EU-8-56 – DERIVACE FUNKCE XII (lokální extrémy funkce – teorie, úlohy)

1. EU-8-56 – DERIVACE FUNKCE XII (lokální extrémy funkce – teorie, úlohy)

2. MALÉ OPAKOVÁNÍ – BODY, VE KTERÝCH NEMÁ FUNKCE DERIVACI Na obrázku je narýsovaný graf funkce f: y = |x + 1 |– 2 | x – 1 |. Určete derivaci funkce f v daném bodě x0: a) x0= –2; b) x0 = 0; c) x0 = 2; d) x0 = –1; e) x0 = 1. f/(–1-) = 1 f/(–1+) = 3  f/(– 1) neexistuje f/(1-) = 3 f/(1+) = – 1  f/(1) neexistuje Má funkce f v bodě -1 lokální extrém? Má funkce f v bodě 1 lokální extrém? Ve kterých bodech má funkce y = g(x) na obrázku lokální extrémy? Ve kterých bodech může mít funkce lokální extrém?

3. MALÉ OPAKOVÁNÍ – BODY, VE KTERÝCH MÁ FUNKCE DERIVACI ROVNOU NULE Určete derivaci funkce a) y = x2 v bodě x0 = 0 b) y = xn(n = 2k, kN)v bodě x0 = 0 c) y = x3 v bodě x0 = 0 d) y = xn(n = 2k-1, kN)v bodě x0 = 0 Ve kterých bodech může mít funkce lokální extrém?

4. Ve kterých bodech může mít funkce lokální extrém? Funkce může mít lokální extrémy v bodech, ve kterých je první derivace funkce rovna nule nebo neexistuje. Body, ve kterých je první derivace funkce rovna nule nebo neexistuje jsou body „podezřelé z extrémů“. Někdy se jim říká stacionární body. VĚTA (nutná, nikoliv však postačující podmínka existence lokálního extrému): Má-li funkce f v bodě x0 lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace f/(x0), potom platí f/(x0) = 0. • PROBLÉM K ŘEŠENÍ – formulujte větu obrácenou a rozhodněte, zda tato věta platí. Obrácená VĚTA: Je-li f/(x0) = 0, potom má funkce f v bodě x0 lokální extrém. Vzpomeňte si na některou mocninnou funkci s lichým přirozeným mocnitelem (např. f(x) = x3) a hned se můžete k platnosti či neplatnosti této věty kvalifikovaně vyjádřit. f(x) = x3 f/(x) = 3x2 funkce f má první derivaci rovnou nule v bodě x0 = 0 (to je stacionární bod, tedy bod podezřelý z extrému), funkce f však v bodě x0 = 0 nemá lokální extrém, protože je funkce f vlevo i vpravo od tohoto bodu rostoucí.

5. ÚLOHY K ŘEŠENÍ (podle obrázků) 1) Určete první derivaci funkce f v bodě x0. 2) Ve kterých případech má funkce f v bodě x0 lokální extrém? 3) Platí následující tvrzení? Jestliže nemáfunkce f první derivaci v bodě x0, potom má funkce f v bodě x0 lokální extrém. rostoucí klesající klesající rostoucí rostoucí rostoucí klesající klesající ostré lokální maximum ostré lokální minimum v bodě x0 není extrém v bodě x0 není extrém rostoucí klesající klesající rostoucí rostoucí rostoucí klesající klesající ostré lokální maximum ostré lokální minimum v bodě x0 není extrém v bodě x0 není extrém

6. VĚTA (postačující podmínka existence lokálního extrému): Předpokládejme f/(x0) = 0. Existuje-li d-okolí bodu x0[tedy interval (x0 – d; x0 + d)  D(f)], že v intervalech (x0 – d; x0) a (x0; x0 + d)máf/(x) různá znaménka, potom má funkce f v bodě x0 ostrý lokální extrém. Mění-li se znaménko derivace z plus na minus, má funkce v bodě x0 ostré lokální maximum, mění-li se znaménko derivace z minus na plus, má funkce v bodě x0 ostré lokální minimum. Nemění-li se znaménko derivace, lokální extrém v bodě x0 funkce nemá. Analogicky toto platí také v případě, že funkce v bodě x0 derivaci nemá.

