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I.T.I.S. "S. Cannizzaro ". I BILANCI e la TRASMISSIONE DEL CALORE. Prof. Ernesto Trinaistich. 1. Per risolvere i problemi relativi agli impianti chimici è necessario fare uso di equazioni, esse vengono classificate in :

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Presentation Transcript


I bilanci e la trasmissione del calore

I.T.I.S. "S. Cannizzaro"

I BILANCI

e la

TRASMISSIONE DEL CALORE

Prof. Ernesto Trinaistich

1


I bilanci e la trasmissione del calore

Per risolvere i problemi relativi agli impianti chimici è necessario fare uso di equazioni, esse vengono classificate in :

equazioni dibilancio e equazioni ditrasferimento.

-Le equazioni dibilanciosi basano sul principio di conservazione della massa e dell’energia in sistemi chiusi ( stazionari) e vengono utilizzate per determinare portate, composizioni, quantità di calore.

-Le equazioni di “ trasferimento “sono in genere relative

al trasferimento del calore da un sistema ad un altro.

Si definiscono “operazioni unitarie” le lavorazioni industriali che non portano a variazioni nella natura delle sostanze

(interessano fenomeni fisici).

Sono operazioni unitarie la concentrazione, l’evaporazione,

la distillazione, la filtrazione, l’estrazione con solvente ecc.

Si definiscono “ processi unitari” le lavorazioni che portano

ad una variazione nella natura delle sostanze trattate

(interessano fenomeni chimici).

Sono processi unitari le Sintesi industriali.

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I bilanci e la trasmissione del calore

Ritornando alle equazioni di bilancio si può dire che il sistema

è inregime stazionariose non si ha accumulo.

Per capire il concetto consideriamo un recipiente alimentato

da una portata entrante di liquido F.in. ed una uscente F.us.

Se Fi – Fu = 0 cioè Fi = Fu

tanto liquido entra tanto ne esce, quindi non si ha accumulo.

Se Fi – Fu ≠ 0cioè Fi ≠ Fusi ha accumulo

e precisamente

Se Fi > Ful’accumulo è positivo

Se Fi < Ful’accumulo è negativo

Fin

Fus

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I bilanci e la trasmissione del calore

Possiamo dire:

Portata entrante – Portata uscente = Accumulo

Esprimendo l’accumulo come variazione

di volume nel tempo si ha:

∆ V

Fi – Fu =

∆ t

L’ unità di misura è in genere litri / minuti

oppure m3 / sec

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I bilanci e la trasmissione del calore

BILANCIO DI ENERGIA

Possiamo scrivere:

En entrante – En uscente = Accumulo di energia

In un sistema stazionario l’Accumulo è zero.

En entrante – En uscente = 0

Le forme di energie associate ai componenti del sistema sono molteplici, si va dalla energia cinetica a quella potenziale al contenuto termicoo Entalpia H ;

Pertanto: En.( Interna+Potenziale+Cinetica ) iniziale –

En (I+P+C) finale +Calore assorbito dall’esterno –Lavoro fatto = Accumulo di energia

Considerando l’energia solamente come contenuto termico ,se il sistema è conservativo o stazionario non c’é scambio con l’esterno pertanto il Contenuto termico iniziale, come somma di quello di tutti i partecipanti è uguale al Contenuto termico finale.

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I bilanci e la trasmissione del calore

Contenuto termico entrante – Contenuto termico uscente = 0

Il Contenuto termico Q (o Entalpia H ) rappresenta il calore necessario per portare la massa da 0°C alla temperatura considerata cioè:

Q = m ۰ cp ۰ (t - 0) = m ۰ cp ۰ t .

Il calore così definito non è altro che l’H della sostanza.

Il contenuto termico a 0° C è posto = 0.

L’unità di misura del calore è la Kcal o nel S.I. il Joule.

Cp rappresenta il calore specifico, cioè il calore necessario per innalzare di un grado la temperatura dell’unità di massa della sostanza.

