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Mathias Pennekamp Kriging - PowerPoint PPT Presentation


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d 34. d 12. d 56. ?. d 12 = ca. 60km d 34 = ca. 61km d 56 = ca. 66km . Kalifornien. Abb.2 Ozonwerte in Kalifornien Quelle: ArcGIS (Beispieldatensatz). Geostatistik. 2 Kriging. Inhaltsübersicht dieses Vortrags:. I. Einstieg in Kriging was ist Kriging

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Presentation Transcript

d34

d12

d56

?

d12 = ca. 60km

d34 = ca. 61km

d56 = ca. 66km

Kalifornien

Abb.2

Ozonwerte in Kalifornien

Quelle:

ArcGIS (Beispieldatensatz)

Mathias Pennekamp ~ Kriging


Geostatistik

Geostatistik

2 Kriging

Mathias Pennekamp ~ Kriging


Inhaltsübersicht dieses Vortrags:

I. Einstieg in Kriging

  • was ist Kriging

  • Rückblick auf deterministische Verfahren

  • Ziel des Krigings

    II. Signalbehandlung

  • Statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

  • ArcInfo

Mathias Pennekamp ~ Kriging


Der Name: „Kriging“

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

Kriging (1)

  • Benannt nach D. G. Krige :

  • Bergbauingenieur, Südafrika

Kriging (2)

  • Oberbegriff für stochastische Interpolationsverfahren

  • seit Anfang der 60er

  • entwickelt durch G. Matheron, Frankreich

  • für geodätische Fragestellungen durch Krarup und Moritz über Kovarianzfunktionen weiterentwickelt (um 1969)

Man unterscheidet Kriging von den deterministischen Verfahren.

Mathias Pennekamp ~ Kriging


Rückblick: deterministische Verfahren

  • Globale Methoden (z.B. Regression)

  • Lokale Methoden (z.B. IDW, nearest neighbours)

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

Grundsätze:

  • Bestimmung von Attributwerten [z] an nicht beprobten Stellen (xu,yu)

  • Flächenhafte Information aus Punktdaten (xi,yi)

  • Verschiedene Möglichkeiten die Punktdaten (xi,yi) zu berücksichtigen ( Gewichtung)

Mathias Pennekamp ~ Kriging


?

?

?

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

 Bei deterministischen Verfahren wird subjektiv gewichtet.

Kriging optimiert die Gewichtung der Punktdaten.

Mathias Pennekamp ~ Kriging


Ziel des Krigings:

  • Gewichtsoptimierung bei der Attributbestimmung eines Punktes, der nicht beobachtet wurde.

  • Genauigkeit des geschätzten Attributwertes

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

Motivationsbeispiel:

Es wird die Ozonbelastung einer Region bestimmt: Ist die aus den Punktdaten prädizierte Fläche jetzt genau genug, um in Bereichen mit kritischen Ozonwerten noch in die Sonne zu gehen.

Mathias Pennekamp ~ Kriging


Approximation [Annäherung] der Beobachtung [ l ] durch eine

Funktion unter Minimierung der Verbesserungen [ v ].

v

Die Verbesserungen [v] werden in ein lokales Signal [s] und

ein normalverteiltes Rauschen [n] aufgespaltet.

II. Das Signal

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

Statistik:

Deterministisches Modell: l + v = f(x) oder l = f(x) + v

bzw. l + v = Ax

Neu:

Stochastisches Signal: s

Formel: l = f(x) + s + n

Mathias Pennekamp ~ Kriging


Abb. 1

Geostatistik-Modell

Quelle:

Prof. Dr. W.-D. Schuh

Der Attributwert einer Zufalls-variablen wird mit z bezeichnet:

z(x) = f (x) + s + n

Unterschied von z(x) und l:

l ... Beobachtung

z(x) ... Attributwert auch für unbeprobte Stellen

Mathias Pennekamp ~ Kriging


II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe

l = f(x) +s + n

E { si } = si

E { s} = 0

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

Der Erwartungswert [ E ]:

  • Der Erwartungswert der Summe aller Signale über das Gebiet ist null

    • E { s} = 0 vgl. E {  v } = 0

  • Lokal jedoch existiert ein Erwartungswert für das Signal

    • E { si } = si

Mathias Pennekamp ~ Kriging


l = f(x) +s + n

P5

P1

P6

P2

P3

P4

II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

Lokale Betrachtung des Signals:

  • Idee 1: Die Beobachtungen l benachbarter Punkte sind ähnlich

    • Korrelationen (Abhängigkeit) zwischen den benachbarten Punkten Pi(xi,yi)

  • Idee 2: Je größer der Punktabstand, desto geringer die Ähnlichkeit der Beobachtungen  Distanzabhängigkeit

Mathias Pennekamp ~ Kriging


l = f(x) +s + n

z3

z1

z4

P3

d34

z2

P4

P1

d12

P2

II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

Stationarität:

  • Idee 3: Die Lage der Punkte spielt für die Korrelation keine Rolle, es interessiert nur die Distanz  Stationarität

In Pi wird zi beobachtet:

Stationarität heißt, wenn d12 = d34  E{ z12 } = E{ z34 } und ist eine Voraussetzung für Kriging

Mathias Pennekamp ~ Kriging


Definition:(d) = ½{ z(P) – z(P+d) } ²

(d) ... Semivarianz für die Distanz d

z(P) ... Attributwert im Punkt P(x,y)

z(P+d) ... Attributwert in einem Punkt, der um d von P(x,y) entfernt ist

Verknüpfung von Distanz und Signal (1)

  • - Semivarianz -

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

  • Problem:

  • Die Semivarianz muss für alle Punkte des Datensatzes und für alle Distanzen bestimmt werden.

  • [Komplexität] = O(n²) ;

  • n ... Anzahl der Punkte

Vereinfachung:

Bildung von Entfernungs-klassen:

Bsp.: 0 ... 40km

40 ... 80km

80 ...

Mathias Pennekamp ~ Kriging


Verknüpfung von Distanz und Signal (2)

  • - Entfernungsklassen (Bsp.) -

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

  • Einordnen der Distanzen zwischen den Punkten in die zugehörige Klasse

    • 42, 44, 49, 51, 57, 67, 71  40 - 80

  • Berechnung des arithmetischen Mittels von allen Distanzen in einer Klasse

    • 54,43

  • Bestimmung der Semivarianzen zwischen allen Punkten in der Klasse

    • 6+5+4+3+2+1 = 21 Semivarianzen

  • Berechnung der mittleren Semivarianz einer Entfernungsklasse

  • eine Semivarianz pro Entfernungsklasse

Mathias Pennekamp ~ Kriging


z1

z2

(d)

P1

 (d12)

d12

P2

d12

d

 (d12) = ½ {z1–z2} ²

Verknüpfung von Distanz und Signal (3)

  • - Semivariogramm -

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

Ein Semivariogramm ist ein Diagramm, bei dem Semivarianz und Distanz gegeneinander aufgetragen wird.

Mathias Pennekamp ~ Kriging


(d)

?

d

d

Empirisches Semivariogramm

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

Problem (u.a.):

- ...

- nur punkthafte Information

Lösung (u.a.): Theoretisches Semivariogramm

- Approximation der Punkte durch eine Funktion

Mathias Pennekamp ~ Kriging


III. Kriging

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

Idee: Optimierung der Gewichte mit Hilfe des Semivariogramms

Vorteil: Genauigkeit der geschätzten Fläche ist bestimmbar.

Größen des Semivariogramms sind Nugget, Range und Sill.

Mathias Pennekamp ~ Kriging


Analysen im Semivariogramm

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

  • Nugget ist ein Maß für Streuung des Signals im Nahbereich (Messfehler):

  • Semivarianz für d = 0: (d) = ½{ z(P) – z(P+d) } ² (d) = 0

  • Range gibt an, wie weit die Punkte korrelieren:

  • Bestimmung der Größe der Nachbarschaft, dessen Punkte ich zur Interpolation verwende.

  • Sill gibt das Maximum des Semivariogramms an. Sie ist ein Maß für die Varianz der beobachteten Attributwerte.

Mathias Pennekamp ~ Kriging


?

