Realizat prof florescu nicolae g s i a fete ti
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 14

PROGRESII PowerPoint PPT Presentation


  • 67 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Realizat Prof. FLORESCU NICOLAE G.S.I.A. FETE ŞTI. PROGRESII. ÎNTREBĂRI DE CONŢINUT. Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică ? Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor ? Care este formula pentru termenul general al unei progresii ? Cum caracterizăm progresiile ?

Download Presentation

PROGRESII

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Realizat prof florescu nicolae g s i a fete ti

Realizat

Prof. FLORESCU NICOLAE

G.S.I.A. FETEŞTI

PROGRESII


Progresii

ÎNTREBĂRI DE CONŢINUT

  • Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică?

  • Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor?

  • Care este formula pentru termenul general al unei progresii?

  • Cum caracterizăm progresiile?

  • Care este condiţia ca 3 numere să fie elemente consecutive ale unei progresii?

  • Care este formula pentru suma primilor „n” termeni ai unei progresii?

  • Cum stabilim dacă un şir căruia i se dă Sn este, sau nu, o progresie?


Progresii

  • Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică?

  • Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică?

  • Progresia aritmetică

  • Progresia geometrică

Definiţie:

Un şir de numere reale nenule bn pentru care fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin înmulţirea cu un număr nenul q numit raţie se numeşte progresie geometrică

Definiţie:

Un şir de numere reale an pentru care fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin adăugarea unui număr r numit raţie se numeşte progresie aritmetică

Notaţie:

Pentru a pune în evidenţă căşirulan, este o progresie aritmetică, se foloseşte notaţia

÷ a1, a2, a3, … ,an, …

Notaţie:

Pentru a pune în evidenţă căşirulbn, este o progresie geometrică, se foloseşte notaţia

÷÷ a1, a2, a3, … ,an, …


Progresii

  • Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor?

  • Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor?

  • Progresia aritmetică

  • Progresia geometrică

Definiţie:

Şirul bn , n≥1 este o progresie geometrică dacă şi numai dacă există q număr real nenul astfel încât bn+1= bn.qoricare ar fin≥1, b1≠0

Definiţie:

Şirul an , n≥1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă există r număr real astfel încât an+1=an+r oricare ar fin≥1 .

Observaţie:

Recurenţa de mai sus nu determină în mod unic şirul, garantează doar faptul că şirul este o progresie aritmetică. Progresia aritmetică este determinată de primul termen şi raţie.

Observaţie:

Recurenţa de mai sus nu determină în mod unic şirul, garantează doar faptul că şirul este o progresie geometrică. Progresia geometrică este determinată de primul termen şi raţie.


Progresii

  • Care este formula pentru termenul general al progresiei?

  • Progresia aritmetică

  • Progresia geometrică

Teoremă:

Termenul general al progresiei aritmetice an , n≥1 de raţie r este:an=a1+(n-1)·r oricare ar fin≥2 .

Teoremă:

Termenul general al progresiei geometrice bn , n≥1 de raţie q , q ≠ 0 este:bn= b1·qn-1oricare ar fin≥2 .


Progresii

  • Cum caracterizăm progresiile?

  • Cum caracterizăm progresiile?

  • Progresia aritmetică

  • Progresia geometrică

Definiţie echivalentă:

Şirul bn , n≥1 de numere nenule este o progresie geometrică dacă şi numai dacă raportul bn+1/ bneste constant oricare ar fin≥1 .

Definiţie echivalentă:

Şirul an , n≥1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă diferenţa an+1- aneste constantăoricare ar fin≥1 .

Caracterizare:

Şirul bn , n≥1 de numere nenuleeste o progresie geometrică dacă şi numai dacă (bn)2=bn+1· bn-1oricare ar fin≥2

Caracterizare:

Şirul an , n≥1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă an=(an+1+ an-1) / 2oricare ar fin≥2 .

Observaţie:

Şirul bn , n≥1 de numere nenulestrict pozitiveeste o progresie geometrică dacă şi numai dacă

oricare ar fin≥2 .


Progresii

  • Care este condiţia ca 3 numere să fie

  • elemente consecutive ale unei progresii?

  • Progresia aritmetică

  • Progresia geometrică

Condiţie:

Condiţia ca numerele nenule a,b şi c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este:

b2 = ac

Condiţie:

Condiţia ca numerele a,b şi c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este:

2b = a+c


Progresii

  • Care este formula pentru suma primilor

  • n termeni ai unei progresii?

  • Progresia aritmetică

  • Progresia geometrică

Teoremă:

Dacă pentru progresia geometrică

(bn) n≥1 de raţie q,se notează cuSn suma primilor n termeni, adică:

Sn=b1+b2+b3+…+bn atunci:

Sn=nb1 pentru q=1 şi

Sn=b1(qn-1)/ (q-1), pentru q≠1

Teoremă:

Dacă pentru progresia aritmetică

(an) n≥1 se notează cuSn suma primilor n termeni, adică:

Sn=a1+a2+a3+…+an atunci

Sn=(a1+an)· n / 2


Progresii

Cum stabilim dacă un şir căruia i se dă Sn este, sau nu, o progresie?

  • Progresia aritmetică

  • Progresia geometrică

Pasul 1:

Calculăm Sn-1

Pasul 1:

Calculăm Sn-1

Pasul 2:

Calculăm diferenţa Sn - Sn-1 şi vom obţine formula termenului general an

Pasul 2:

Calculăm diferenţa Sn - Sn-1 şi vom obţine formula termenului general bn

Pasul 3:

Calculăm diferenţa an - an-1 şi dacă diferenţa este constantă (nu depinde de n) atunci vom avea o progresie aritmetică, în caz contrar, nu va fi o progresie aritmetică

Pasul 3:

Calculăm raportul bn/ bn-1 şi dacă raportul este constant (nu depinde de n) atunci vom avea o progresie geometrică, în caz contrar, nu va fi o progresie geometrică.


Progresii

APLICAŢII


Progresii

APLICAŢII


Progresii

APLICAŢII


Progresii

APLICAŢII


Progresii

F

Â

S

R

I

T

Ş

F

Â

S

R

I

T

Ş


  • Login