1 / 25

d 12

d 34. d 12. d 56. ?. d 12 = ca. 60km d 34 = ca. 61km d 56 = ca. 66km . Kalifornien. Abb.2 Ozonwerte in Kalifornien Quelle: ArcGIS (Beispieldatensatz). Geostatistik. 2 Kriging. Inhaltsübersicht dieses Vortrags:. I. Einstieg in Kriging was ist Kriging

nia
Download Presentation

d 12

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. d34 d12 d56 ? d12 = ca. 60km d34 = ca. 61km d56 = ca. 66km Kalifornien Abb.2 Ozonwerte in Kalifornien Quelle: ArcGIS (Beispieldatensatz) Mathias Pennekamp ~ Kriging

  2. Geostatistik 2 Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging

  3. Inhaltsübersicht dieses Vortrags: I. Einstieg in Kriging • was ist Kriging • Rückblick auf deterministische Verfahren • Ziel des Krigings II. Signalbehandlung • Statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren • ArcInfo Mathias Pennekamp ~ Kriging

  4. Der Name: „Kriging“ I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Kriging (1) • Benannt nach D. G. Krige : • Bergbauingenieur, Südafrika Kriging (2) • Oberbegriff für stochastische Interpolationsverfahren • seit Anfang der 60er • entwickelt durch G. Matheron, Frankreich • für geodätische Fragestellungen durch Krarup und Moritz über Kovarianzfunktionen weiterentwickelt (um 1969) Man unterscheidet Kriging von den deterministischen Verfahren. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  5. Rückblick: deterministische Verfahren • Globale Methoden (z.B. Regression) • Lokale Methoden (z.B. IDW, nearest neighbours) I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Grundsätze: • Bestimmung von Attributwerten [z] an nicht beprobten Stellen (xu,yu) • Flächenhafte Information aus Punktdaten (xi,yi) • Verschiedene Möglichkeiten die Punktdaten (xi,yi) zu berücksichtigen ( Gewichtung) Mathias Pennekamp ~ Kriging

  6. ? ? ? I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren  Bei deterministischen Verfahren wird subjektiv gewichtet. Kriging optimiert die Gewichtung der Punktdaten. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  7. Ziel des Krigings: • Gewichtsoptimierung bei der Attributbestimmung eines Punktes, der nicht beobachtet wurde. • Genauigkeit des geschätzten Attributwertes I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Motivationsbeispiel: Es wird die Ozonbelastung einer Region bestimmt: Ist die aus den Punktdaten prädizierte Fläche jetzt genau genug, um in Bereichen mit kritischen Ozonwerten noch in die Sonne zu gehen. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  8. Approximation [Annäherung] der Beobachtung [ l ] durch eine Funktion unter Minimierung der Verbesserungen [ v ]. v Die Verbesserungen [v] werden in ein lokales Signal [s] und ein normalverteiltes Rauschen [n] aufgespaltet. II. Das Signal I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Statistik: Deterministisches Modell: l + v = f(x) oder l = f(x) + v bzw. l + v = Ax Neu: Stochastisches Signal: s Formel: l = f(x) + s + n Mathias Pennekamp ~ Kriging

  9. Abb. 1 Geostatistik-Modell Quelle: Prof. Dr. W.-D. Schuh Der Attributwert einer Zufalls-variablen wird mit z bezeichnet: z(x) = f (x) + s + n Unterschied von z(x) und l: l ... Beobachtung z(x) ... Attributwert auch für unbeprobte Stellen Mathias Pennekamp ~ Kriging

  10. II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe l = f(x) +s + n E { si } = si E { s} = 0 I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Der Erwartungswert [ E ]: • Der Erwartungswert der Summe aller Signale über das Gebiet ist null • E { s} = 0 vgl. E {  v } = 0 • Lokal jedoch existiert ein Erwartungswert für das Signal • E { si } = si Mathias Pennekamp ~ Kriging

  11. l = f(x) +s + n P5 P1 P6 P2 P3 P4 II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Lokale Betrachtung des Signals: • Idee 1: Die Beobachtungen l benachbarter Punkte sind ähnlich • Korrelationen (Abhängigkeit) zwischen den benachbarten Punkten Pi(xi,yi) • Idee 2: Je größer der Punktabstand, desto geringer die Ähnlichkeit der Beobachtungen  Distanzabhängigkeit Mathias Pennekamp ~ Kriging

  12. l = f(x) +s + n z3 z1 z4 P3 d34 z2 P4 P1 d12 P2 II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Stationarität: • Idee 3: Die Lage der Punkte spielt für die Korrelation keine Rolle, es interessiert nur die Distanz  Stationarität In Pi wird zi beobachtet: Stationarität heißt, wenn d12 = d34  E{ z12 } = E{ z34 } und ist eine Voraussetzung für Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging

  13. Definition:(d) = ½{ z(P) – z(P+d) } ² (d) ... Semivarianz für die Distanz d z(P) ... Attributwert im Punkt P(x,y) z(P+d) ... Attributwert in einem Punkt, der um d von P(x,y) entfernt ist Verknüpfung von Distanz und Signal (1) • - Semivarianz - I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren • Problem: • Die Semivarianz muss für alle Punkte des Datensatzes und für alle Distanzen bestimmt werden. • [Komplexität] = O(n²) ; • n ... Anzahl der Punkte Vereinfachung: Bildung von Entfernungs-klassen: Bsp.: 0 ... 40km 40 ... 80km 80 ... Mathias Pennekamp ~ Kriging

