公式解

1. 公式解 第十三組 B0107020林政憲 B0107027 謝喻丞 B0107037 楊庭安 B0107048 楊華偉

2. Outline 公式解的起源 一次與二次方程式 卡當公式解 四次方程式 五次方程式

3. 公式解的起源 古巴比倫的陶片顯示，大約西元前2000年，古巴比倫的數學家就能解一元二次方程式了。 大約西元前480年，中國人使用配方法求得了二次方程式的正根，但沒有通用的求解方法。 西元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程式。 7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得使用代數方程式，同時容許有正負數的根。 11世紀阿拉伯的獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。 中亞細亞的花剌子密 (780-810) 在公元820年左右出版了《代數學》。書中給出了一元二次方程的求根公式，並把方程的未知數叫做「根」，其後譯成拉丁文radix。

4. 一元一次方程式

5. 一元二次方程式 一元二次方程式是只含有一個未知數，並且未知數的最高次次數是二次的方程式。 EXAMPLE:

6. 一元二次方程式公式解 我們通常把 稱為 的求根公式

7. 證明一

8. 證明二

9. 卡當公式解 http://ccjou.wordpress.com/2012/05/17/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E6%B1%82%E6%A0%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/

10. 卡當 卡當〈Jerome Cardan 1501.9.24-1576.9.21〉是文藝復興時期一個舉足輕重的數學家，於1501年出生在義大利的帕維亞〈Pavia〉。他是典型的人文主義者，專注於收集、組織、研究、評論希臘和羅馬的成果。卡當有個不幸的童年，在40歲之前，他窮得一無所有。個性孤僻，沉湎於色情淫樂之中，好鬥、自負、缺乏幽默感、不能自我反省，並且往往在言談中，表現得冷漠無情。他自承不喜歡賭博，卻為了逃避窮困、病痛、毀謗和不公平的待遇，曾在25年之中，每天玩骰子，並天天玩棋達40年之久。

11. 青年時代，他獻身數學、物理和賭博。從帕維亞大學醫學院畢業後，在波隆納和米蘭懸壺並以之授人，成為全歐有名的醫生。期間，他也在義大利的很多大學，擔任數學講座。1570年，因拋擲耶穌的天宮圖，被視為異端，而鋃鐺入獄。奇怪的是，主教隨即以占星術士來聘用他。卡當的著作涵蓋了數學、天文學、占星學、物理學、醫學以及關於道德方面的語錄。藉著辛勤的耕耘，他將古代、中世紀以及當代所能蒐集到的數學知識，做成百科全書的形式。他更將自己珍愛、偏好的數論和代數理論，結合在一起。在這方面，他的成就遠勝過同時代的人。青年時代，他獻身數學、物理和賭博。從帕維亞大學醫學院畢業後，在波隆納和米蘭懸壺並以之授人，成為全歐有名的醫生。期間，他也在義大利的很多大學，擔任數學講座。1570年，因拋擲耶穌的天宮圖，被視為異端，而鋃鐺入獄。奇怪的是，主教隨即以占星術士來聘用他。卡當的著作涵蓋了數學、天文學、占星學、物理學、醫學以及關於道德方面的語錄。藉著辛勤的耕耘，他將古代、中世紀以及當代所能蒐集到的數學知識，做成百科全書的形式。他更將自己珍愛、偏好的數論和代數理論，結合在一起。在這方面，他的成就遠勝過同時代的人。

12. 他在1545年，所出版的著作《ArsMagra》(大術)，在代數學上具有相當重要之地位。並且也對三次及四次方程式提出了系統性的解法，這是一個非常重要的成就。卡當在代數學上的另一個功勞，是認真地引入了虛數，並承認它是方程的根。虛數的出現，是數學史上一件大事。虛數和原有的實數合併成為複數域。根據代數基本定理，任何複數系的多項式在複數域裡必有根，而且n次多項式恰有n個根，這就解決了根的存在性問題。要求出方程的根，在複數域中，便可迎刃而解了。他在1545年，所出版的著作《ArsMagra》(大術)，在代數學上具有相當重要之地位。並且也對三次及四次方程式提出了系統性的解法，這是一個非常重要的成就。卡當在代數學上的另一個功勞，是認真地引入了虛數，並承認它是方程的根。虛數的出現，是數學史上一件大事。虛數和原有的實數合併成為複數域。根據代數基本定理，任何複數系的多項式在複數域裡必有根，而且n次多項式恰有n個根，這就解決了根的存在性問題。要求出方程的根，在複數域中，便可迎刃而解了。

13. 除了在代數學上的重要成就，卡當在概率論這門學科上，也扮演了奠基的工作。例如在其《De LudoAleoe》(賭博論，1663年出版，已在卡當死後多年)一書中，已經計算了擲兩顆或三顆骰子時，在一切可能方法中，有多少方法得到某一點數。