Q Kcal Joule

Cp = = ; nel S.I. =

m*Δ t Kg ۰°C Kg۰ K

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I bilanci e la trasmissione del calore

Cp si considera a pressione costante, cioè comprensivo dell’energia spesa per il lavoro di espansione risulta quindi: Cp > Cv

Cv è il calore specifico a volume costante

Il calore necessario a provocare una variazione di temperatura nel sistema da t1 a t2 è: Q = m *Cp* ( t1 - t2 ).

Analizziamo il bilancio di energia nella miscela di due liquidi.

Considerando due liquidi aventi massa m1 e m2 , alle temperature t1 e t2 , miscelandoli in condizioni stazionarie avremo: Hidi m1 + Hi di m2 = Hf di m1 + Hf di m2

- dove Hie Hf sono le entalpie iniziali e finali

- tf rappresenta la temperatura finale uguale per entrambi.

Possiamo scrivere:

m1 cp1( t1 – 0 ) + m2 cp2( t2 – 0 ) = m1 cp1( tf – 0 ) + m2 cp2( tf – 0 )

( si consideri t1 > t2 ) da cui

m1 cp1 t1 + m2 cp2 t2 = m1 cp1tf + m2 cp2tf

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I bilanci e la trasmissione del calore

La somma dei contenuti termici iniziali è uguale a quella finale.

L’equazione rappresenta un bilancio di energia

applicato ad una miscela. L’equazione può essere scritta :

m1 cp1 ( t1 - tf ) = m2 cp2 ( tf - t2)

Δ H1= Δ H2

Il primo membrorappresenta l’energia o calore ceduto

dal primo liquido più caldo , mentre il secondo membro

il calore acquistato dal liquido più freddo.

L’equazione scritta costituisce un bilancio di trasferimento.

Con semplici passaggi si ottiene:

m1 cp1 t1 + m2 cp2 t2

Tf=

m1 cp1 + m2 cp2

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I bilanci e la trasmissione del calore

TRASFERIMENTO DEL CALORE:

CONDUZIONE – CONVEZIONE - IRRAGGIAMENTO.

Le equazioni di trasferimento si riferiscono al trasporto di calore o di materia tra un sistema ed un altro. Una equazione di trasferimento mette in relazione la grandezza oggetto del trasferimento ( energia o massa ) con le grandezze fisiche che la influenzano..

Ad esempio il trasferimento del calore tra due corpi dipende dalla loro differenza di temperatura e dalle caratteristiche costruttive

( materiali, forma).

L’equazione di trasferimento è del tipo:

Forza spingente

Portata della grandezza trasferita =

Resistenza al trasferimento

La forza spingente è la causa che determina il trasferimento

( esempio la differenza di temperatura). La resistenza dipende dal mezzo attraverso cui avviene il trasferimento.


I bilanci e la trasmissione del calore

  • TRASFERIMENTO DEL CALORE.

  • Condizione indispensabile è che i due corpi abbiano diversa temperatura.

  • Lo studio del trasferimento si propone di descrivere quali grandezze influenzano lo scambio, così pure il ruolo della forma geometrica dei corpi interessati.

  • Il trasferimento del calore tra due corpi può avvenire per:

  • CONDUZIONE

  • CONVEZIONE

  • IRRAGGIAMENTO.

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I bilanci e la trasmissione del calore

LA CONDUZIONE

Il meccanismo della conduzione non implica spostamento di materia. I metalli in genere sono buoni conduttori del calore e questo è da attribuire alla grande mobilità che hanno gli elettroni di muoversi nella materia.

Consideriamo il trasferimento del calore attraverso una superficie piana isolata dall’ambiente esterno.T1 > T2

interno

T1

Parete 2

Parete 1

Q calore scambiato

esterno

T2

Profilo della temperatura (rappresentazione grafica del valore della t°):

Maggiore è l’inclinazione minore è la conducibilità termica del materiale.

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I bilanci e la trasmissione del calore

L’equazione di trasferimento del calore per conduzione è l’equazione di Fourier:

Δ T

Q = K * A *Q rappresenta la quantità di calore scambiata

s nell’unità di tempo Kcal / h o W nell’ S.I.