7. ILUSTRATIVNÍ PŘÍKLAD Najděte lokální extrémy funkce Zjistíme stacionární body (body „podezřelé z extrému“). f/(x) = x2 – 2 x – 3 f/(x) = 0  x2 – 2 x – 3 = 0  (x – 3) (x + 1) = 0  (x = 3  x = – 1) Stacionární body jsou tedy x = 3 nebo x = – 1. Zjistíme monotónnost funkce f pomocí stacionárních bodů a znaménka první derivace funkce. To lze řešit efektivně na číselné ose.

8. URČOVÁNÍ LOKÁLNÍCH EXTRÉMŮ FUNKCE POMOCÍ DRUHÉ DERIVACE FUNKCE Určování lokálních extrémů funkce pomocí znaménkových změn první derivace funkce v okolí stacionárních bodů vede k řešení nerovnice f/(x) > 0 [f/(x)  0 ], to může být v některých případech nepříjemné. V těchto případech je dobré mít k dispozici alternativní (správné a jednodušší) řešení, nabízí se možnost určení lokálních extrémů funkce pomocí druhé derivace funkce. Následující obrázky ukazují, jak lze postupovat.

9. VĚTA (postačující podmínka existence lokálního extrému pomocí druhé derivace funkce): Předpokládejme f/(x0) = 0 a existenci druhé derivace funkce f v bodě x0. Je-li f//(x0) < 0, potom má funkce f v bodě x0 ostré lokální maximum. Je-li f//(x0) > 0, potom má funkce f v bodě x0 ostré lokální minimum. Je-li f//(x0) = 0, nelze podle uvedené věty rozhodnout o existenci lokálního extrému. Například pro funkci f(x) = x4 platí: f/(x) = 4 x3 bod podezřelý z extrému je x0 = 0 f//(x) = 12 x2 f//(x0) = f//(0) = 0  podle uvedené věty o extrému funkce v bodě x0 = 0 nelze rozhodnout Ze znalosti grafů mocninných funkcí však víme, že funkce f(x) = x4 má v bodě x0 = 0 ostré lokální minimum. Pokračujme ve výpočtů vyšších derivací … f///(x) = 24 x  f///(x0) = f///(0) = 0 fIV(x) = 24  fIV(x0) = fIV(0) = 24  fIV(x0) > 0  funkce f(x) = x4 má v bodě x0 ostré lokální minimum (uvedenou větu jsme mírně zobecnili). Zkuste si podobné mírné zobecnění také pro funkci f(x) = – x6. VĚTA – zobecnění předcházející věty (postačující podmínka existence lokálního extrému pomocí znaménka sudé derivace funkce): Je dána funkce f, x0 reálné číslo, n přirozené číslo. Je-li f/(x0) = f//(x0) = f///(x0) = … = f(n-1)(x0) = 0 a f(n)(x0)  0, potom platí. Je-li n sudé a f(n)(x0) > 0, potom má funkce f v bodě x0 ostré lokální minimum. Je-li n sudé a f(n)(x0) > 0, potom má funkce f v bodě x0 ostré lokální maximum.

10. ILUSTRATIVNÍ PŘÍKLAD (určení lokálních extrémů funkce pomocí druhé derivace funkce ve stacionárních bodech) Najděte lokální extrémy funkce Zjistíme stacionární body (body „podezřelé z extrému“). f/(x) = x2 – 2 x – 3 f/(x) = 0  x2 – 2 x – 3 = 0  (x – 3) (x + 1) = 0   (x = 3  x = – 1) Stacionární body jsou tedy x = 3 nebo x = – 1. f//(x) = 2 x – 2 f//(3) = 4 > 0   funkce f má v bodě 3 ostré lokální minimum f//(– 1) = – 4 < 0   funkce f má v bodě – 1 ostré lokální maximum

11. ÚLOHY K PROCVIČENÍ Určete lokální extrémy funkcí: MATEMATIKA – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, autor Jindra Petáková, vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1998, strana 158, úloha 45. ISBN 80-7196-099-3. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

12. D(g1)=R – {–3}  funkce g1 má v bodě 0 ostré lokální minimum  funkce g1 má v bodě -6 ostré lokální maximum