14. 十二世紀，歐洲人進入阿拉伯，他們從阿拉伯這一窗口看到了中國，希臘和印度數學的輝煌成就，自然也吸收了這些成果，並從十五世紀末開始了他們自己的獨立研究，其中解三次方程式、四次方程式便是他們早期的一個研究課題。首先義大利波羅那大學的教授費洛( Scipione del Ferro，1465 ~ 1526 )發現了形如x3+ ax= b的三次方程式的公式解法，不過費洛並沒有發表這項成就(當時的風氣，常把發現或發明保留，好作為日後與別人競賽的資本)，他只把解法告訴他的學生菲歐( Antonio Maria Fior )，結果卻引發一場數學史上著名的雙人競賽。由於菲歐自信，除了費洛和他之外，不會有第三個人能解三次方程式，然而卻有一個外號叫塔爾塔里亞( Tartaglia，義大利語「口吃者」)的人，宣稱他能解三次方程式，於是菲歐便向塔爾塔里亞提出挑戰，雙方約定從1535年2月22日起30天之內解30個三次方程式，結果塔爾塔里亞大約只花了兩個小時就把30道題解完，獲得壓倒性的勝利。在這著名的雙人賽後，義大利米蘭大學醫學教授卡當諾( GirolamoCardano，1501 ~ 1576 )也很想學會三次方程式的解法，就在卡當諾的引誘、懇求與真誠的保證下，塔爾塔里亞終於用隱晦的方式將三次方程式的解法告訴了卡當諾，然而卡當諾卻失信了，他在1545年出版的《大法》( Ars Magna )一書中公開了此項秘密，這當然引起塔爾塔里亞極大的憤怒，於是又有了一場著名的米蘭大教堂辯論會。         這場辯論會，辯論的雙方一個是塔爾塔里亞，另一個則是卡當諾的學生費拉里( Lodovico Ferrari，1552 ~ 1565 )，一開始塔爾塔里亞敘述他受騙的經過，也得到米蘭市大教堂成千聽眾們的同情，紛紛指責卡當諾的剽竊行為，不過年輕雄辯的費拉里很快地就把聽眾們的情感給扭轉了過來。費拉里舉了兩件事請聽眾們注意：「一是卡當諾從塔爾塔里亞那裡得到的是一種語意晦澀難懂的詞句，誰能否認，能從這晦澀難懂的語句中看出真理的人，不也是這一發現的創造者呢？二是卡當諾在他的書中已經明確地把發現三次方程式解法的榮譽歸於塔爾塔里亞」，這兩項事實的確安撫了教堂內聽眾們的情緒，也讓卡當諾獲得了人們的諒解。事實上，《大法》一書也載錄了費拉里的四次方程式的公式解法。費拉里應用解三次方程式時，會先把三次方程式歸結為二次方程式，再利用二次方程式求根的概念，順利地將四次方程式歸結為三次方程式，於是費拉里就成功地解決了四次方程式的公式解法。此外，《大法》一書也首先引進複數根的概念，不過數學家們仍抱著排斥的態度，直到十八世紀瑞士數學家尤拉( L. Euler，1707 ~ 1783 )才正式將定為虛數i( imaginary )。

15. 二、 在數學史上的貢獻與地位： 1. 對三次及四次方程式，提出了系統性的解法。 2. 認真地引入、討論虛數，並承認其為方程的根，在代數學上邁進了一大步。 3. 其《大術》一書，成為文藝復興時期，在數學上的標竿著作。 4. 他的《賭博論》可說是，概率論發展的一個濫觴。

16. 四次方程式 四次方程 :未知數最高次數不超過四次的多項式方程。一個典型的一元四次方程的通式為 :aX^4＋bX^3＋cX^2＋dX＋e=0 其中 a不等於 0 。 圖形 : y=7X^4＋9X^3－24X^2－28X＋48

17. 四次公式解作者 洛多維科·費拉里（Lodovico Ferrari，1522年2月2日-1565年10月5日）義大利數學家，發現了四次方程的解法。 費拉里打敗了塔爾塔利亞 , 從此聲名大噪 ,成為了米蘭公爵的稅務評價官 , 四十三歲時退休 , 同一年去世。

18. 四次式公式解 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B

19. 五次方程式 沒有前面一到四次一樣統一的公式解 只有符合特殊條件的五次方程式才有公式解 現代群論的創始人-埃瓦里斯特·伽羅瓦（Évariste Galois

20. 他發現了n次多項式可以用根式解的充要條件，解決了長期困擾數學界的問題。他的工作為伽羅瓦理論（一個抽象代數的主要分支）以及伽羅瓦連接領域的研究奠定了基石。他是第一個使用群這一個數學術語來表示一組置換的人。(就是答案可能是這一群) 與尼爾斯·阿貝爾並稱為現代群論的創始人。它系統化地闡釋了為何五次以上之方程式沒有公式解，而四次以下有公式解。他漂亮地證明高斯的論斷：若用尺規作圖能作出正 p 邊形 p 為質數（所以正十七邊形可做圖）。他解決了古代三大作圖問題中的兩個：「不能任意三等分角」，「倍立方不可能」。群論現在也被應用於解答許多物理化學方面等問題