连续性定律:

  • 磁介质中的静磁场

  • = 外加静磁场 + 磁化电流产生的静磁场

  • 磁化电流产生的静磁场与真空中静磁场的性质完全相同。


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2、安培环路定律:

定义磁场强度

媒质中的安培环路定律与真空中的安培环路定律相同,但若将传导电流与磁化电流分开考虑,并引入新的物理量,可使形式简化。


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  • 安培环路定律的微分形式:

  • 安培环路定律的积分形式:


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  • 结构方程:

媒质的

相对磁导率

媒质的

磁导率

七、结构方程

  • 磁化强度与磁场强度的关系:

磁化率


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  • 抗磁质:

一般认为

一般认为

  • 顺磁质:

  • 铁磁质:

Fe 、Co、 Ni、 许多合金、含铁的氧化物

几百、几千、几万

八、常见媒质的磁导率:

  • 对于均匀、线性、各向同性的媒质, 处处相等,不随 变化,为标量。


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  • 微分方程:

  • 积分方程:

  • 结构方程:

注:令上述方程中的 ,即为真空中的方程

九、媒质中的静磁场基本方程


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磁介质问题求解举例:

求同轴线各区域的 、 和 ,并求 以及 。

解:


2 3 5

2.3.5磁通、自感和互感

磁通或磁链的定义:

与电通量对照:


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单导体回路的自感

多导体回路的互感

自感和互感只与导体回路的形状、几何尺寸、相对位置和空间媒质有关


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单位长同轴线的自感


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单位长同轴线的自感


2 3 6

2.3.6 静磁场的边界条件

法向分量:

切向分量:


2 3 7

2.3.7静磁场的能量

一、静磁场具有能量的表现:

不受其他外力的静止电流回路,会在磁场力作用下开始运动,其动能来自于磁场力对其做的功,磁场力做功的能量就来自磁场中蓄积的能量。


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电流系统

电流系统建立过程

二、能量来源

任何形式的电流系统,都要经过从没有电流到某个最终电流分布的建立过程。在此过程中,外加电源必须克服感应电动势做功,此功即为静磁场能量的来源。


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三、磁场能量的表示

  • 磁能密度:

单位体积内的磁场储能

  • 体积V中的总磁能:


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2.3.8静磁场的解法

一、已知电流分布,用积分表示式求场分布

适用问题:所有电流分布都已知的问题。

二、利用积分方程求场分布:

适用问题:空间结构简单、具有旋转对称性, 电荷分布均匀、对称。


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三、先求磁位,再求磁感应强度

  • 磁位的边值问题=微分方程+边界条件

  • 因磁位微分方程与电位微分方程类似,故磁位边值问题的求解方法与电位边值问题的求解方法类似。

  • 磁位的微分方程:

磁矢位方程:

(i = x, y, z)

磁标位方程:


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静电场

静磁场

恒定电流场

静止电荷

恒定电流

直流电源

电力线:

始于正电荷

止与负电荷

磁力线:

闭合曲线

与源电流交链

电流线:

闭合曲线

_

I

+

静态场总结:基本概念

作用力

电荷电场力

(库仑定律)

电流磁场力

(安培定律)

场 源

场矢量

矢量线


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磁化作用

极化作用

  • 导体:静电平衡

  • 媒质分子磁偶极矩取向一致,出现磁化电流

  • 介质:分子电偶极矩取向一致,出现极化电荷

静态场总结:对物质的作用

静磁场

静电场

对物质

的作用

作用结果

场量间关系


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静态场总结:场方程

静电场

静磁场

恒定电流场

积分

方程

结构

关系

微分

方程

(电源外)


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电位

磁矢位

电位

静态场总结:位函数

恒定电流场

静电场

静磁场

位函数

位函数与

场量的关系

位函数满足

的方程


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静态场总结:三个电路参量

  • 电容:两个等电位导电表面的总电荷与等位面之间的电位差之比

  • 电阻:导体的两个等位面之间的电位差与流过这两个等位面之间的电流之比

  • 电感:导电线圈的磁通与通过导线的电流之比

它们只与导体的形状、几何尺寸、相对位置和空间媒质有关


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