Kapitel 3: TAYLOR-REIHEN

1. Kapitel 3: TAYLOR-REIHEN von Patricia, Anita, Lisa, Curdin & Mario 5Gm

2. TAYLOR-REIHEN: Übersicht -1- SEITEN: - • Einführung zu den Taylor-Reihen am einem Beispiel • Potenzreihenentwicklung zweier Funktionen: • Mac Laurinsche Reihe • Entwicklung zur Definition & Anmerkungen • Beispiel 1 • Beispiel 2 • Beispiel 3 • Taylorsche Reihe • Definition & Anmerkungen • Beispiel • Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen • Beispiel übers ganze Kapitel 3 2 - 7 3, 4 & 5 6 7 8 9 - 11 9 & 10 11 12 - 14 -

3. TAYLOR-REIHEN: Einführung -2- Einleitung: • erklären wie man eine Funktion in eine Potenzreihe • „entwickelt“ • durch Reihenentwicklung eine Nährungsfunktion • Potenzreihenentwicklung: ein brauchbares Hilfsmittel Anwendung bei folgenden Problemen: • Annäherung von f(x) durch Polynomfunktion • Berechnung von Funktionswerten • Herleitung von Nährungsformeln • Integration einer Funktion

4. TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -3- Mac Laurinsche Reihe: Annahmen: 1. Die Entwicklung der Funktion f(x) vom folgenden Typ ist grundsätzlich möglich und eindeutig. 2. f(x) ist in der Umgebung von x=0 beliebig oft differenzier- bar und die Ableitungswerte f(0), f`(0), f``(0),... können berechnet werden. Zu zeigen ist, dass unter diesen Voraussetzungen die Koeffizienten a1, a2, a3,... eindeutig durch die Funktions- und Ableitungswerte f(0), f`(0), f``(0),... bestimmt sind.

5. TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -4- Mac Laurinsche Reihe: 1. Berechnung der ersten Ableitungen • An der Stelle x=0 gilt dann: 2. Ausklammern der Koeffizienten 3. Allgemeiner Bildungssatz • Dadurch sind die Koeffizienten von f(x) an der Stelle x=0 eindeutig bestimmt. Unter den ganannten Voraussetzungen ergibt sich die Formel:

6. TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -5- Mac Laurinsche Reihe: Anmerkungen: 1. Die Funktion muss um die Entwicklungsstelle x=0 belibig oft differenzierbar sein. 2. Potenzreihenentwicklung um den Nullpunkt 3. Innerhalb des Konvergenzradius wird eine Funktion durch die Mac Laurinsche Reihe dargestellt. 4. - Symetrieeigenschaften ablesbar - Reihenentwicklung gerader Funktion, daraus folgt: gerade Potenzen - Reihenentwicklung ungerader Funktion, daraus folgt: ungerade Potenzen

7. TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -6- Mac Laurinsche Reihe: Beispiele Beispiel 1.a: Mac Laurinsche Reihe von f(x)=ex Beispiel 1.b: Mac Laurinsche Reihe von f(x)=e-x

8. TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -7- Mac Laurinsche Reihe: Beispiele Beispiel 2: Mac Laurinsche Reihe von f(x)=sin(x) und f(x)=cosx Entwicklung der Sinusfunktion f(x)=sinx in eine Mac Laurinsche Reihe:

9. TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -8- Mac Laurinsche Reihe: Beispiele Beispiel 3: Mac Laurinsche Reihe von ex/(1-x)

10. TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -9- Taylorsche Reihe: - Die Mac Laurinsche Reihe ist ein Sonderfall der taylorschen Reihe. • Funktion an beliebiger Stelle x0 entwickeln, wenn die gleichen • Vorraussetzungen wie bei der Mac Laurinschen Reihe gegeben sind. Die Taylorsche Reihe ist somit von folgender Form:

11. TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -10- Taylorsche Reihe: 1. Die Taylorsche Reihe geht in die Mac Laurinsche Reihe über für den Nullpunkt. Anmerkungen: 2. Sie konvergiert für jedes x aus |x-x0|< r

12. TAYLOR-REIHEN: Potenzreihenentwicklung einer Funktion -11- Taylorsche Reihe: Beispiele Beispiel: Die Entwicklung der logarythmischen Funktion f(x)=lnx Zusammengefasste Schreibweise:

13. TAYLOR-REIHEN: Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen -12-

14. TAYLOR-REIHEN: Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen -13-

15. TAYLOR-REIHEN: Tabelle wichtiger Potenzreihenentwicklungen -14-

16. THE END