3. Ergänzung: Nichtlineare Systeme und Chaos

1. Zustandsvektordes Systems: Phasenraum Beispiele: • Hamiltonsche Systeme: • Temperatur, Druck, Strom, Spannung,  • Bevölkerungszahlen • Aktiennotierungen • Herz- und Atemfrequenz, Hirnströme 3. Ergänzung: Nichtlineare Systeme und Chaos 3.1. Dynamische Systeme Literatur: z.B. R.C. Hilborn, ,,Chaos and Nonlinear Dynamics”, Oxford University Press (1994)

2. Beispiele: • Massen, Federkonstanten, Reibungskoeffizienten • Sensitivität auf Nahrungsangebot, Wetterschwankungen, ... • Sensitivität auf Ölpreise, politische Krisen, ... • Stärke der äußeren Nervenreize, ... Stochastische Systeme: Aus dem Zustandvektor zur Zeit t  0 folgt die Wahrscheinlichkeits-verteilung des Zustandvektors zu allen Zeiten t > 0: Kontrollparameterdes Systems:  Parameter zur Steuerung der Systemdynamik

3. Störung durch Rauschen: • streng deterministisch: Das System ist unempfindlich auf Rauschen: • schwach deterministisch (potentiell chaotisch): andernfalls Beispiel: x x       0  > 0 Deterministische Systeme:Aus dem Zustandvektor zur Zeit t  0 folgt der Zustandvektors zu allen Zeiten t > 0:

4. Kontinuierliche Systeme:„Zeit”-Variable t ℝ kontinuierlich Wichtigste Klasse: i.a. nicht-linear Autonome Systeme:Dynamik ohne explizite Zeitabhängigkeit z.B. Diskrete Systeme:„Zeit”-Variable t  kℕ0diskret (Zählindex) Wichtigste Klasse:

5. System hat „natürliche” Periode T • (z.B. Periode einer äußeren Anregung) • Sukzessive Durchstoßpunkte durch (n1)-dimensionale Hyperebene im Phasenraum  Poincaré-Schnitt • z.B.: tk sukzessive Zeitpunkte mit Poincaré-Abbildung: Diskretisierung kontinuierlicher Systeme

6. Kontrollparameter: Zustandsvektor: mit Systemgleichung: Beispiel 1:Harmonischer Oszillator Der harmonische Oszillator ist als zweidimensionales kontinuierliches, lineares und autonomes System darstellbar

7. Kontrollparameter: Zustandsvektor: mit Systemgleichung: Beispiel 2: Getriebenes dissipatives Pendel Das getriebene dissipative Pendel ist als zweidimensionales kontinuierliches, nicht-lineares und nicht-autonomes System darstellbar

8. Kontrollparameter: Zustandsvektor: Systemgleichung: Beispiel 3:Getriebenes dissipatives Pendel (Alternative) Das getriebene dissipative Pendel ist als dreidimensionales kontinuierliches, nicht-lineares und autonomes System darstellbar

9. Zustandsvektor (1-dim):  Populationszahl einer biologischen Spezies in der k-ten Generation (k  0,1,) Kontrollparameter: Vermehrungsfaktor Dämpfungsparameter für Futtermangel Systemgleichung: Umbenennung: Logistische Gleichung (Verhulst-Gleichung) Beispiel 4:Populationsdynamik Die logistische Gleichung beschreibt ein eindimensionales diskretes, nicht-lineares System

10. Fixpunkte:Ein Zustandsvektor heißt Fixpunkt wenn gilt: kontinuierliches System: bzw. äquivalent: diskretes System: bzw. äquivalent: 3.2. Spezielle Phasenraumgebiete

11. Attraktoren stabileFixpunkte i) „Kriechfall” ii) „Schwingfall” Fixpunkt Fixpunkt exponentielles Verhalten oszillatorisches Verhalten • Repulsoren instabileFixpunkte i) „Kriechfall” ii) „Schwingfall” Fixpunkt Fixpunkt exponentielles Verhalten oszillatorisches Verhalten