Range

Beispiel zur Bestimmung der optimalen Gewichte:

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

  • geg.: Punktdatensatz

  • ges.: Attributwert an einem unbeprobten Ort

1) Bestimmung der Distanzen zwischen den Punkten

  • 2) Bestimmung der Semivarianzen für alle Distanzen [ij]

  • 3) Aufstellen einer Matrix, die diese Semivarianzen enthält

  • 4) Bestimmung der optimalen Gewichte mit dem Kriging-Schätzer

Zu 1) Im Normalfall  Entfernungsklassen berücksichtigen

Zu 2) Semivarianzen aus dem Semivariogramm bestimmen

Mathias Pennekamp ~ Kriging


11 . . .16 1 1 10

: : : : :

61 . . .66 1 * 6 = 60

1 . . . 1 0 m 1

?

5

6

4

0

1

3

2

Zu 3) Matrix der Semivarianzen

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

Semivarianz für die Punkte 1 und 6

Zu 4)Die zu berechnenden, optimalen Gewichte sind 1- 6 .:

Lösung: z0 = 1*l1 + 2*l2 + ... + 6*l6

Warum ?  Ausarbeitung

Mathias Pennekamp ~ Kriging


s

l

Verschiedene Krigingverfahren

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination

1.1 Simple Kriging

1.2 Ordinary Kriging

1.3 Universal Kriging

2. Indicator Kriging

3. Probability Kriging

4. Disjunctive Kriging

5. Co-Kriging

1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination

1.1 Simple Kriging

1.2 Ordinary Kriging

1.3 Universal Kriging

2. Indicator Kriging

3. Probability Kriging

4. Disjunctive Kriging

5. Co-Kriging

1.1 Simple Kriging

1.1 Simple Kriging

Der Trend f(x) wird beim Simple Kriging konstant gesetzt, d.h. man setzt den globalen Mittelwert als Trend ein:

f (x) = 

Mathias Pennekamp ~ Kriging


l

Verschiedene Krigingverfahren

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination

1.1 Simple Kriging

1.2 Ordinary Kriging

1.3 Universal Kriging

2. Indicator Kriging

3. Probability Kriging

4. Disjunctive Kriging

5. Co-Kriging

1.2 Ordinary Kriging

Der Trend f(x) wird beim Ordinary Kriging durch eine Funktion (z.B. Polynom 3. Grades) global approximiert und vorm Kriging eliminiert.

Mathias Pennekamp ~ Kriging


l

Verschiedene Krigingverfahren

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination

1.1 Simple Kriging

1.2 Ordinary Kriging

1.3 Universal Kriging

2. Indicator Kriging

3. Probability Kriging

4. Disjunctive Kriging

5. Co-Kriging

1.3 Universal Kriging

Der Trend f(x) wird wie beim Ordinary Kriging eliminiert, mit dem Unterschied, dass lokale Trends (Signal) berücksichtigt werden können. Möglich- keit der iterativen Trendbestimmung:

-Parameterschätzung

-verbleibendes Signal liefert Abhängigkeiten

-Iterationsprozess möglich mit neuen Parametern

Mathias Pennekamp ~ Kriging


l

Verschiedene Krigingverfahren

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination

1.1 Simple Kriging

1.2 Ordinary Kriging

1.3 Universal Kriging

2. Indicator Kriging

3. Probability Kriging

4. Disjunctive Kriging

5. Co-Kriging

2. Indicator Kriging

Entwirft eine Karte, die angibt mit welcher Wahrscheinlichkeit ein wähl- barer Schwellenwert (Threshold), wie z.B. ein kritischer Ozonwert erreicht wird.

Mathias Pennekamp ~ Kriging


l

Verschiedene Krigingverfahren

I. Kriging – Einstieg

  • Der Name :“Kriging“

  • Rückblick

  • Ziel

    II. Signalbehandlung

  • statistische Grundbegriffe

  • Semivarianz

  • Semivariogramm

    III. Kriging

  • Analysen im Semivariogramm

  • Beispielrechnung

  • verschiedene Krigingverfahren

1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination

1.1 Simple Kriging

1.2 Ordinary Kriging

1.3 Universal Kriging

2. Indicator Kriging

3. Probability Kriging

4. Disjunctive Kriging

5. Co-Kriging

5. Co-Kriging

Co-Kriging benutzt zur Interpolation der Fläche einen zweiten Datensatz eines Attributs (z.B.Cd-Belastung), welches sich ähnlich zum ersten Datensatz (z.B. Pb-Belastung) verhält.

Vorteil:

Schwach beprobte Stellen können effizienter geschätzt werden.

[Multivariates Kriging]

Mathias Pennekamp ~ Kriging


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