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第 4.6 节 多元正态分布 PowerPoint PPT Presentation


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第 4.6 节 多元正态分布. 一、密度函数与特征函数. 二 、 独立性. 三、线性变换. 四、条件分布. 一、密度函数与特征函数. 1. 多元正态分布密度函数的向量形式. 则 n 元正态分布的密度函数的向量形式为:. 简记为. 2. 多元正态分布密度函数的性质. 第一个性质是显然的,以下给出第二个性质的证明。. 由于矩阵 B 是正定对称阵,因而存在非奇异矩阵 L 使得. 类似于一元函数定积分中的换元法,设线性变换. 则线性变换的逆变换为. 因此. 由此可以得到性质 2 的结论. 3. 多元正态分布函数的特征函数. 由于. 证明. 作线性变换.

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第 4.6 节 多元正态分布

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Presentation Transcript


4 6

第4.6节 多元正态分布

一、密度函数与特征函数

二、独立性

三、线性变换

四、条件分布


4 6

一、密度函数与特征函数

1. 多元正态分布密度函数的向量形式

则n元正态分布的密度函数的向量形式为:


4 6

简记为

2. 多元正态分布密度函数的性质

第一个性质是显然的,以下给出第二个性质的证明。


4 6

由于矩阵B是正定对称阵,因而存在非奇异矩阵L使得

类似于一元函数定积分中的换元法,设线性变换

则线性变换的逆变换为


4 6

因此

由此可以得到性质2的结论.


4 6

3. 多元正态分布函数的特征函数

由于

证明


4 6

作线性变换

因而


4 6

4. 多元正态分布的推广形式

在上述讨论中,假定了矩阵B是正定。对于矩阵B

是非负定时,令

则此矩阵为正定矩阵,相应的特征函数为


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令k,


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退化正态分布(奇异正态分布)

当协方差矩阵B的行列式detB=0时,正态分布N(a

B)为退化正态分布


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证明:


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证明:

在定理4.6.2中,令子向量为一维向量时,则

由柯西-施瓦兹不等式可得其他各协方差存在。又因为


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二、独立性

主要讨论多维正态分布的独立性与不相关性的关系

证明:

必要性是显然的.


4 6

因此


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证明:

必要性:

充分性:


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因此,由p233性质6可知,充分性成立.


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三、线性变换


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证明:

必要性:服从N(a,B),则其特征函数为

令t=ul, 其中u是任意实数,则


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充分性:

令u=1, 则

由于向量l的任意性,由特征函数的唯一性可知


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说明:

定理4.6.6的意义在于对于多维正态分布的研究可以

转化为利用一维正态分布相关性质加以研究.

证明:

对于任意m维实值列向量t


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定理4.6.7表明,服从正态分布随机向量在线性变换下仍然服从正态分布,这个性质简称为正态变量的线性变换不变性.


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证明:

对于实对称矩阵B,一定存在正交矩阵U,使得


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说明:

对于多维正态变量,可以进行正交变换,使其既保持正态性,又让个分量独立,此方法主要应用于数理统计中的相关证明.


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四、条件分布


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其条件方差为

证明:

为了简化运算,为此引入以下线性变化


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又因为


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同时由于线性变化为

由p157-158中关于随机向量变化的结论可知:

显然,|J|=1, 因而


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所以,条件密度函数为

经计算矩阵的乘积可知:


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所以,条件概率密度为正态分布,其数学期望与方差分别为:


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作 业

习题四 p250 57、 58


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