第 12 章不确定型决策和概率排序型决策 §2 概率排序型决策的分析方法

第12章不确定型决策和概率排序型决策§2 概率排序型决策的分析方法

本节课的内容、重点与难点 • 主要内容（1）概率排序型决策问题与不确定型、风险型决策问题的区别；（2）对于概率严排序型、概率弱排序型决策问题，决策方案最大（最小）期望收益的计算方法；（3）优势条件和方案选择。 • 目的学习在概率排序条件下进行方案选择的方法。 • 重点（1）概率严排序、概率弱排序下方案最大、最小期望收益的计算方法；（2）进行方案选择的严优势条件、弱优势条件。 • 难点求解方案最大、最小期望收益方法的构造。

不确定型决策和概率排序型决策§2 概率排序型决策的分析方法问题的提出：在P1－P2≥0.15, P2－P3≥0.3, P3－P4≥0的情况下，哪一个方案的期望收益值最高？这一类问题如何求解？本节的主要内容：概率排序型决策问题的基本类型决策方案的最大（最小）期望收益的计算优势条件和方案选择

不确定型决策和概率排序型决策§2 概率排序型决策的分析方法 1、概率排序型决策问题的基本类型（对于具有n个自然状态的决策问题）（1）概率弱排序型决策问题不知道P1，P2，…，Pn的大小，仅知道： P1≥P2 ≥ … ≥ Pn，如何进行方案选择的问题。（2）概率严排序型决策问题不知道P1，P2，…，Pn的大小，知道：P1≥P2 ≥ … ≥ Pn，而且还知道：Pj－Pj＋1 ≥Mj，j＝1，2， …，n，至少一个Mj＞0 ，（Mj是常数）。如何进行方案选择的问题。当所有Mj＝0时，概率弱排序型决策问题转变为概率严排序型决策问题。

已知：Pj－Pj＋1 ≥Mj， Mj ≥0 ，j＝1，2， …，n-1。求：Max（Min）E（X）＝？方案收益值 Q1 Q2··· Qn P1 P2··· Pn A X S1 S2··· Sn （2）不确定型决策和概率排序型决策§2 概率排序型决策的分析方法 2、方案最大（最小）期望收益的计算不难得到下列模型1：（1）（1）模型1等价于模型2

证明：令

对目标函数 则有：所以，模型1等价与模型2。

（2） 不确定型决策和概率排序型决策§2 概率排序型决策的分析方法 2、方案最大（最小）期望收益的计算（2）模型2的最优解与最优值是否存在？不难得到：

不确定型决策和概率排序型决策§2 概率排序型决策的分析方法 2、方案最大（最小）期望收益的计算（3）模型2的最优值是什么？证：模型2的第j个基可行解是：其对应的目标值：模型2的最优值显然是这n个目标值中的最大（最小）者。推论：对于概率弱排序问题，有

不确定型决策和概率排序型决策§2 概率排序型决策的分析方法 2、方案最大（最小）期望收益的计算一个例子：求下列情况下，各方案的最大、最小期望收益： ① 各自然状态概率未知时 ② 仅知道：P1 ≥ P2 ≥ P3 ≥ P4 ③知道：P1－P2≥0.15, P2－P3≥0.3, P3－P4≥0

40 19 41 20 37 24 34 22 24 18 20 15 不确定型决策和概率排序型决策§2 概率排序型决策的分析方法 2、方案最大（最小）期望收益的计算问题求解：

不确定型决策和概率排序型决策§2 概率排序型决策的分析方法 3、优势条件和方案选择（1）优势条件严优势条件：如果E(X1)≥E(X2),则称A1对A2有严优势；弱优势条件：如果Max{E(X1)－E(X2)}> Max{E(X2)－E(X1)},则称 A1对A2有弱优势（2）利用不确定型决策准则进行方案选择注意：概率严排序问题、概率弱排序问题中的“严、弱”与严优势条件、弱优势条件中的“严、弱”是不同的概念。无论概率严排序问题、概率弱排序问题，都存在严优势条件的，也都存在弱优势条件。

不确定型决策和概率排序型决策§2 概率排序型决策的分析方法 3、优势条件和方案选择（1）严优势条件定理：E(X1)≥E(X2),iff,MinE(X1－X2)≥0。（证明作为练习）推论：对概率弱排序问题， E(X1)≥E(X2)，iff，y1j≥y2j，j=1，2，…，n。

期望收益 Max Min 3 －5 7 －2 13 6 14 7 16 1 21 5 不确定型决策和概率排序型决策§2 概率排序型决策的分析方法 3、优势条件和方案选择一个例子：P1－P2≥0.15, P2－P3≥0.3, P3－P4≥0。 -0.8 -3.8 9.05 7.05 8.25 3.35 由最小期望收益一列，可以得出：方案A3被淘汰；又因MaxE(X1－X2)＝－0.8，所以MinE（X2－X1）=0.8>0，A1被淘汰。即：A2具有最高的期望收益值。

（2）弱优势条件：设方案A1的收益为X1，方案A2的收益为X2，方案D1的收益为B1＝X1–X2，方案 D2的收益为B2＝X2–X1，如果即则称方案A1 对于方案A2具有弱优势。不确定型决策和概率排序型决策§2 概率排序型决策的分析方法 3、优势条件和方案选择

3、优势条件和方案选择 弱排序 Max Min 3 －5 7 －2 13 6 14 7 16 1 21 5 不确定型决策和概率排序型决策§2 概率排序型决策的分析方法（2）弱优势条件：续前例：设P1 ≥ P2≥P3≥P4。 • -5 • 6 • 21 1 • 由严优势条件不难得出：E(A2)>E(A3) ，因此，可以淘汰掉A3。 • 由弱优势条件可以得出：Max(E(X1)-E(X2))=7> Max(E(X2)-E(X1))=5，即A1对A2有弱优势。

不确定型决策和概率排序型决策§2 概率排序型决策的分析方法 3、优势条件和方案选择（2）弱优势条件：注意：弱优势条件不具有可传递性。即可能出现这样的情况：方案A对方案B有弱优势，方案B对方案C有弱优势，同时，方案C对方案A也具有弱优势。见下例。已知：P(S1) ≥ P(S2)≥P(S3)。在这种情况下，需要借助于其它决策准则进行方案选择。

不确定型决策和概率排序型决策§2 概率排序型决策的分析方法 3、优势条件和方案选择（3）其它方案选择准则：当最后留下多个方案时，可借助于不确定型决策的处理方法确定最佳方案。

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