12. Sattelpunkte semistabileFixpunkte Fixpunkt • Grenzzyklen/Grenztori (bei nicht-linearen Systemen) 2-dim. Phasenraum n-dimensionaler Phasenraum instabilerFixpunkt Grenzzyklus (n1)-dimensionaler Grenztorus Poincaré-Schnitte:

13. Seltsame Attraktoren: stabile aber irreguläre (chaotische) Bewegung im Attraktionsgebiet. Poincaré-Schnitte sind verschlungene selbstähnliche Figuren nicht-ganzzahliger Dimension (Fraktale). Beispiel: Lorenz-Attraktor (3-dim.) 2-dimensionale Projektionen Experimentelle Realisierung dieses Systems  Abschnitt 3.3.6.

14. Poincaré-Schnitte seltsamer Attraktoren Ikeda-System Getriebenes Pendel mit Dämpfung

15. Selbstähnlichkeit des Poincaré-Schnitts des Henon-Attraktors

16. ⅓ 1 C5 C4 C1 C2 C3  1 Koch-Schneeflocke Dimension: Überdeckung von Ck mit Nk Kästchen 1-dimensionale Figur: 2-dimensionale Figur: d-dimensionale Figur: Koch-Kurven: Einschub:Fraktale und gebrochene Dimensionen Beispiel: Koch-Kurven: Ersetze durch ad Infinitum

17. Diskrete Systeme: Fixpunkt, d.h. Jacobi-Matrix zu : Theorem: Ein Fixpunkt ist bzgl. der Richtung der Hauptachse i stabil, falls i  1, und instabil, falls i  1. Ein Fixpunkt ist insgesamt genau dann stabil, wenn gilt: Bemerkung: Im i  0  exponentielles Verhalten Im i  0  oszillatorisches Verhalten Beweis: Tafel 3.3. Stabilität von Fixpunkten Eigenwerte von A: 1 , 2 ,  , n ℂ zu Hauptachsen 1,...,n o.B.d.A.: i  0 (i  0 nur für singuläre Wahl von Kontrollparametern)

18. Kontinuierliche Systeme: Fixpunkt, d.h. Jacobi-Matrix zu : Theorem: Ein Fixpunkt ist bzgl. der Richtung der Hauptachse i stabil, falls Rei0, und instabil, falls Rei0. Ein Fixpunkt ist insgesamt genau dann stabil, wenn gilt: Bemerkung: Im i  0  exponentielles Verhalten Im i  0  oszillatorisches Verhalten Beweis: Tafel Eigenwerte von A: 1 , 2 ,  , n ℂ zu Hauptachsen 1,...,n o.B.d.A.: i  0 (i  0 nur für singuläre Wahl von Kontrollparametern)

19. nicht chaotisch  Grenztorus/Fixpunkt Lyapunov-Exponent (diskreter Fall) chaotisch Lyapunov-Exponent (kontinuierl. Fall) Die Trajektorie istchaotisch, wenn der maximale, entlang der Trajektorie gemittelte, Lyapunov-Exponent 0 Nachbartrajektorie noch nicht ,,zurückgefaltet”  ,,klein” Begründung: Tafel 3.4. Chaotische Trajektorien Betrachte Trajektorien, beschränkt auf endliche Bereiche (um Fixpkte.) Eigenwerte:

20. diskret Wähle möglichst kleines „Zeit“-Intervall kontinuierlich Hardware: Rauscheinfluss noch klein Software: Rundungsfehler noch klein und möglichst kleinen Abstand d0im Phasenraum. d2 d3 d1 Anfangsauslenkung nicht entlang einer Hauptachse d0 d0 d0 t02 t0 t03 Referenz-Trajektorie d0 t0 Praktische Berechnung des maximalen mittleren Lyapunov-Exponenten: 

