1.DESARROLLO DE UN MODELO MATEMÁTICO

1. MODELAMIENTO MATEMÁTICO DE PROCESOS INDUSTRIALES 1.DESARROLLO DE UN MODELO MATEMÁTICO Para investigar como varía el comportamiento de un proceso químico ante cambios en los disturbios externos y las variables manipuladas y estar en la capacidad de diseñar el controlador apropiado, puede usarse dos enfoques: a.Enfoque experimental. Este enfoque se aplica cuando el equipo físico del proceso industrial esta disponible. El método consiste en cambiar deliberadamente las variables de entrada del proceso (disturbios externos y variables manipuladas) y medir cuidadosamente las variables de salida (temperatura, presión, flujo, etc.) para observar como varían estas con el tiempo. 1

2. b.Enfoque teórico. Se aplica generalmente cuando se requiere diseñar un controlador para un proceso industrial cuya planta aún no ha sido construida. La representación del proceso se hace mediante ecuaciones matemáticas (algebraicas y ó diferenciales), cuya solución permite conocer el comportamiento dinámico del proceso. 1.1 Necesidad del modelamiento matemático para el control de procesos: Para diseñar un sistema de control es necesario conocer la dinámica de la planta ante cambios en las variables de entrada y perturbaciones externas. Si la planta no esta construida entonces para conocer su dinámica es necesario tener el modelo matemático de la planta y en el caso de que la planta física exista la aplicación del método experimental es muy costosa por lo que también es útil tener el modelo matemático de la planta. 2

3. Generalmente lo que el diseñador necesita es una descripción sencilla de cómo reacciona el proceso ante cambios en la variable de entrada y esto es lo que el modelo matemático provee al diseñador del sistema de control. Ejemplo 1.1. Diseño de un controlador de Acción precalculada para un proceso. Figura 1.1 Configuración de un control de Acción Precalculada. 3

4. Con el objetivo de mantener la salida en un nivel deseado, es necesario cambiar el valor de la variable manipulada de tal forma que elimine el impacto que el disturbio podría ocasionar en la salida. En que cantidad habrá que variar la variable manipulada para eliminar el efecto del disturbio?. Salida = Salida = Las relaciones matemáticas , son previstas por el modelo matemático del proceso. Si queremos que la salida permanezca sin variación, la variable manipulada debe cumplir la siguiente relación: 4

5. Aquí puede verse la importancia del modelo matemático en el diseño de sistemas de control de acción precalculada (feedforward). Por otro lado tan importante como tener el modelo matemático es que el modelo sea preciso, pues de lo contrario será imposible obtener diseños eficientes de los sistemas de control de acción precalculada. • 1.2 Variables y ecuaciones de estado de un proceso: • Con el objetivo de caracterizar un proceso (tanque de calor, reactor, columna de destilación etc.) se requiere lo siguiente: • Un conjunto de variables, las cuales describen el estado natural del sistema. • Un conjunto de ecuaciones que relacionen las variables mencionadas y que describan como el estado natural del sistema cambia con el tiempo. 5

6. Las ecuaciones que relacionan las variables de estado (variables dependientes) a las variables independientes se derivan aplicando el principio de conservación y se denominan ecuaciones de estado. El principio de conservación de una cantidad de estado S, establece que: 6

7. La cantidad S puede ser cualquiera de las siguientes cantidades fundamentales: • Masa Total • Masa de los componentes individuales • Energía Total Figura 1.2 un sistema general y su interacción con el externo. 7

8. Las ecuaciones son: Balance total de masa: Balance de masa en el componente A: Balance total de energía: 8

9. Por convención se toma como positiva la cantidad si fluye entrando al sistema y negativa si sale del sistema. Las ecuaciones de estado con las variables de estado asociadas constituyen el modelo matemático del proceso, el cual representa el comportamiento estático o dinámico del proceso. Ejemplo 1.2 Ecuaciones y variables de estado para el tanque con calentador y agitador. Consideremos el tanque con calentador y agitador del ejemplo 1.1, figura 1.2. las cantidades fundamentales dadas como datos son: a. La masa total del líquido en el tanque. b. La energía total del material en el tanque. Las variables de estado para el tanque calentador son: 9

10. La masa total en el tanque: Masa total = Donde p es la densidad del liquido, Vel volumen del liquido, A la sección horizontal del área del tanque, y h la altura del nivel del liquido. La energía total del tanque es: Como el tanque no se mueve, la energía cinética K y la potencial p permanecen constantes, entonces, derivando la ecuación encontramos: 10

11. Para el sistema del liquido: Donde H es la entalpía total del liquido del tanque. Además, donde: calor especifico del liquido del tanque temperatura de referencia, donde la entalpia especifica del liquido se asume cero. 11

12. Variables de estado:h y T • Y los parámetros constantes: • Balance total de masa: • donde Fey F es la rata de flujo que ingresa y sale del tanque. Asumiendo la densidad constante, la ecuación se transforma en: 12

13. Balance total de energía : donde Q es la cantidad de calor suministrada por el vapor por unidad de tiempo. La ecuación se simplifica, se asumimos queTref=0 y la agrupación convenientemente, a la forma: 13

14. Las variables de las ecuaciones diferenciales pueden ser clasificadas así: • Variables de estado : h, T • Variables de salida : h,T • Variables de entrada: • disturbios • variables manipuladas: • (para el control por retroalimentación) • (para el control por acción precalculada) • Parámetros 14

15. 2 . CONSIDERACIONES EN EL MODELAMIENTO PARA PROCESOS DE CONTROL 2.1 El modelo entrada – salida : El modelo debería tener la siguiente forma general: Salida =f (variables de entrada) Figura 2.1 un proceso y sus variables de entrada y salida 15

16. Usando la figura 2.1, la relación se expresaría: Cada modelo que describe directamente la relación entre las variables de entrada y salida de un proceso se llama modelo entrada-salida. 2.2 Grados de libertad: Se denomina grados de libertad de un proceso a las variables independientes que deben ser especificadas para poder definir un proceso en forma completa. Por lo tanto los interrogantes sobre el control de un proceso pueden darse por concluidas solo y solo si todos los grados de libertad del proceso hayan sido especificados. 16

17. Ejemplo 2.1. Grados de libertad del tanque con calentador y agitador. El modelo matemático del tanque con calentador y agitador, tal como se dedujo en el ejemplo 1.2, esta dado por: Las ecuaciones tienen solución? Si la solución es posible, cuantas soluciones existen? Estas preguntas se responden analizando el número de ecuaciones y de variables. 17

18. Número de ecuaciones = 2 ecuaciones (3.1) y (3.2) Número de variables = 6 Se ha asumido que A, p, y Cp son parámetros que permanecen constantes. Evidentemente: Número de variables > número de ecuaciones Las variables que pueden especificarse arbitrariamente son los grados de libertad y el número viene dado por la siguiente relación: (número de variables) – (número de ecuaciones) Para especificar completamente un proceso el número de los grados de libertad debe ser igual a cero. 18

19. 2.3 Grados de libertad y el control de proceso : Un proceso industrial cuidadosamente modelado tendrá, en general uno o más grados de libertad. Por lo tanto desde que f > 0 el proceso tendrá un infinito número de soluciones y nace la pregunta: Que se debe hacer para reducir el número de grados de libertad a cero tal que se logre tener un sistema completamente especificado con comportamiento único? Existen dos fuentes que nos proveen de ecuaciones adicionales (1) el mundo exterior al sistema y (2) al sistema de control. 19