梯形(二)
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梯形中常见辅助线 PowerPoint PPT Presentation


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梯形(二). 梯形中常见辅助线. 1 根据转化思想,梯形的问题应该转化成什么图形的问题去解决?. 2 梯形常用的辅助线有哪些? 它们各自的作用是什么?. 当堂导学. E. D. 一、延长两腰 , 将梯形转化成三角形. A. C. B. 例一:如图,梯形 ABCD 中, AD∥BC , AD = 5 , BC = 9 ,∠ B = 80° ,∠ C = 50°. 求 AB 的长. 解:延长 BA 、 CD 交于点 E. 因为 AD∥BC , 所以 ∠ ADE =∠ C = 50°. 因为 ∠ E = 180° -∠ B - ∠ C = 50° ,

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梯形中常见辅助线

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Presentation Transcript


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梯形(二)

梯形中常见辅助线


3862933

1根据转化思想,梯形的问题应该转化成什么图形的问题去解决?

2梯形常用的辅助线有哪些?

它们各自的作用是什么?


3862933

当堂导学

E

D

一、延长两腰,将梯形转化成三角形.

A

C

B

例一:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=5,BC=9,∠B=80°,∠C=50°.求AB的长.

解:延长BA、CD交于点E

因为 AD∥BC,

所以 ∠ADE=∠C=50°.

因为 ∠E=180°-∠B- ∠C=50°,

所以 ∠E=∠ADE=∠C.

50°

5

50°

5

所以 AE=AD=5,BE=BC=9.

所以AB=BE-AE=9-5=4.

80°

50°

9


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当堂导学

D

A

F

C

B

二、平移一腰,梯形转化成:平行四边形和三角形.

把上下底之差、两腰转化到同一个三角形中。可利用三角形知识解决问题。

还有其它的平移一腰的方式吗?


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当堂导学

例2如图,梯形ADCB中,AD∥BC,BC=8cm,AB=7cm,AD=6cm,求DC的取值范围.

若DC为奇数,则梯形是什么梯形?

解:过点D作DE ∥AB交BC于E

6

7

因为AD ∥BC,所以四边形ABED为平行四边形。

所以AD=BE=6,AB=DE=7,CE=2。

7

6

2

E

8

在△CDE中,DE-CE<DC<DE+CE,

所以5cm<DC<9cm.

当DC为奇数时,DC=7cm,

梯形ABCD为等腰梯形。


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当堂导练

例二变式训练:

梯形ABCD周长为30cm,AD=5cm,求△DEC的周长。

解:过点D作DE ∥AB交BC于E

因为AD ∥BC,

所以四边形ABED为平行四边形。

所以AD=BE=5cm,AB=DE

△DEC周长=梯形ABCD周长-2AD

= 20cm

△ DEC周长=梯形ABCD周长-2AD


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当堂导学

平移两腰,将两腰转化到同一个三角形中

例三:在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,E、F分

别为AD、BC的中点,且EF⊥ BC,梯形ABCD

是等腰梯形吗?为什么?

答:是等腰梯形

证明:过点E作EM ∥AB,EN ∥CD交BC于点M、N。

因为AD ∥BC,所以四边形ABME与CDEN都是平行四边形

M

N

所以AB=EM,CD=EN

因为E、F分别为AD与BC的中点

所以BF=CF,AE=DE=BM=CN,

所以MF=NF

因为EF⊥ BC,所以EF为MN中垂线,所经EM=EN

所以AB=CD,梯形ABCD为等腰梯形。


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当堂导学

E


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当堂导学

D

A

F

E

B

C

例四:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,

AB=DC=AD=5,BC=11;求梯形ABCD的面积.

解:过点A作AE⊥BC于点E,过点D作 DF⊥BC于点F

5

又因为AD ∥BC,可证得四边形ADFE为矩形。

所以AD=EF=5,BE+FC=11-5=6

5

5

又因为AB=DC=5

所以Rt△ABE与Rt△DCF全等(HL定理)

11

所以BE=CF=3

所以AE=

所以梯形面积=32


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当堂导练

例四变式训练

已知:梯形ABCD中,∠ABC=90°,∠C=45°,BE⊥CD,AD=1,CD= 求:BE

E

F


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当堂导学

四、利用中点,割补三角形

(1)延长DE与CB相交于点F 证△AED与△BEF 全等

(2)将△AED绕点E旋转180°,到△BEF的位置,

△AED与△BEF关于点E中心对称,故EF=ED,AD=BF.

S梯形ABCD=S△DCF=2倍S△DCE


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当堂导学

例五 如图梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB的

中点,DE⊥CE. 试说明CD=BC+AD.

(1)证明:延长DE与CB相交于点F

可证得△AED与△BEF 全等,得到DE=FE

AD=BF

又因为DE⊥CE,所以CE为DF中垂线

所以CD=CF=BC+AD

(2)证明:将△AED绕点E旋转180°,到△BEF的位置

△AED与△BEF关于点E中心对称,故EF=ED,AD=BF.

又因为CE⊥DF,故CD=CF=BC+BF=BC+AD


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当堂导练

G

变式训练:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是DC的中点,EF⊥AB于点F。求证:S梯形ABCD=AB×EF.

A

D

F

E

B

C


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当堂导学

五、平移对角线,将梯形转化成:

平行四边形、三角形.

1、把上下底之和,两对角线转移到同一个三角形BDE中

2、△ABD与△CDE面积相等

S梯形ABCD=S△BDE

3、 BD⊥AC推出BD⊥DE得到直角三角形BDE


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当堂导学

例六:如图所示,在梯形ABCD中,上底AD=1cm,

对角线BD⊥AC,且BD=3cm,AC=4cm.

求下底BC以及梯形的高。

解:过点D作DE ∥AC交BC延长线于E

1

因为AD ∥BC,所以得证□ADEC

所以AD=CE=1,AC=DE=4

4

3

4

因为BD⊥AC,所以BD⊥DE

所以BE=5(勾股定理)得BC=4

1

4

F

作DF⊥BC于点F

5

因为BD*DE=BE*DF

所以得出DF=2.4

能求出梯形ABCD的面积吗?有几种方法?


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当堂导练

例六变式训练

F

导学讲义P69课后练习3

梯形ABCD中,AD ∥BC,AE ⊥BC,AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD面积

解:过点D作DF ∥AC交BC延长线于F

作DM ⊥BC于点M

因为AD ∥BC,所以得证□ADFC

所以AD=CF ,AC=DF=20

12

20

15

因为DM⊥BC,DM=AE=12

20

所以BM=9,FM=16(勾股定理)

E

M

所以BF=9+16=25=BC+AD

所以梯形面积 =(AD+BC)*DM/2

=150


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课后小结:

你能总结梯形中常见辅助线吗?

在这其中,体现了什么数学思想?

你有何体会可以与大家一同分享呢?


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