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第七章 直线、平面的相互关系

第一节 平行关系. 第二节 相交关系. 第七章 直线、平面的相互关系. 第三节 垂直关系. c'. A. n'. E. B. m'. a'. F. d'. b'. X. O. C. e. b. a. b. m. d. f. H. c. a. n. c. EF. 上的直线. ABC. AD. 投影图. 所以 EF ABC. 所以 EF ABC. 第一节 平行关系. 一、直线与平面平行. 1. 几何条件： 若一直线与平面上任一直线平行，则此直线与该平面互相平行 。. D.

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第七章 直线、平面的相互关系

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Presentation Transcript

  1. 第一节 平行关系 第二节 相交关系 第七章 直线、平面的相互关系 第三节 垂直关系

  2. c' A n' E B m' a' F d' b' X O C e b a b m d f H c a n c EF 上的直线 ABC AD 投影图 所以EF ABC 所以EF ABC 第一节 平行关系 一、直线与平面平行 1. 几何条件：若一直线与平面上任一直线平行，则此直线与该平面互相平行。 D d

  3. n' M c' m' P a' N b' X O m PH H n m a PH PH mn 则 P MN c n b MN ABC ⒉ 特殊情况：若直线与投影面垂直面平行，则该平面的积聚投影与直线的同面投影平行。

  4. b' c' a' m' b a m c 例：过点M作直线MN平行于平面△ABC。 有多少解？ 解： n' 无数解 n

  5. c' b' a' m' b a m c 例：过点M作直线MN平行于V面和△ABC。 正平线 解： 因为△ABC为正垂面，所以直线MN的正面投影m'n'必定平行于a'b'c'。 又因为MN为正平线，所以mn平行于OX轴。 n' n

  6. \ \ 判断 DE // ABC a' b' a' a' b' 1 过 作 // 结果: M N// ABC 结果: M N// ABC \ \ 例 判别直线MN.DE与三角形ABC平面是否平行 ? b' n' e' k' 作图 方法: c' d'e'//a'b' de//ac m' d' a' X O b 2 由k'求出k； k 3 连接ak n a d m c e

  7. 作 b' c' // d' b' 例 过直线AB作三角形ABC平面平行于直线DE。 b' d' 作图步骤： c' a' b' X O bc//de b d c a e

  8. 例 过M点作水平线MN平行已知平面ABC。 b' a' d' m' n' 作图步骤： ①在平面ABC内任作一条水平线(AD)； ②过M点作直线MN//AD。 c' O X b n d m c a

  9. EFG// ABC 二、平面与平面平行 1. 几何条件：若一平面上的两条相交直线对应平行于另一平面上的两条相交直线，则该两平面互相平行。 b' e' P R f ' a' B E m' c' n' N g' G X O M b F e H c n f a m g

  10. 1' c' ~ 2' n' 1' // b' c' n' b' a' // 2´ ~ 2 例 已知 ：MN、PQ决定的平面与平面ABC平行， 试补全三角形ABC的正面投影。 n' b' q' 做图步骤： ~ 作n1//bc m' n2//ab a' p' X O n 1 b n ~ q c 1 m a p

  11. f a s b n r e m c d e c n m a s d r f b 例题 试判断两平面是否平行 结论：两平面平行

  12. a s d k e f m n b c r r c e n k b f d s m a 例题 已知平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面 。

  13. 2。特殊位置情况 若一投影面的两个垂直面相互平行，则该两平 面有积聚性的同面投影必相互平行。 g' D d' b' G E a' B e' f ' c' F x d(e) o A a d(e) g(f) a C b b H g(f) c c

  14. a s d f e b r c SH d e s a c f b r PH 例题 试判断两平面是否平行。 结论：两平面平行

  15. 求解方法：1. 积聚投影法 2. 辅助平面法 3.换面法 第二节 直线与平面相交、两平面相交 直线与平面相交——求交点 平面与平面相交——求交线 并判别可见性 关键：求直线与平面的交点---共有点 求平面与平面的交线---共有线

  16. P A K B 直线与平面相交 直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。

  17. 平面与平面相交 B M K A L F N C 两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有

  18. C d' c' b' D B K F A a' E e' f' O X b c(f) a k k b H d(e) a 一、直线与特殊位置(垂直)平面相交 k' 分析： 利用平面的积聚性求交点 交点——线面的公共点 交点——可见与不可见 的分界点 k 作图步骤： 1、求交点（k，求k'） 2、判别可见性（远离坐标轴—- 可见）

  19. b n V N a k P B m K c A n a PH a C k b k b c M H m c 判断直线的可见性 特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。