21. Identität f(x)x x1F(x0) x0 x1 Fixpunkt 3.5. Die Logistische Gleichung Anschauliches Beispiel (1): in Einheiten von a x Fixpunkt ist stabil (Attraktor)

22. Identität f(x)x Fixpunkt Attraktor x0 Fixpunkt Repulsor Anschauliches Beispiel (2): in Einheiten von a x

23. Attraktor x0 Repulsor Anschauliches Beispiel (3): Identität f(x)x in Einheiten von a x

24. Repulsor Grenzzyklus Periode 2 x0 Repulsor Anschauliches Beispiel (4): Identität f(x)x in Einheiten von a x

25. Repulsor Grenzzyklus Periode 4 Repulsor Anschauliches Beispiel (5): Identität f(x)x in Einheiten von a x

26. Repulsor Repulsor Anschauliches Beispiel (6): Identität f(x)x in Einheiten von a Chaotische Trajektorie (Seltsamer Attraktor) x

27. Repulsor Grenzzyklus Periode 5 Repulsor Anschauliches Beispiel (7): Identität f(x)x in Einheiten von a x

28. Chaos 1.0 Bifurkation xk Hopf-Bifurkation Periode 2 Periode 4 0.5 neuer stabiler Fixpunkt a2 a1 Fixpunkt 0 stabil a2 Fixpunkt 0 instabil a3 stabile Inseln 0 1 a 2 3 4 Zusammenfassung der experimentellen Resultate: Feigenbaum-Diagramm

29. a1 a2 a3 Feigenbaumkonstante a Theorem (Universalität des Chaos):Für glatte Systemfunktionen ist  unabhängig vom System und von der Wahl des variierten Kontroll-parameters. Die Feigenbaumkonstante ist transzendent und hat den Wert: Dies gilt sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche Systeme. Eigenschaften: • Feigenbaumdiagramme  Fraktale • Definition:

30. Fixpunkte: ex. nur für a  1 Stabilität: 0  a  1 stabil-------- 1  a  3 instabil stabil 3  a  4 instabil instabil Formale Untersuchung der logistischen Gleichung:

31. Nachrechnen! • Fixpunkt x • Bifurkationspunkt: F(x)  1 • Wendepunkt in iterierter Systemfkt. • 2 neue stabile Fixpunkte in F∘F mit gleicher Steigung in F∘F entstehen. • F bildet diese aufeinander ab •  Periode 2 yx 2 neue stabile Fixpunkte F∘F F∘F yx yx Wendepunkt a  3,2 a  3,0 x x Bifurkationspunkt a  3  Betrachte iterierte Systemfkt. F∘F: F∘F stabil a  2,8 x labil instabil

32. Zweite Bifurkation: 4 neue stabile Fixpunkte entstehen in F∘F∘F∘F  Periode 4 Wendepunkte y  x F∘F∘F∘F instabil labil labil x  Beispiel für einen Weg ins Chaos über eine unendliche Bifurkationsfolge. Es gibt noch viele andere Wege!  etc.

33. nicht-linearer Schwingkreis L R U C x2 v    Rm Kontrollparameter U0 Übungsaufgabe: Zeige Cm Um Bifurkationsweg ins Chaos: Eine experimentelle Realisierung (Chaos-Generator)

34. Umformulierung auf Systemgleichung: L R U C x2  v   Rm U0 Cm Um Dreidimensionales, nicht-lineares, autonomes, kontinuierliches System

35. Labormessungen (T.L. 1998) 7 7 n-te Bifurkation 6 6 5 5  4 4 3 3 hohe Messgenauigkeit ,,hohe” Bifurkationsordnung 2 2 1 2 3 n 1 2 3 n

36. Konvektionszellen T2 X  Strömungsgeschwindigkeit Y Z t Zeit Ra  Rayleigh Zahl T1>T2 Flüssigkeit X , Y , Z , t Zahlen Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichung (nach Lorenz)  T T T T Typische Werte der Kontrollparameter: ,,Rayleigh-Zahl” Standard ,,Prandtl-Zahl” 3.6. Der Lorenz-Attraktor