K rappresenta la conducibilità termica del

materiale in Kcal / h∙ m ∙ °C.

Capacità del materiale a condurre il calore.

A è la superficie di scambio perpendicolare al

Flusso. In m2

ΔT differenza di temperatura T1 - T2in Kelvin.

s è lo spessore in m.

Δ T

Il rapporto è definito Gradiente termico ( spinta )

s

( che rappresenta la condizione sufficiente affinché si manifesti il trasferimento).

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I bilanci e la trasmissione del calore

Il profilo della temperatura sarà tanto più inclinato in funzione della differenza di temperature tra le due facce.

Considerando la quantità di calore scambiato Q come rapporto tra una forza spingente e

la resistenza si ha:

Δ Tforza spingente

Q =

s resistenza

K * A

Se la parete è composta da più materiali, considerando sempre il sistema isolato, a regime la quantità di calore che attraversa la parete 1 è uguale a quella della 2 e a quella della tre, cioè il trasferimento è da considerarsi un flusso.

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I bilanci e la trasmissione del calore

Quindi:T1 Ta Tb T2

Q1 = Q2 = Q3 = Q

T1 – Ta

Q1 = K1 * A *

s1

Ta - Tb

Q2 = K2 * A *

s2

Tb – T2

Q3 = K3 * A * Profilo della temperatura

s3Ricavando le differenze di temperature dalle tre equazioni si ha:

Q * s1 Q * s2 Q * s3

T1 – Ta = ; Ta – Tb = ; Tb – T2 =

K1 * A K2 * A K3 * A

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I bilanci e la trasmissione del calore

Sommando e semplificando viene :

Q s1 s2 s3

T1 – T2 = * + +

A K1 K2 K3

Da cui :

Δ T

Q =

s1 s2 s3

+ +

K1A K2 A K3 A

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I bilanci e la trasmissione del calore

Interessante è il caso di conduzione attraverso una parete cilindrica cava ( tubo).Il tubo ha raggio interno ri , superficie interna Si , e all’esterno: re e Se. La lunghezza del tubo è L.

La superficie interna sarà:Si = 2 π ∙ ri ∙ Le la Se = 2 π ∙ re ∙ L

Si consideri Ti interna > di Te esterna

La superficie interna è minore di quella esterna pertanto è necessario adattare la formula di Fourier. Si può ovviare considerando lo spessore come somma di infinitesimi a cui si associa una differenza estremamente piccola di temperatura.

Il calcolo matematico ci permette di ricavare una formula adattabile al nostro caso:

Δ T

Q= 2 π * K* L re ri re

ln riTi Te

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I bilanci e la trasmissione del calore

LA CONVEZIONE

Il trasferimento del calore avviene a seguito di spostamento di massa

( moti convettivi) . Si può avere convezione naturale e forzata. E come moto può essere laminare o turbolento.

A stretto contatto con la parete è presente un film di liquido per il quale non si ha convezione ma si può considerare presente solo conduzione. Il calore trasferitoQè uguale= A ∙ h ∙ ( t2 – t1 )

h rappresenta il coefficiente di trasferimento per convezione o coefficiente di pellicola. ( W / m2 * K )

Maggiore è la turbolenza maggiore è la quantità di calore trasferito.

A contatto della parete il moto è laminare poi si passa a turbolento.

Il coefficiente h dipende dalle proprietà fisiche del liquido e dalle condizioni operative ( velocità, diametro e superficie)

Il valore dell’h, coefficiente di pellicola, non è di facile reperibilità.

Un metodo è l’analisi dimensionale. Il meccanismo consiste nell’individuare le grandezze che influenzano il fenomeno (temperatura, forma e dimensioni, velocità, cp, viscosità, densità, espansione termica ecc.).

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I bilanci e la trasmissione del calore

Si scrive poi l’equazione come h = funzione di (….). del tipo:

h = Ψ ( Δta * Lb * Ve * Kd * Cpe * ρf * μg * ( β * g ) *h

Cioè il coeff. di pellicola è uguale ad una costante Ψ moltiplicata per le varie grandezze che influenzano il trasferimento, elevata ognuna ad un opportuno esponente.

