云南农业大学经济管理学院
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云南农业大学经济管理学院 主讲 : 佘迎红. E-mail: [email protected] Tel: 13888581179. 4.1 目标规划数学模型 Mathematical Model of GP 4.2 目标规划的图解法 The graphical method of GP 4.3 单纯形法 Simplex Method. 4.1 目标规划 的数学模型. 线性规划的局限性:

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云南农业大学经济管理学院 主讲 : 佘迎红

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Presentation Transcript


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云南农业大学经济管理学院

主讲: 佘迎红

E-mail: [email protected]

Tel: 13888581179


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4.1 目标规划数学模型 Mathematical Model of GP

4.2 目标规划的图解法 The graphical method of GP

4.3 单纯形法 Simplex Method


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4.1 目标规划的数学模型

线性规划的局限性:

只能解决一组线性约束条件下,某一目标而且只能是一个目标的最大或最小值的问题。而在现实生活中最优只是相对的,或者说没有绝对意义下的最优,只有相对意义下的满意。

1978年诺贝尔经济学奖获得者西蒙(H.A.Simon-美国卡内基-梅隆大学,1916)教授提出“满意行为模型要比最大化行为模型丰富得多”,否定了企业的决策者是“经济人”概念和“最大化”行为准则,提出了“管理人”的概念和“令人满意”的行为准则,对现代企业管理的决策科学进行了开创性的研究。


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4.1 目标规划的数学模型

实际决策中,衡量方案优劣往往要考虑多个目标

  • 生产计划决策中,通常要考虑产值、利润、满足市 场需求、降低消耗、提高质量、提高劳动生产率等。

  • 生产布局决策中,除了要考虑运输费用、投资、原料供应、产品需求量等经济指标外,还要考虑到污染和其它社会因素等 。

  • 这些目标中,有主要的,也有次要的;有最大的,也有最小的;有定量的,也有定性的;有互相补充的,也有互相对立的,LP则无能为力。


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4.1 目标规划的数学模型

目标规划是在LP的基础上发展起来的解决多目标规划问题最有效的方法之一。

目标规划由美国经济学家查恩斯(A.Charnes)和库柏(W.W.Cooper)在1961年出版的《管理模型及线性规划的工业应用》一书中首先提出。

目标规划是在给定的资源条件下,按所规定的若干目标值及实现这些目标的先后顺序,求总的偏差为最小的方案。


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4.1目标规划的数学模型

4.1.1 引例

【例4-1】

表 4-1


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4.1.1引 例

【解】设甲、乙、丙产品的产量分别为x1、x2、x3,则使企业在计划期内总利润最大的线性规划模型为:

最优解 X=(50,30,10),Z=3400


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4.1.1引 例

现在决策者根据企业的实际情况和市场需求,需要重新制定经营目标,其目标的优先顺序是:

(1)利润不少于3200元;

(2)产品甲与产品乙的产量比例尽量不超过1.5;

(3)提高产品丙的产量使之达到30件;

(4)设备加工能力不足可以加班解决,能不加班最好不加班;

(5)受到资金的限制,只能使用现有材料不能再购进。

问企业如何安排生产计划才能到达经营目标。


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4.1.1引 例

【解】最优解实质是求下列一组不等式的解

通过计算不等式组无解,即使设备B加班10小时仍然无解。


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4.1.1引 例

目标规划是按事先制定的目标顺序逐项检查,尽可能使得结果达到预定目标,即使不能达到目标也使得离目标的差距最小,这就是目标规划的求解思路,对应的解称为满意解。

  • 设d-为未达到目标值的差值,称为负偏差变量。

  • d +为超过目标值的差值,称为正偏差变量。


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4.1.1引 例

(1)设d1-是未达到利润目标的差值, d1+为超过利润目标的差值

  • 当利润小于3200时, d1->0且d1+=0, 有

    40x1+30x2+50x3+d1- =3200成立

  • 当利润大于3200时,d1+>0且d1- =0,有

    40x1+30x2+50x3-d1+ =3200成立

  • 当利润恰好等于3200时,d1- =0且d1+ =0, 有

    40x1+30x2+50x3=3200成立

    实际利润只有上述三种情形之一发生,因而可以将三个等式写成一个等式

40x1+30x2+50x3+d1--d1+=3200


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4.1.1引 例

利润不少于3200理解为达到或超过3200,即使不能达到也要尽可能接近3200,可以表达成目标函数{d1-}取最小值,则有


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目标约束(软约束)