  14. Verknüpfung von Distanz und Signal (2) • - Entfernungsklassen (Bsp.) - I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren • Einordnen der Distanzen zwischen den Punkten in die zugehörige Klasse • 42, 44, 49, 51, 57, 67, 71  40 - 80 • Berechnung des arithmetischen Mittels von allen Distanzen in einer Klasse • 54,43 • Bestimmung der Semivarianzen zwischen allen Punkten in der Klasse • 6+5+4+3+2+1 = 21 Semivarianzen • Berechnung der mittleren Semivarianz einer Entfernungsklasse • eine Semivarianz pro Entfernungsklasse Mathias Pennekamp ~ Kriging

  15. z1 z2 (d) P1  (d12) d12 P2 d12 d  (d12) = ½ {z1–z2} ² Verknüpfung von Distanz und Signal (3) • - Semivariogramm - I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Ein Semivariogramm ist ein Diagramm, bei dem Semivarianz und Distanz gegeneinander aufgetragen wird. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  16. (d) ? d d Empirisches Semivariogramm I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Problem (u.a.): - ... - nur punkthafte Information Lösung (u.a.): Theoretisches Semivariogramm - Approximation der Punkte durch eine Funktion Mathias Pennekamp ~ Kriging

  17. III. Kriging I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Idee: Optimierung der Gewichte mit Hilfe des Semivariogramms Vorteil: Genauigkeit der geschätzten Fläche ist bestimmbar. Größen des Semivariogramms sind Nugget, Range und Sill. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  18. Analysen im Semivariogramm I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren • Nugget ist ein Maß für Streuung des Signals im Nahbereich (Messfehler): • Semivarianz für d = 0: (d) = ½{ z(P) – z(P+d) } ² (d) = 0 • Range gibt an, wie weit die Punkte korrelieren: • Bestimmung der Größe der Nachbarschaft, dessen Punkte ich zur Interpolation verwende. • Sill gibt das Maximum des Semivariogramms an. Sie ist ein Maß für die Varianz der beobachteten Attributwerte. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  19. ? Range Beispiel zur Bestimmung der optimalen Gewichte: I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren • geg.: Punktdatensatz • ges.: Attributwert an einem unbeprobten Ort 1) Bestimmung der Distanzen zwischen den Punkten • 2) Bestimmung der Semivarianzen für alle Distanzen [ij] • 3) Aufstellen einer Matrix, die diese Semivarianzen enthält • 4) Bestimmung der optimalen Gewichte mit dem Kriging-Schätzer Zu 1) Im Normalfall  Entfernungsklassen berücksichtigen Zu 2) Semivarianzen aus dem Semivariogramm bestimmen Mathias Pennekamp ~ Kriging

  20. 11 . . .16 1 1 10 : : : : : 61 . . .66 1 * 6 = 60 1 . . . 1 0 m 1 ? 5 6 4 0 1 3 2 Zu 3) Matrix der Semivarianzen I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren Semivarianz für die Punkte 1 und 6 Zu 4)Die zu berechnenden, optimalen Gewichte sind 1- 6 .: Lösung: z0 = 1*l1 + 2*l2 + ... + 6*l6 Warum ?  Ausarbeitung Mathias Pennekamp ~ Kriging

  21. s l Verschiedene Krigingverfahren I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 1.1 Simple Kriging 1.1 Simple Kriging Der Trend f(x) wird beim Simple Kriging konstant gesetzt, d.h. man setzt den globalen Mittelwert als Trend ein: f (x) =  Mathias Pennekamp ~ Kriging

  22. l Verschiedene Krigingverfahren I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 1.2 Ordinary Kriging Der Trend f(x) wird beim Ordinary Kriging durch eine Funktion (z.B. Polynom 3. Grades) global approximiert und vorm Kriging eliminiert. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  23. l Verschiedene Krigingverfahren I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 1.3 Universal Kriging Der Trend f(x) wird wie beim Ordinary Kriging eliminiert, mit dem Unterschied, dass lokale Trends (Signal) berücksichtigt werden können. Möglich- keit der iterativen Trendbestimmung: -Parameterschätzung -verbleibendes Signal liefert Abhängigkeiten -Iterationsprozess möglich mit neuen Parametern Mathias Pennekamp ~ Kriging

  24. l Verschiedene Krigingverfahren I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 2. Indicator Kriging Entwirft eine Karte, die angibt mit welcher Wahrscheinlichkeit ein wähl- barer Schwellenwert (Threshold), wie z.B. ein kritischer Ozonwert erreicht wird. Mathias Pennekamp ~ Kriging

  25. l Verschiedene Krigingverfahren I. Kriging – Einstieg • Der Name :“Kriging“ • Rückblick • Ziel II. Signalbehandlung • statistische Grundbegriffe • Semivarianz • Semivariogramm III. Kriging • Analysen im Semivariogramm • Beispielrechnung • verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 5. Co-Kriging Co-Kriging benutzt zur Interpolation der Fläche einen zweiten Datensatz eines Attributs (z.B.Cd-Belastung), welches sich ähnlich zum ersten Datensatz (z.B. Pb-Belastung) verhält. Vorteil: Schwach beprobte Stellen können effizienter geschätzt werden. [Multivariates Kriging] Mathias Pennekamp ~ Kriging

More Related