1 / 34

8. INTEGRASI NUMERIK

8. INTEGRASI NUMERIK. Integrasi numerik adalah proses mencari hampiran luas bidang yang dibatasi oleh f ( x ) dan sumbu x pada selang tertutup [a, b]. Jika f ( x ) dihampiri dengan polinomial p n ( x ), maka integrasi numerik ditulis dalam bentuk ,. (8.1).

newton
Download Presentation

8. INTEGRASI NUMERIK

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 8. INTEGRASI NUMERIK

  2. Integrasinumerikadalahprosesmencarihampiranluasbidang yang dibatasiolehf (x) dansumbuxpadaselangtertutup [a, b]. Jikaf (x) dihampiridenganpolinomialpn(x), makaintegrasinumerikditulisdalambentuk, (8.1) ProsespencariannilaihampiranIdilakukanjika: a. Fungsif (x), disebutintregran, mempunyaibentuk yang sulituntukdilakukanprosesintegrasi. b. Nilaixdanf (x) hanyadalambentuktabeldiskrit.

  3. f (x) f (x) x O a b Gambar 8.1 Luasbidang yang dibatasif(x)

  4. f (x) pn(x) f (x) pn(x) x O a b Gambar 8.1 Hampiranluasbidang yang dibatasipn(x)

  5. Prosesmenentukannilaihampiranintegrasinumerik dilakukandenganbeberapacaraataumetode, yaitumetode manual, pencocokanpolinomial, aturantrapesium, aturan titiktengah, aturan Simpson, integrasi Romberg, sertaKuadratur Gauss. 8.1 Metode Manual Prosesintegrasinumeriksecara manual adalah menentukanluasbidangdengancaramenggambar persegi-persegi yang beradadibawahgrafikf (x). Jumlahpersegi yang beradadibawahgrafikdikalikandenganluasmasing-masingpersegimerupakanluasbidang yang dibatasinya, seperti yang ditunjukkanpadaGambar 8.2.

  6. y x O a b Gambar 8.2 Hampiranluasbidangmetode manual

  7. 8.2 PolinomialPencocokanKurva Jikaterdapatsebuahfungsif (x) yang sulituntukdilakukanprosesintegrasi, seperti (8.2) atau data yang menyajikannilaif (x) untuknilaixtertentu, sepertitabelberikut, makaf(x) dapatdihampiridenganpn(x) sepertipersamaan (8.3) berikut, pn(x) = a0 + a1x + a1x2 + … (8.3)

  8. Contoh 8.1 Dari tabelberikut, evaluasi integral denganmenggunakanmetodepencocokankurva polinomialorde 3. Penyelesaian

  9. f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 a0 + a1 + a2 + a3 = 2,1722 a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 2,7638 a0 + 3a1 + 9a2 + 27a3 = 4,4899 a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 = 7,3912

  10. Didapat f (x) = 2,6744 – 1,0355x + 0,5266x2 + 0,0068x3 I = = 11.6769

  11. 8.3 AturanTrapesium Jikanilaif (x) berasaldarix yang mempunyaijarak yang sama, makahampiranintegrasif (x) dapatditentukansebagaiberikut. y f (x) h x (Luas 1 trapesium) O x1 x0 Gambar 8.2 Luassatupiastrapesium

  12. Jikaselangtertutup [a, b] dibagimenjadinbuahbidang, makaluashampiranf(x) ditunjukkanpadaberikut y … x O a=x0 x1 x2 xn–1 b=xn Gambar 8.3 Luasnbuahtrapesium n = (xn – x0)/h (8.5)

  13. Luasn buahtrapesiumadalah (8.6) Persamaan (8.6) adalahhampiranintegrasif(x) denganmetodetrapesium.

  14. Contoh 8.2 Dari tabelberikut, gunakanmetodetrapesiumuntukmengevaluasi integral dengann = 8 Penyelesaian

  15. n = 8 ; xn = x8 = 2,0 ; x0 = 0,4 Dari persamaan (8.5) didapat h = (xn – x0)/n = (2,0 – 0,4) / 8 = 0,2 Dari tabeldidapat: f (x0) = 5,1600 2 f (x1) = 2(3,6933) = 7,3866 ; 2 f (x2) = 2(3,1400) = 6,2800 2 f (x3) = 2(3,0000) = 6,0000 ; 2 f (x4) = 2(3,1067) = 6,2034 2 f (x5) = 2(3,3886) = 6,7772 ; 2 f (x6) = 2(3,8100) = 7,6200 2 f (x7) = 2(4,3511) = 8,7022 ; f (x8) = 5,0000