β dipende dall’aumento di volume per grado Kelvin.

L’analisi dimensionale si basa sul principio di omogeneità tra il primo e il secondo membro.

Ne viene fuori una equazione dove figurano gruppi di quantità dimensionali.

L Calore complessivo scambiato

Numero di Nusselt = Nu = h * =

K Calore trasferito per conduzione.

ρ * vel * L Q. di moto con meccanismo turbolento

Numero di Reynolds = =

μ Quantità di moto con meccanismo viscoso

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I bilanci e la trasmissione del calore

Cp * μ Q. di moto con meccanismo viscoso

Numero di Prandtl= Pr = =

K Calore trasferito per conduzione

β*g*Δt*L3*ρ2 Forza ascensionale

Numero di Grashov = Gr = Re =

μ2 Forza viscosa

Si può scrivere Nu = Ψ * (Re α * Pr β * Gr γ )

Dove Ψ, α, β, γ assumono valori dipendenti dalle caratteristiche del sistema.

Prove sperimentali hanno dimostrato che il numero di Gr non ha influenza nella convezione forzata, mentre Re non ha influenza nella convezione naturale.

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I bilanci e la trasmissione del calore

Convezione naturale

Vediamo alcuni casi :

Pareti solide immerse in aria Δt 1/4

-Cilindri orizzontali h = 3,58 *

D

Δt 1/4

-Piani verticali h = 3,72 *

L (L è l’altezza in cm)

Piani orizzontali faccia superiore: h = 2,149 * Δt 1/4

Piani orizzontali faccia inferiore : h = 1,131 * Δt 1/4

Pareti solide immerse in acqua

Δt 1/4

-Cilindri orizzontali h = 62,87*

D

Δt 1/4

-Piani verticali h = 345,47* ( D, diametro, è in cm)

L

Le temperature sono in gradi C°.

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I bilanci e la trasmissione del calore

Consideriamo il caso della trasmissione del calore attraverso una parete (conduzione) a contatto con due fluidi a temperature diverse. E’ praticamente il caso di una parete di un appartamento a contatto con l’ambiente interno e con l’esterno.

La parete avrà una propria conducibilità K e spessore s.

In regime stazionario il flusso del calore

che attraversa la parete è unico, per cui T1

il calore trasferito dal fluido 1 alla parete

per convezione, quello che attraversa la

parete per conduzione e quello che viene T’

trasferito dalla pare al fluido 2 per Fluido 1 T”

Convezione, sono uguali:

T2

Q = Q1 = Q2 = Q3 parete

Fluido 2

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I bilanci e la trasmissione del calore

  • Analizziamo i tre casi:

  • da fluido 1 a parete : convezione Q = h1 * A * (T1 – T’ )

  • K * A * (T’ – T” )

  • 2) attraverso la parete : conduzione Q =

  • s

  • 3) da parete a fluido 2 : convezione Q = h2 * A * (T” – T2 )

  • Q 1 s 1

  • ∆ T = T1 – T2 = * + +

  • A h1 K h2

  • A contatto della parete si ha moto laminare poi, attraverso una zona di transizione, si ha moto nettamente turbolento.

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I bilanci e la trasmissione del calore

La formula può essere scritta come rapporto tra forza spingente e resistenza.

A * (Ti – Te)

Q =

1 s 1

+ +

hi K he

(Il calore trasmesso fa riferimento all’unità oraria)

Il denominatore rappresenta la resistenza al passaggio del calore attraverso la parete (convezione, conduzione, convezione).

1 s 1 1

Resistenza= + + ; che si indica =

hi K he U

Dove U, coefficiente 1

globale di scambio è =

1 s 1

+ +

hi K he

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I bilanci e la trasmissione del calore

Pertanto la formula che permette il calcolo del calore, che prende il nome di “Equazione globale di scambio” diventa:

Q = A * U * Δt ; dove la Δt è la differenza

( t° fluido 1 - t° fluido 2).