  20. QV q' q 例 求直线与平面的交点，并判别可见性。 b' b' n' k' k' a' a' 2‘(1’) m' c' O X a n b k 1 b 2 k c m a

  21. 二、垂直线与一般平面相交 m' c' 作图方法： 利用直线的积聚投影及平面上取点的方法求解。 1' a' k' 3'4' n' b' X O c k 1 4 a m (n) 3 b

  22. b V m P k M l f c B a n K m a b k L F l f N k m c a l C f b n n H c PH 三、一般位置平面与特殊位置(垂直)平面相交

  23. 一般位置平面与特殊位置(垂直)平面相交 B b' Q n' N C M c' A 1‘(2’) a' m' q' b a m n X O c q b q H 2 n a m c 1

  24. Q M A C B N 四、一般直线与一般位置平面相交 过MN作平面Q垂直于V投影面 以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图

  25. 以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图 A M P C K F E B N 过MN作平面P垂直于H投影面

  26. R N K M k RH 一般直线与一般位置平面相交 B G C F A b f a g c H 作图方法1： 包含直线GF作铅垂面R 求出R平面与ABC的交线MN MN与GF的交点K即为所求。

  27. c f 2 k b 1 a e f a b k e c 步骤： 1、 过EF作铅垂平面P。 2、求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。 3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。 PH 以铅垂面为辅助平面求线面交点 。 1 2

  28. f c k b a e f a 2 b k 1 c e QV 步骤： 1、 过EF作正垂平面Q。 1 2、求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。 2 3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。 以正垂面为辅助平面求线面交点

  29. V 1(2) 3 (4) H 直线EF与平面Δ ABC相交，判别可见性示意图 f c 利用重影点。 判别可见性 F k b Ⅱ a C e Ⅰ Ⅲ K B A Ⅳ f a k b E e c

  30. R N K M RH k RH 一般直线与一般位置平面相交 判别可见性 B b' G 3‘(4’) g' n' 1' k' C c' 2' F A f ' a' m' b f O X a b g c f H 4 1,(2) k n 作图方法1： 包含直线GF作铅垂面R a 3 m 求出R平面与ABC的交线MN g c MN与GF的交点K即为所求。

  31. b' 1 f' 1 k' 1 c' c' 1 g' a' 1 1 X1 直线与一般位置平面相交 b' 作图方法2： 用换面法求倾斜线与 倾斜面的交线。 将ABC平面变换为投 影面垂直面。 g' 3'4' 1' k' c' 2' f ' a' X O b f 4 1,2 k a 3 g c

  32. B M K A L F N C 五、两一般位置平面相交 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。

  33. PV n b 2 l c QV k e 1 a m b 2 m e a k l 1 c n 两一般位置平面相交，求交线步骤： 1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、E。 求两平面的交线 2、连接两个共有点，画出交线KE。

  34. B R L E M C D A J b d a m RH e c 两一般位置平面相交 判别可见性 d' c' 方法1： f ' 3' 辅助平面法 m' n' a' 1'(2') 4' e' b' c 2 b e n 1 f QH 3(4) H m d a RH

  35. d'1 e'1 f'1 X1 两一般位置平面相交 c'1 d' c' 方法2： f ' 3' 换面法 m'1 m' n' a' 1'(2') n'1 a'1 4' e' b' b'1 X c 2 b e n 1 f 3(4) m d a

  36. k c f a b e e a f b k c 例题 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交 。

  37. K E F C P A H B 过已知点K作平面P平行于ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。 分析

  38. k f c m a n h e b e h a b f n 2 c k 1 m PV 1 1、过点K作平面KMN//ABC平面。 2 2、过直线EF作正垂平面P。 3、求平面P与平面KMN的交线ⅠⅡ。 作图步骤 4、求交线ⅠⅡ 与EF的交点H。 5、连接KH，KH即为所求。

  39. 3' 4' 1' 2' PV 5' 6' 7' 8' RV 方法3 三面共点法 a' c' f ' PV n' RV m' N b' d' g' e' O X M a f c 4 3 1 2 n 8 g 5 b 7 6 m d e

  40. 第三节 垂直关系 一 直线与平面垂直 1 几何条件 • 若一直线垂直于平面内任意相交两直线，则此直线必垂直于这个平面。 • 反之，若直线垂直于平面，则直线垂直于平面内的任意直线。

  41. L V P C K A E B D H 直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。

  42. 定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。 n L c V k e b a P d C A K E B a e c D k d b n H 直角定理

  43. 定理2（逆）： 若直线的正面投影垂直于平面上的正平线的正面投影 n f L V c P k a C b A K d E f k B a c d D b n H 直线的水平投影垂直于平面上的水平线的水平投影。 则直线垂直平面 （ 根据直角定理）

  44. p' a' b' 0 X b p a 特殊情况

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