1 / 14

PROGRESII

Realizat Prof. FLORESCU NICOLAE G.S.I.A. FETE ŞTI. PROGRESII. ÎNTREBĂRI DE CONŢINUT. Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică ? Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor ? Care este formula pentru termenul general al unei progresii ? Cum caracterizăm progresiile ?

niles
Download Presentation

PROGRESII

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Realizat Prof. FLORESCU NICOLAE G.S.I.A. FETEŞTI PROGRESII

  2. ÎNTREBĂRI DE CONŢINUT • Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică? • Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor? • Care este formula pentru termenul general al unei progresii? • Cum caracterizăm progresiile? • Care este condiţia ca 3 numere să fie elemente consecutive ale unei progresii? • Care este formula pentru suma primilor „n” termeni ai unei progresii? • Cum stabilim dacă un şir căruia i se dă Sn este, sau nu, o progresie?

  3. Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică? • Ce sunt progresiile aritmetică şi geometrică? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Definiţie: Un şir de numere reale nenule bn pentru care fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin înmulţirea cu un număr nenul q numit raţie se numeşte progresie geometrică Definiţie: Un şir de numere reale an pentru care fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin adăugarea unui număr r numit raţie se numeşte progresie aritmetică Notaţie: Pentru a pune în evidenţă căşirulan, este o progresie aritmetică, se foloseşte notaţia ÷ a1, a2, a3, … ,an, … Notaţie: Pentru a pune în evidenţă căşirulbn, este o progresie geometrică, se foloseşte notaţia ÷÷ a1, a2, a3, … ,an, …

  4. Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor? • Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Definiţie: Şirul bn , n≥1 este o progresie geometrică dacă şi numai dacă există q număr real nenul astfel încât bn+1= bn.qoricare ar fin≥1, b1≠0 Definiţie: Şirul an , n≥1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă există r număr real astfel încât an+1=an+r oricare ar fin≥1 . Observaţie: Recurenţa de mai sus nu determină în mod unic şirul, garantează doar faptul că şirul este o progresie aritmetică. Progresia aritmetică este determinată de primul termen şi raţie. Observaţie: Recurenţa de mai sus nu determină în mod unic şirul, garantează doar faptul că şirul este o progresie geometrică. Progresia geometrică este determinată de primul termen şi raţie.

  5. Care este formula pentru termenul general al progresiei? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Teoremă: Termenul general al progresiei aritmetice an , n≥1 de raţie r este:an=a1+(n-1)·r oricare ar fin≥2 . Teoremă: Termenul general al progresiei geometrice bn , n≥1 de raţie q , q ≠ 0 este:bn= b1·qn-1oricare ar fin≥2 .

  6. Cum caracterizăm progresiile? • Cum caracterizăm progresiile? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Definiţie echivalentă: Şirul bn , n≥1 de numere nenule este o progresie geometrică dacă şi numai dacă raportul bn+1/ bneste constant oricare ar fin≥1 . Definiţie echivalentă: Şirul an , n≥1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă diferenţa an+1- aneste constantăoricare ar fin≥1 . Caracterizare: Şirul bn , n≥1 de numere nenuleeste o progresie geometrică dacă şi numai dacă (bn)2=bn+1· bn-1oricare ar fin≥2 Caracterizare: Şirul an , n≥1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă an=(an+1+ an-1) / 2oricare ar fin≥2 . Observaţie: Şirul bn , n≥1 de numere nenulestrict pozitiveeste o progresie geometrică dacă şi numai dacă oricare ar fin≥2 .

  7. Care este condiţia ca 3 numere să fie • elemente consecutive ale unei progresii? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Condiţie: Condiţia ca numerele nenule a,b şi c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este: b2 = ac Condiţie: Condiţia ca numerele a,b şi c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este: 2b = a+c

  8. Care este formula pentru suma primilor • n termeni ai unei progresii? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Teoremă: Dacă pentru progresia geometrică (bn) n≥1 de raţie q,se notează cuSn suma primilor n termeni, adică: Sn=b1+b2+b3+…+bn atunci: Sn=nb1 pentru q=1 şi Sn=b1(qn-1)/ (q-1), pentru q≠1 Teoremă: Dacă pentru progresia aritmetică (an) n≥1 se notează cuSn suma primilor n termeni, adică: Sn=a1+a2+a3+…+an atunci Sn=(a1+an)· n / 2

  9. Cum stabilim dacă un şir căruia i se dă Sn este, sau nu, o progresie? • Progresia aritmetică • Progresia geometrică Pasul 1: Calculăm Sn-1 Pasul 1: Calculăm Sn-1 Pasul 2: Calculăm diferenţa Sn - Sn-1 şi vom obţine formula termenului general an Pasul 2: Calculăm diferenţa Sn - Sn-1 şi vom obţine formula termenului general bn Pasul 3: Calculăm diferenţa an - an-1 şi dacă diferenţa este constantă (nu depinde de n) atunci vom avea o progresie aritmetică, în caz contrar, nu va fi o progresie aritmetică Pasul 3: Calculăm raportul bn/ bn-1 şi dacă raportul este constant (nu depinde de n) atunci vom avea o progresie geometrică, în caz contrar, nu va fi o progresie geometrică.

  10. APLICAŢII

  11. APLICAŢII

  12. APLICAŢII

  13. APLICAŢII

  14. F Â S R I T Ş F Â S R I T Ş

More Related