系统约束(硬约束)

4.1.1引 例

目标(达成)函数


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4.1.1引 例

满意解:

约束分析:


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4.1.2数 学 模 型

目标规划数学模型的构成要素:

目标函数:一定是“min”, 不含决策变量,不含“-”号。


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4.1.2数 学 模 型

说明

(1)目标规划数学模型的形式有:线性模型、非线性模型、整数模型、交互作用模型等

(2)一个目标中的两个偏差变量di-、 di+至少一个等于零,偏差变量向量的叉积等于零:d-×d+=0

(3)目标规划是将多个目标函数写成一个由偏差变量构成的函数,求最小值,按多个目标的重要性,确定优先等级,顺序求最小值。


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4.1.2数 学 模 型

不同目标的重要程度有两种差别:

  • 绝对差别: 用优先因子Pj表示,P1》P2》…》Pk, 即Pl对应的目标绝对优先于Pl+1对应的目标。

  • 相对差别: 具有同一级别优先因子的多个目标,可根据目标的相对重要程度,分别赋予它们不同的权值,以区别不同的偏差变量在同一优先级内的相对重要程度。


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4.1.2数 学 模 型

目标函数的三种基本表达形式

  • 要求尽可能恰好达到规定的目标值 

    minz=dk++dk-

  • 希望尽可能不低于目标值(允许超过) 

    minz=dk-

  • 希望尽可能不超过目标值(允许少于) 

    minz=dk+


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4.1.2数 学 模 型

(4)目标值是按决策者的意愿,事先给定的,因此也称为理想值。

(5)目标约束具有更大的弹性,允许结果与所制定的目标值存在正或负的偏差。

(6)目标的排序问题。多个目标之间有相互冲突时,决策者首先必须对目标排序。排序的方法有两两比较法、专家评分等方法,构造各目标的权系数,依据权系数的大小确定目标顺序。


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4.1.2数 学 模 型

(7)多目标决策问题。多目标决策研究的范围比较广泛,在决策中,可能同时要求多个目标达到最优。例如,企业在对多个项目投资时期望收益率尽可能最大,投资风险尽可能最小,属于多目标决策问题。本章的目标规划尽管包含有多个目标,但还是按单个目标求偏差变量的最小值,目标规划只是多目标决策的一种特殊情形。


4 1 2

4.1.2 数 学 模 型

【补充例】

某企业生产A、B两种产品,已知有关数据如下:

决策者拟定下列经营目标,试建立目标规划数学模型。

1级目标:充分利用设备有效台时,不加班;

2级目标:产品A的产量不超过10,产品B的产量不少于4

(权系数按利润的比例确定);

3级目标:实现利润130千元。


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4.1.2数 学 模 型

目标规划的一般模型


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4.1.2数 学 模 型

【例4-2】某企业集团计划用1000万元对下属5个企业进行技术改造,各企业单位的投资额已知,考虑2种市场需求变化、现有竞争对手、替代品的威胁等影响收益的4个因素,技术改造完成后预测单位投资收益率((单位投资获得利润/单位投资额)×100%)如表4-2所示.

集团制定的目标是:

(1)希望完成总投资额又不超过预算;

(2)总期望收益率达到总投资的30%;

(3)投资风险尽可能最小;

(4)保证企业5的投资额占20%左右.

集团应如何作出投资决策.