Il coefficiente U ( si misura in W m-2 K-1 ) , viene ottenuto sperimentalmente e ciò evita il calcolo di hi e he, coefficienti di pellicola interno ed esterno, difficili da determinare.

A seguito della presenza di incrostazioni, alla resistenza vista vanno aggiunti dei fattori (di sporcamento) quantificati sperimentalmente:

1 1

= + R1 + R2

UD U

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I bilanci e la trasmissione del calore

Nel caso di un tubo contenente un fluido 1 a contatto all’esterno con un fluido 2, si procede come nel caso precedente considerando però per il tubo la superficie curva.

Il flusso di calore sarà unico:

Q = Q1 = Q2 = Q3

Le formule sono scritte come

rapporto tra forza spingente

e resistenza.

Fluido 2

ri

re

Fluido 1

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I bilanci e la trasmissione del calore

(Ti – T’ )

1) Convezione interna: Q =

1

hi ∙ Ai

(T’ – T” )

2) conduzione parete curva: Q =

De

ln

Di

2 π ∙ K∙ L

(T” – Te )

3) Convezione esterna: Q =

1

he * Ae

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I bilanci e la trasmissione del calore

Ti – Te

Globalmente Q =

De

ln

1 Di 1

+ +

hi * Ai 2 π * K* L he * Ae

Il denominatore rappresenta la resistenza complessiva allo scambio termico.

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I bilanci e la trasmissione del calore

In pratica la resistenza dovuta alla conduzione è trascurabile perché i tubi di uno scambiatore sono di materiale ad alta conducibilità termica. Pertanto la formula relativa alla resistenza risulta funzione solamente dei fenomeni convettivi:

1 1 1

Resistenza = + cioè =

hi * Ai he * Ae U * Ae

Dove U rappresenta il coefficiente globale di scambio

1 1 1

= +

U * Aehi * Ai he * Ae

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I bilanci e la trasmissione del calore

Che con semplici passaggi diventa:

1 Ae 1

= +

U hi * Ai he

Essendoil rapporto delle superfici uguale a quello dei rispettivi diametri, si può scrivere:

1 De 1

= +

U hi * Di he

L’equazione globale di scambio è:Q = A * U * Δ t

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I bilanci e la trasmissione del calore

  • TRASMISSIONE DEL CALORE PERIRRAGGIAMENTO:

  • La trasmissione del calore avviene in assenza di materia interposta, per mezzo di radiazioni elettromagnetiche. Le radiazioni rientrano:

  • nel campo del visibile: tra 0,4 – 0,7 μm di lunghezza d’onda ( 10-6 m)

  • ( frequenza circa 1015 sec-1)

  • nell’infrarosso: da 0,7 μm a 102 mm ( 10-5m)

  • Lunghezza d’onda e frequenza sono legate dalla relazione λ = c / ν ,

  • λ rappresenta la lunghezza d’onda cioè la lunghezza di una oscillazione completa, c è la velocità della luce mentre ν (ni) è la frequenza cioè il numero di oscillazioni nell’unità di tempo.

  • Il tempo di una oscillazione completa prende il nome di periodo T.

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I bilanci e la trasmissione del calore

Emissione ed assorbimento delle radiazioni.

L’energia emessa da un corpo per irraggiamento è legata alla frequenza da; E= h * ν dove h costante di Planck vale 6,6 * 10 -27 , ed è tanto più grande quanto maggiore è la ν e più piccola λ.

