統計学 11/08 （木）

1. 統計学11/08（木） 鈴木智也

2. 今日の講義 第１部　記述統計：データの特性を記述 第２部　確率論：推測統計への橋渡し 確率論入門 確率変数と確率分布　←ここ！ 第３部　推測統計：データから全体像を推測

3. 復習：確率とは • ある事象が起こるか否か分らない時、その結果が起こる可能性を示す測度のこと。 事象 Aの確率を P(A)と表すとすると、 ①確率 P(A) は必ず非負である： P(A)≥0 ②必ず起こる事象の確率は１である。 例：サイコロを振って３の目が出る確率は？ ⇒目の出方は６通り。３の目が出るのは、そのうちの一つ。⇒1/6の確率。

4. キーワード①：確率変数とは • 取り得る値（実現値）が複数あり、それぞれの値を取る確率が決まっている変数。 例：サイコロを振って出る目の数値（X） 実現値（xi）：１，２，３，４，５，６ どの値を取る確率も1/6。 ☆確率変数 X が xi という値を取る確率をP(X=xi) または、単に P(xi) と表記する。

5. キーワード②：確率分布とは • 確率変数 Xが取り得る全ての実現値について、対応する確率の散らばりのこと。 • それを表すものが、確率分布表。 （例）サイコロで出る目の値の確率分布表

6. 確率変数を記述する① ☆平均値（「期待値」と呼ぶ） 確率変数 Xが、平均して、どの位の値を取るものと期待できるだろうか？ ↑確率で加重して平均を取っている。 注： E は期待（Expectation）を意味する。

7. 確率変数を記述する② ☆分散 確率変数 Xの実現値の散らばり具合を表す。 ↑ここでも、確率で加重している。 注： Vは分散（Variance）を表す。

8. 確率変数を記述する③ ☆標準偏差 注）表記上の慣習（ギリシャ文字） • μ（ミュー小）：アルファベットのｍに対応 ⇒平均（mean）を表す。 • σ（シグマ小）：アルファベットのｓに対応 ⇒標準偏差（standard deviation）を表す。

9. 経済分析での確率変数の例 • 株式投資の収益率 株価は変動する⇒投資収益率は確率変数 Q：もし投資収益率の確率分布が次のようならば、収益率の期待値はいくつ？ ⇒確率分布が未知の時は、データから相対頻度を算出し、それで代用する。

10. 連続型確率変数 • ここまでの確率変数 Xはとびとびの値だけを取り得ると仮定した。←離散型確率変数 • しかし、ある範囲内でどんな値でも取り得る確率変数もある。←連続型確率変数 Q：連続型確率変数の例を考えてみよう。

11. 連続型と離散型の違い ☆離散型の場合 ・X の取る値自体に確率が対応。 ・確率関数 P(X=xi) を定義できる。 ☆連続型の場合 ・X の取り得る値は無限にあり、一点の値について確率が０ではないとすると、「確率の総和が１である」という公理に矛盾。⇒『範囲』について、確率を考える。

12. 連続型確率変数の場合の確率 • 連続型確率変数の場合、確率密度関数を導入する： f(x) • Xが aから bまでの値を取る確率は、 • 注：積分（∫）は総和（∑）に対応している。 Q：図示して考えてみよ。

13. 連続型確率変数の記述 Xが －∞ から ∞ までの値を取るならば、 ☆平均（「期待値」と呼ぶ） ☆分散 ☆標準偏差

14. 代表的な確率分布（正規分布） ☆正規分布 (Normal Distribution) ・正規分布は、平均値μと分散σ2によって完全に決定される：N(μ, σ2)と表記する。 ・確率密度関数は（覚えなくてもよいが） ・図示すると、釣鐘型をしていて、平均値に関して左右対称である。

15. 標準正規分布 ・N(μ, σ2) に従う変数 Xは、N(0, 1)に従う標準化変量 Z=(X－μ)/σに変換できる。 ・N(0, 1)の分布を「標準正規分布」と呼ぶ。 重要：正規分布は統計学で最も基本的な確率分布であり、この講義後半で集中的に使う ｔ-分布も正規分布の派生である。

16. 正規分布の重要な性質 • 確率変数XがN（μ，σ2）に従うとき、 ☆P（μ－1.96σ≦X≦μ＋1.96σ）=0.95 ⇒Xは95％の確率で、平均値から±1.96σの範囲内に収まる値を取る。 （類）　P （μ－2σ≦X≦μ＋2σ）=0.954 （類）　P（ μ－σ≦X≦μ＋σ）=0.68