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4.1.2 数 学 模 型

表4-2


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4.1.2 数 学 模 型

【解】设xj(j=1,2,…,5)为集团对第 j 个企业投资的单位数。

(1)总投资约束:

(2)期望收益约束:

整理得


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(4)企业5占20%的投资的目标函数为 ,约束条件

4.1.2数 学 模 型

(3)投资风险约束。这里用离差(rij-E(rj))近似表示风险值


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4.1.2 数 学 模 型


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4.1.2数 学 模 型

【例4-3】车间计划生产甲、乙 两种产品,每种产品均需经过A、B、C三道工序加工。工艺资料如表4-3所示。

表4-3

(1)车间如何安排生产计划,使产值和利润都尽可能高

(2)如果认为利润比产值重要,怎样决策


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4.1.2数 学 模 型

【解】设x1、x2分别为产品甲和产品乙的日产量,得到线

性多目标规划模型:


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4.1.2数 学 模 型

(1)将模型化为目标规划问题。

产值最大(LP)的最优解:X(1) =(20,40),Z1=3800

利润最大(LP)的最优解:X(2)=(30,30),Z2=540

将3800和540分别作为产值和利润的目标值

得到目标规划数学模型:


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4.1.2 数 学 模 型

(2)给 d2-赋予一个比d1-的系数大的权系数


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补充作业

某单位领导在考虑单位职工的升级调资方案时,依次有以

规定:

(1)月工资总额不超过60000元;

(2)每级的人数不超过定编规定的人数;

(3)现有II、III级中人的升级面尽可能达到现有人数的20%;

(4)III级不足编制的人数可录用新职工,又I级职工有10%要退休。

其它资料见下表。

问该单位领导应如何拟订一个满意的方案。


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本节学习要点

4.1目标规划的数学模型

本节介绍了如何建立目标规划的数学模型及有关概念

1. 目标规划由哪些要素构成,与线性规划有哪些不同之处

2. 偏差变量的含义及其作用

3. 目标函数的表达方法

4. 优先级别的含义

下一节:目标规划的图解法


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4.2目标规划的图解法

对于只有两个决策变量的目标规划问题,可以用图解法来求解。求解时,首先必须满足所有系统(绝对)约束,在此基础上,再按照优先级从高到低的顺序,逐个地考虑各个目标约束。


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4.2目标规划的图解法

目标规划的图解法的思路

  • 首先是在可行域 R 内寻找一个使P1级各目标均满足的区域R1;

  • 然后再在R1 中寻找一个使P2 级各目标均满足的区域R2 ;

  • 接着再在R2 中寻找一个满足P3 级各目标的区域R3;

  • 如此继续直到寻找到一个区域Rk

    满足Pk 级各目标,而不保证满足其后的各级目标,这时Rk即为这个目标规划的最优解空间,其中的任一点均为这个目标规划的满意解。


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4.2目标规划的图解法

【例4-4】企业计划生产甲、乙 两种产品,这些产品需要使用两种材料,要在两种不同设备上加工。工艺资料如表4-4所示。

表4-4


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4.2目标规划的图解法

企业怎样安排生产计划,尽可能满足下列目标:

(1)力求使利润指标不低于80元;

(2)考虑到市场需求,甲、乙两种产品的生产量需保持

1:1 的比例;

(3)设备A既要求充分利用,又尽可能不加班;

(4)设备B必要时可以加班,但加班时间尽可能少;

(5)材料不能超用。


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4.2 目标规划的图解法

【解】设x1、x2分别为产品甲和产品乙的产量,目标规划数学模型为:


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x2

(5)

6

(6)

(4)

(1)

B

D

(2)

4

C

(3)

满意解C(3,3)

E

2

A

可行域

满意解 X=(3,3)

x1

F

o

2

6

4

图4-1


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4.2 目标规划的图解法

结果分析:

满意解 X=(3,3)

即满意的生产方案是产品甲、乙各生产3件,此时,材

料Ⅰ消耗9公斤,材料Ⅱ消耗12公斤,均没有超出现有量。

将满意解代人各目标约束,得

(1) 完成利润180元,超过100元;

(2) 满足产品比例要求;

(3) 设备A的时间恰好用完;

(4) 设备B要加班9小时


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4.2目标规划的图解法

目标规划的图解法步骤

1. 按照绝对约束画出可行域(满足系统约束和决策变量非负的解的集合);