Le radiazioni che colpiscono un corpo vengono in parte assorbite, in parte riflesse e in parte attraversano il corpo. Indicando con:

α- fattore di assorbimento come rapporto tra l’Energia

assorbita / l’E totale incidente;

ρ – fattore di riflessione (ro) come rapporto tra l’Energia riflessa

/ l’E totale incidente;

τ – fattore di trasmissione (tau) come rapporto tra l’Energia

trasmessa / l’E totale incidente

Indicando con Ei l’energia incidente sul corpo essa risulterà uguale alla somma delle tre forme di energia: assorbita = α * Ei , energia riflessa = ρ * Ei , energia che attraversa il corpo = τ* Ei

Ei = α * Ei + ρ * Ei + τ * Ei

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I bilanci e la trasmissione del calore

Si definisce corpo nero un sistema capace di assorbire tutta l’energia incidente, Corpo nero– α = 1 mentre ρ = 0 e τ = 0

Corpo riflettente– α = 0 mentre ρ = 1 e τ = 0

Corpo trasparente– α = 0 mentre ρ = 0 e τ = 1

Si definisce corpo opaco un sistema che non si lascia attraversare, per cui vale: α + ρ = 1

Un corpo nero può essere una sfera cava con un foro dal quale entra la radiazione. A seguito delle numerose riflessioni che si hanno all’interno il raggio non può più fuoriuscire.

L’assorbimento in genere varia con la lunghezza d’onda λ della radiazione incidente, questo perché l’energia, da parte della sostanza, non viene assorbita in maniera continua perché, così come si ha per l’emissione, sono fenomeni che avvengono in maniera discontinua ( per pacchetti- Planck) . Un corpo è definito grigio se assorbe in maniera costante al variare della λ .

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I bilanci e la trasmissione del calore

I corpi neri, oltre ad assorbire tutta la radiazione incidente, se messi in condizione di emettere energia, emettono secondo la legge

Q = σ * T4

Legge di Stefan – Boltzmann.

La sigma σ è = 5,672 * 10-8 W/ m2 * K4

oppure = 4,878 * 10-8 Kcal / m2 * h *K4 .

Q rappresenta l’energia totale emessa nell’unità di tempo per unità di superficie ( W / m2 ).

Per ogni temperatura esiste una λ a cui si ha il massimo di emissione.

La relazione tra la Temp.e la lunghezza d’onda è lalegge di Wien:

T * λmax = 2,8 * 10-3 m*K

La quale mostra come la λ di massima emissione diminuisce all’aumentare della T.

Per corpi diversi dal corpo nero l’energia emessa è una frazione di quella calcolata con la legge diStefan-Boltzmann, cioè

Q = ε * σ * T4( ε epsilon )

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I bilanci e la trasmissione del calore

la ε è detto fattore di emissività ed è definito come rapporto:

Energia emessa da un corpo non nero

ε = ed è < 1

Energia emessa da un corpo nero alla stessa temperatura

Trasmissione per irraggiamento tra due pareti piane.

1 2

T1 T2

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I bilanci e la trasmissione del calore

Consideriamo due pareti piane 1 e 2 di uguale superficie, rispettivamente alle temperature T1 e T2.

Se si comportano da corpi neri, l’energia emessa dalla parete 1 è interamente assorbita dalla parete 2 e viceversa.

Q1 = σ *A * T14 ( energia emessa da 1 nell’unità di tempo)

Q2 = σ *A * T24 ( energia emessa da 2 nell’unità di tempo)

Se la T1 è > T2 si avrà trasferimento di calore da 1 a 2 , dato dalla differenza :

Q1 - Q2 = Q netto = σ *A * ( T14 - T24 )dove Q netto è il calore scambiato tra le due pareti nell’unità di tempo. L’espressione vale per i corpi neri. Per i corpi non neri è necessario scrivere:

Q netto = ε * σ *A * ( T14 - T24 )

Vale per un corpo sottoposto a irraggiamento.

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I bilanci e la trasmissione del calore

Si dimostra sperimentalmente che per ogni materiale vale la legge di Kirchhoff che afferma:

per un corpo non nero i coefficienti di emissione ε e di assorbimento α sono uguali.

La legge di Stefan-Boltzmann può essere scritta con una equazione analoga a quelle usate per la conduzione e per la convezione, introducendo un coefficiente per irraggiamento hirr:

Q = hirr. *A * ( T1 - T2 ) ;

ε * σ * ( T14 - T24 )

con hirr. =

T1 - T2

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I bilanci e la trasmissione del calore

FINE

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