1 / 41

微積分

微積分. Chapter6     積分技巧. 積分技巧. 6.1 分部積分 6.2 三角積分及代換 6.3 部分分式 6.4 積分表及數學運算軟體的應用 6.5 近似積分 6.6 瑕積分. 6.1 積分技巧. 1. 微積分 , 6.1, 頁 6-2. 2. 微積分 , 6.1, 頁 6-2. 6. 微積分 , 6.1, 頁 6-5. 6.2 三角積分及代換. 如何積分 sin x 和 cos x 的乘方? 從例 1 至 4 可以歸納出下列的方法:. 微積分 , 6.2, 頁 6-9.

neona
Download Presentation

微積分

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 微積分 Chapter6     積分技巧

  2. 積分技巧 • 6.1 分部積分 • 6.2 三角積分及代換 • 6.3 部分分式 • 6.4 積分表及數學運算軟體的應用 • 6.5 近似積分 • 6.6 瑕積分

  3. 6.1 積分技巧 • 1. 微積分, 6.1, 頁6-2

  4. 2. 微積分, 6.1, 頁6-2

  5. 6. 微積分, 6.1, 頁6-5

  6. 6.2 三角積分及代換 • 如何積分sin x和cos x的乘方? 從例1至4可以歸納出下列的方法: 微積分, 6.2, 頁6-9

  7. (i) 如果cos x是奇數次方,留下一個cos x,其他用cos2x=1-sin2x改寫成sin x的函數。接著用u=sin x代換。 微積分, 6.2, 頁6-9

  8. (ii) 如果sin x是奇數次方,留下一個sin x,其他用sin2x=1-cos2x改寫成cos x的函數。接著用u=cos x代換。 微積分, 6.2, 頁6-9

  9. (iii) 如果sin x和cos x都是偶數次,可以用半角公式: 有時用恆等式 也會有幫助。 微積分, 6.2, 頁6-9

  10. 如何積分tan x和sec x的乘方? 從例5至6可以處理下列二種情形: 微積分, 6.2, 頁6-10

  11. (i) 如果sec x是偶數次方,留下一個sec2x,其他用sec2x=1+tan2x,改寫成tan x的函數。接著用u=tan x代換。 微積分, 6.2, 頁6-10

  12. (ii) 如果tan x是奇數次方,留下一個sec x tan x,其他用tan2x=sec2x - 1改寫成sec x的函數。接著用u=sec x代換。 微積分, 6.2, 頁6-10

  13. 微積分, 6.2, 頁6-11

  14. 1. 微積分, 6.2, 頁6-11

  15.  函數形式       三角代換 三角恆等式 • 三角函數代換表 微積分, 6.2, 頁6-13

  16. 6.3 部分分式 • 9. 微積分, 6.3 , 頁6-22

  17. 6.5 近似積分 圖1 微積分, 6.3 , 頁6-22

  18. 圖1 微積分, 6.5 , 頁6-32

  19. 圖1 微積分, 6.5 , 頁6-32

  20. 把[a, b]區間分成等長的n個子區間,那麼積分會近似於 其中Δx=(b-a) / n是子區間的長度,而xi*的第i個區間[xi-1, xi]中的任一點。 微積分, 6.5 , 頁6-32

  21. 如果取xi*為左端點 微積分, 6.5 , 頁6-32

  22. 如果取xi*為右端點 微積分, 6.5 , 頁6-32

  23. 中點法則 其中 而 的中點 微積分, 6.5 , 頁6-32

  24. 梯形法則 其中 而 微積分, 6.5 , 頁6-33

  25. 微積分, 6.5 , 頁6-33

  26. 微積分, 6.5 , 頁6-34

  27. 誤差範圍 假設在a ≦ x ≦b時, │f ” (x)│ ≦K。如果ET和EM分別代表中點法則和梯則的誤差,那麼它們會滿足 和 微積分, 6.5 , 頁6-35

  28. 微積分, 6.5 , 頁6-37

  29. 微積分, 6.5 , 頁6-37

  30. 辛普森法(Simpson’s rule) 其中n是偶數而 微積分, 6.5 , 頁6-38

  31. 辛普森法的誤差範圍 假設在a ≦ x ≦b時 │f (4) (x)│ ≦K,那用辛普森法到的誤差ES會滿足 微積分, 6.5 , 頁6-40

  32. 6.6 瑕積分 • 在定義積分 時,我們考慮定義在有限區間[a,b]上的函數 f。在這一節中,我們把定積分推廣到更一般的情形,這時 f 可以定義在無窮的區間上,或者在區間中有趨近於無窮大的不連續點。我們稱這二種情形的積分為瑕積分。 微積分, 6.6 , 頁6-43

  33. 第1型瑕積分的定義 (a)如果對任意t ≧ a積分 都會存在,而且它在t→∞時的極限也會存在(有限值),那我們就定義積分 微積分, 6.5 , 頁6-40

  34. 第1型瑕積分的定義 (b)如果對任意t ≦b積分 都會存在,而且它在t→∞時的極限也會存在(有限值),那我們就定義積分 在極限存在的情況下,我們就說瑕積分 或 是收斂(convergent)的,極限不存在時就說這積分是發散(divergent)的。 微積分, 6.5 , 頁6-40

  35. 第1型瑕積分的定義 (c)如果對任意 和 都收斂,我們就定義 這裡的 a可以取任意的實數 微積分, 6.5 , 頁6-40

  36. 2.在p >1時是收斂的,而在p≦1時是發散的。 微積分, 6.6 , 頁6-47

  37. ò = ò b t f ( x ) dx lim f ( x ) dx a a t→b- • 第2型瑕積分的定義 (a)如果 f 在[a, b)連續但在b點不連續,而且極限 存在,我們就定義積分 微積分, 6.6 , 頁6-48

  38. ò = ò b b f ( x ) dx lim f ( x ) dx a t t→a+ • 第2型瑕積分的定義 (b)如果 f 在[a, b)連續但在a點不連續,而且極限 存在,我們就定義積分 在極限存在的情況下,我們就說瑕積分 是收斂(convergent)的,極限不存在時就說這積分是發散(divergent)的。 微積分, 6.6 , 頁6-48

  39. c b ò f ò ( x ) dx f ( x ) dx a c • 第2型瑕積分的定義 (c)如果 f 在 a 和 b 之間有不連續點 c,而且 和 都收斂,我們就定義 微積分, 6.6 , 頁6-48

  40. dx ] 3 = - = - = 3 ò ln x 1 ln 2 ln 1 ln 2 0 - 0 x 1 • 錯誤的結果: 這是因為瑕積分一定要用取極限的方式算出來。 微積分, 6.6 , 頁6-49

  41. 比較定理 假設連續函數 f 和 g 在x ≧ a時滿足f (x)≧ g (x)≧0。 (a)如果 是收斂的,那麼 也 會收斂 (b)如果 是發散的,那麼 也 會發散 微積分, 6.6 , 頁6-50

More Related