2. 不考虑正负偏差变量,画出目标约束的边界线,并标出偏差变量变化时的直线平移方向;

3. 按优先级别和权重依次分析各级目标。


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满意解是线段 上任意点,端点是B(100/3,80/3),C(60,0)。

决策者根据实际情形进行二次选择。

例4-5(1)

x2

(1)

100

80

(2)

(3)

60

(4)

A

40

B

20

可行域为第1象限

x1

C

20

40

60

80

100

图4-2


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例4-5(3)

x2

(1)

100

80

(2)

(3)

60

(4)

A

40

满意解是点 B,X=(100/3,80/3)

B

20

x1

C

20

40

60

80

100

图4-4


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例4-5(2)

x2

(1)

100

80

E

(2)

(3)

D(80/9,560/9)

注:线段DA是第二目标函数的组合,

点A对应的偏差:d2-=100, d3+=0

点D对应的偏差: d2-=0, 2d3+=2×200/9=400/9

60

(4)

A(20,40)

40

满意解是点 D,X=(80/9,560/9)

20

x1

F

20

40

60

80

100

图4-3


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4.2 目标规划的图解法

结论

目标规划可行解集非空时,一定存在满意解。

目标规划没有系统约束时,一定存在满意解。


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本节学习要点

4.2目标规划的图解法

本节介绍了目标规划的图解法

1. 画出系统约束和目标约束直线

2. 标明偏差变量大于零的变量X的取值区域

3. 按优先次序分别求各目标的最小值

4. 仔细体会例4-5(2)的计算要领

下一节:单纯形法


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4.3 单 纯 形 法

单纯形法求解目标规划可参照第1章的步骤,只是目标规划的检验要按优先级顺序逐级进行,不同的是:

(1)首先使得检验数中P1的系数非负,再使得P2的系数非负,依次进行;

(2)(最优解判别准则)当P1、P2、…、Pk对应的系数全部非负时得到满意解;

(3)如果P1,…,Pi行系数非负,而Pi+1行存在负数,并且负数所在列上面P1,…,Pi行中存在正数时,得到满意解,计算结束。


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4.3 单 纯 形 法

【例4-6】用单纯形法求解下述目标规划问题

【解】以d1-、d2-、d3-为基变量,求出检验数,将检验数中优先因子分离出来,每一优先级做一行,列出初始单纯形表4-5。


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4.3 单 纯 形 法

表4-5

[]


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4.3 单 纯 形 法

表 4-6

[ ]

表4-6中P1行全部检验数非负,表明第一目标已经得到优化。P2行存在负数,x1的检验数为-P2<0,选x1进基(也可以选d1+进基),则d2-出基,迭代得到表4-7.


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4.3 单 纯 形 法

表4-7

在表4-7中,P1行的系数全部非负,P2行存在负数,d1+的检验数

-2/3P2<0,选d1+进基,则x1出基,迭代得到表4-8。

注意:表4-7中不能选d2+进基,检验数P1-2/3P2应理解为“大于零”,P1、P2是优先级别的比较,而不是“数”的比较。例如,-3P2+5P3理解为小于零,2P2-4P4理解为大于零等等.


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4.3 单 纯 形 法

表4-8

表4-8中P2行的(-2)小于零,但(-2)列上面P1行存在正数1,检验数P1-2P2>0,所有检验数非负,得到

满意解 X=(0,40)


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续表4-15

满意解X=(20,40)T,对应于图4-3中点A(20,40), Z=120,然而该满意解是错误的,正确的算法见表4-14。

图解法时如果按权系数大小顺序求最小值就很容易得到表4-17所示错误的解。


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4.3 单 纯 形 法

本节学习要点

目标规划的单纯形法与线性规划比较主要有两点不同:

第一,目标规划是按优先次序顺序求解,逐个满足最优(检验数大于等于零);

第二,不一定所有检验数都能满足大于等于零,如果某个检验数小于零,所在列存在检验数大于零时,则认为得到满意解。

计算方法和基本原理与线性规划类似。

The End of Chapter 4


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