  16. 8.4 AturanTitik Tengah Gambarberikutadalahsebuahpersegipanjangdari x = x0sampaix = x1dantitiktengahx = x1/2 = x0 + h/2 y f (x) h x a=x0x1/2 b=x1 O Gambar 8.4 Aturantitiktengah

  17. y … x Gambar 8.3 Luasnbuahtrapesium O a=x0x1x2 … xn-1 b=xn n = (xn – x0)/h (8.7)

  18. Luasn buahtrapesiumadalah (8.8) Persamaan (8.8) adalahhampiranintegrasif(x) denganmetodetitiktengah.

  19. Contoh 8.3 Dari tabelberikut, gunakanmetodetitiktengahdengann = 8 untukmengevaluasi integral

  20. Penyelesaian n = 8 ; xn = x8 = 2,0 ; x0 = 0,4 Dari persamaan (8.5) didapat h = (xn – x0)/n = (2,0 – 0,4) / 8 = 0,2

  21. Dari tabeldidapat: f (x0+h/2) = f (0,4+0,1) = f (0,5) = 4,4266 f (x1+h/2) = f (0,6+0,1) = f (0,7) = 3,4166 f (x2+h/2) = f (0,8+0,1) = f (0,9) = 3,0700 f (x3+h/2) = f (1,0+0,1) = f (1,1) = 3,0534 f (x4+h/2) = f (1,2+0,1) = f (1,3) = 3,2476 f (x5+h/2) = f (1,4+0,1) = f (1,5) = 3,5993 f (x6+h/2) = f (1,6+0,1) = f (1,7) = 4,0806 f (x7+h/2) = f (1,8+0,1) = f (1,9) = 4,6757

  22. 8.5 Aturan Simpson 1/3 Aturansimpson 1/3 adalahaturan yang mencocokkanpolinomialderajat 2 padatigatitik data diskrit yang mempunyaijarak yang sama. p2(x) y f (x) x x0 = 0 x1 = hx2 = 2h Gambar 8.4 Aturan Simpson 1/3

  23. Metode Simpson 1/3 mengacupadainterpolasi Newton-Gregory selisih-majuderajat 2 yang melalui tigabuahtitik yang berjaraksama, yaitu Dari persamaan (8.5) didapat s = (x – x0)/h ataux = x0 + sh Karena x0 = 0, makax = shataus = x/h Substitusiskedalampolinomselisih-majuderajat 2 didapat,

  24. (8.9)

  25. Contoh 8.4 Selesaikan denganmenggunakanmetode: Trapesium Titiktengah Simpson 1/3 Penyelesaian h = 0,10

  26. a. MetodeTrapesium n = (xn – x0)/h = (1 – 0) / 0,1 = 10

  27. I  0,05(0,5000 + 1,0476 + 1,0909 + 1,1304 + 1,1666 + 1,2000 + 1,2308 + 1,2592 + 1,2856 + 1,3104+0,6666  0,594375

  28. b. Metodetitiktengah: f (x0+h/2) = f (0,0+0,05) = f (0,5) = 0,6000 f (x1+h/2) = f (0,1+0,05) = f (1,5) = 0,7142 f (x2+h/2) = f (0,2+0,05) = f (2,5) = 0,7778 f (x3+h/2) = f (0,3+0,05) = f (3,5) = 0,8182 f (x4+h/2) = f (0,4+0,05) = f (4,5) = 0,8462 f (x5+h/2) = f (0,5+0,05) = f (5,5) = 0,8666 f (x6+h/2) = f (0,6+0,05) = f (6,5) = 0,8824 f (x7+h/2) = f (0,7+0,05) = f (7,5) = 0,8947 f (x8+h/2) = f (0,8+0,05) = f (8,5) = 0,9048 f (x9+h/2) = f (0,9+0,05) = f (9,5) = 0,9130

  29. c. MetodeSimpson 1/3m n = (xn – x0)/h = (1 – 0) / 0,1 = 10

More Related