37. Voraussetzung: p > b  1 Kritische Rayleigh-Zahl: XFYF instabil stabil Einzugsbereiche der stabilen Fixpunkte schrunpfen Chaos stabil instabil 0 r rk 1 0 Wärmeleitung Konvektion Turbulenz Fixpunkte und Stabilitätsanalyse (Nachrechnen!) Grenzzyklen, Periodenverdopplung mit sinkendem r bei großen r≫rk

38. Standardwerte :Zeitkonstante (RC von Integratoren) s1, s2:Skalierungsfaktoren Elektronische Realisierung des Lorenz-Systems (Analoge Rechenschaltung mit Operationsverstärkern) Umrechnung auf physikalische Größen Mathematik Physik

39. Standardwerte Ux(0) Ux 1  1 1 Uy(0) Uy 0,1  1 10 10 0,267 Uz(0) Uz 1  1 10

40.  I U  Ua I U • Unendliche Verstärkung: mit • d.h. Uaendlich (nicht gesättigt)  • Leistungsfreiheit: 3.7. Anhang: Über Operationsverstärker( OpAmp) 3.7.1. Der ideale Operationsverstärker U, U, Ua gemessen gegen Erde U, U, Ua U0, U0 U0 Versorgungsspannung, typisch 15V

41. ZP IP I1 U1 Z1 I0 Ua  U0 I2 U2 Z2  I0 In Un Zn Frequenzraum (Wechselstrom): Zeit-Darstellung: 3.7.2. Gegenkopplung 

42. RP IP I1 I0 U1 R1 Ua  I2 U0 U2 R2  I0 In Un Rn  Schaltsymbol U1 c1 Ua U2 c2 Un cn a) Addierer

43. C IP I1 U1 R1 I0 Ua  I2 U0 U2 R2  I0 In Un Rn Schaltsymbol U1 r1 Ua U2  r2 Un rn b) Integrierer   Zeitkonstante (beliebig)

44. Ua(0) R R C I1 U1 R1 I0 IP  Ua U0 I2 U2 R2  I0 In Un Rn für Initialisierungszeiten Ua(0) U1 r1 r2 U2 Ua  rn Un Initialisierung: t≫RC  stationär, 0  symmetrischer Addierer Physikalisch: Initialisierung bedeutet Aufladung des Kondensators mit Q  CUa(0)

45. Ua  Ui U0  Anwendung:Koeffizientengeber (belastungsunabhängiger Spannungteiler) Ui Ua  RRx R  Rx Schaltzeichen Ui Ua c c) Spannungsfolger

46. Ui  Ua RRx R  Rx RL UL Schaltung ohne Spannungsfolger: Ui RRx R Rx RL UL abhängig von RL ( lastabhängig) Belasteter Koeffizientengeber: unabhängig von RL

47. Beispiel 1:Vier-Quadranten-Multiplizierer oft: U1 Ua k U2 Aus Multiplizierern ableitbar: Quadrierer, Dividierer, Radizierer Beispiel 2:Funktionsgeber Ua f Ue Typische Spezialbausteine: f  abs, sign, sin, cos, tan, log, exp, ... 3.7.3. Nichtlineare Bauelemente basierend auf OpAmps Kombiniere OP-Verstärker mit Dioden, Transistoren, ... ( nicht-lineare Strom-Spannungs-Kennlinie)  unbeschränkte Möglichkeiten

48. Wahl der Zeitkonstante: Zeit in Einheiten von :  Einsetzen  Zahl ohne Einheiten U, U, U Dimension einer Spannung 3.7.4. Rechenschaltung für gedämpfte Schwingungen Problem: Gegeben:

49. U  1 U0  1 10 Realisierung als Rechenschaltung:

50.   U U 1 1 1 10 darstellbar mit dieser Schaltung Schwingfall aperiodischer Grenzfall Kriechfall Die elektronische Differentialgleichung: