1 / 43

要点梳理 1. 等差数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示 . 2. 等差数列的通项公式

§6.2 等差数列及其前 n 项和. 基础知识 自主学习. 要点梳理 1. 等差数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示 . 2. 等差数列的通项公式 如果等差数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公差为 d ，那么它的 通项公式是. 从第二项起每一项与它相邻前面一项. 的差是同一个常数. 公差. d. a n = a 1 + （ n -1 ） d. 3. 等差中项 如果 ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 . 4. 等差数列的常用性质

nehru-garza
Download Presentation

要点梳理 1. 等差数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示 . 2. 等差数列的通项公式

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. §6.2 等差数列及其前n项和 基础知识 自主学习 要点梳理 1.等差数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的 通项公式是. 从第二项起每一项与它相邻前面一项 的差是同一个常数 公差 d an=a1+（n-1）d

  2. 3.等差中项 如果，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am+，（n， m∈N*）. （2）若{an}为等差数列，且k+l=m+n，（k，l，m， n∈N*），则. （3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等 差数列，公差为. （4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}是 . (n-m)d ak+al=am+an 2d 等差 数列

  3. （5）若{an}是等差数列，则ak，ak+m， ak+2m，…（k，m∈N*）是公差为的等差数列. 5.等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn= 或Sn= . 6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn= . 数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f（n）是n的 ，即Sn= . md 二次函数或一次函数且不含常数 An2+Bn，（A2+B2≠0） 项

  4. 大 7.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最 值；若a1＜0,d＞0,则Sn存在最值. 8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质 （1）若{an}是等差数列，则 也成数列， 其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的. （2）Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项， 前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成数列. 小 等差 等差

  5. （3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质 ①若项数为2n，则S偶-S奇=， = . ②若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇=an，S奇- S偶=， (4)两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间 的关系为： = . nd n an

  6. 基础自测 1.（2009·辽宁文，3）{an}为等差数列，且a7- 2a4=-1,a3=0,则公差d= （ ） A.-2 B. C. D.2 解析 根据题意得a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-1, ∴a1=1.又∵a3=a1+2d=0,∴d= B

  7. 2.已知数列{an}中,a1=1, 则a10等于（ ） A. B. C. D.以上都不对 解析 由a1=1, 得 为等差数列. ∴ ∴ B

  8. 3.（2009·福建理，3）等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于 （ ）3.（2009·福建理，3）等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于 （ ） A.1 B. C.2 D.3 解析 设{an}首项为a1,公差为d, 则S3=3a1+ d=3a1+3d=6, a3=a1+2d=4,∴a1=0,d=2. C

  9. 4.已知等差数列{an}的前13项之和为39，则a6+a7+a8 等于 （ ） A.6 B.9 C.12 D.18 解析 由S13= =13a7=39得a7=3， ∴a6+a7+a8=3a7=9. B

  10. 5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 则 等于 （ ） A.1 B.-1 C.2 D. 解析 由等差数列的性质， A

  11. 题型分类 深度剖析 题型一 等差数列的判定 【例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn (p、q∈R，且p、q为常数). （1）当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列； （2）求证：对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数 列. (1)由定义知,{an}为等差数列,an+1-an 必为一个常数. (2)只需推证(an+2-an+1)-(an+1-an)为一个常数. 思维启迪

  12. (1)解an+1-an=［p(n+1)2+q(n+1)］-(pn2+qn) =2pn+p+q, 要使{an}是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的 常数,所以只有2p=0,即p=0, . 故当p=0 , 时，数列{an}是等差数列. (2)证明 ∵an+1-an=2pn+p+q, ∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, ∴(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数. ∴{an+1-an}是等差数列.

  13. 探究提高 证明或判断一个数列为等差数列,通常有两种方法:(1)定义法:an+1-an=d;(2)等差中项法:2an+1=an+an+2.就本例而言,第(2)问中,需证明(an+2-an+1)-(an+1-an)是常数,而不是证an+1-an为常数. 知能迁移1设两个数列{an},{bn}满足bn= 若{bn}为等差数列，求证： {an}也为等差数列. 证明 由题意有a1+2a2+3a3+…+nan= ① 从而有a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1 = bn-1，（n≥2） ②

  14. 由①-②，得nan= 整理得an= 其中d为{bn}的公差（n≥2）. 从而an+1-an= （n≥2）. 又a1=b1,a2= d+b1,∴a2-a1= d, 所以{an}是等差数列.

  15. 题型二 等差数列的基本运算 【例2】在等差数列{an}中， （1）已知a15=33,a45=153,求a61; （2）已知a6=10,S5=5，求a8和S8； （3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d＞0, 求a1. 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式与前n项和公式，先求出a1和d. 思维启迪

  16. 解 （1）方法一 设首项为a1,公差为d,依条件得 33=a1+14da1=-23, 153=a1+44d d=4. ∴a61=-23+(61-1)×4=217. 方法二 由 由an=am+(n-m)d, 得a61=a45+16d=153+16×4=217. ,解方程组得 a1+5d=10 5a1+10d=5. （2）∵a6=10,S5=5,∴ 解方程组得a1=-5,d=3, ∴a8=a6+2d=10+2×3=16,

  17. S8=8× =44. (3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有 (a-d)+a+(a+d)=12 (a-d)·a·(a+d)=48, a=4 a=4 a(a2-d2)=48 d=±2. ∵d＞0,∴d=2,a-d=2. ∴首项为2.∴a1=2. , ∴ ∴ 探究提高 方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用.

  18. 知能迁移2设{an}是一个公差为d (d≠0)的等差数列，它的前10项和S10=110且a1,a2,a4成等比数列. （1）证明a1=d; （2）求公差d的值和数列{an}的通项公式. （1）证明 因为a1,a2,a4成等比数列，故 =a1a4. 而{an}是等差数列，有a2=a1+d,a4=a1+3d. 于是(a1+d)2=a1(a1+3d), 即 +2a1d+d2= +3a1d.化简得a1=d. （2）解 因为S10=110，S10=10a1+ d， 所以10a1+45d=110. 由（1）a1=d,代入上式得55d=110, 故d=2,an=a1+(n-1)d=2n. 因此，数列{an}的通项公式为an=2n,n=1,2,3,….

  19. 题型三 等差数列的性质及综合应用 【例3】 （12分）在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值. （1）由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.（2）利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号. 思维启迪

  20. 解 方法一 ∵a1=20，S10=S15， ∴10×20+ d=15×20+ d， ∴d= 4分 ∴an=20+（n-1）× 8分 ∴a13=0. 即当n≤12时，an＞0,n≥14时，an＜0. 10分 ∴当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为 S12=S13=12×20+ =130. 12分

  21. 方法二 同方法一求得d= 4分 ∴Sn=20n+ = = 8分 ∵n∈N+,∴当n=12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12=S13=130. 12分 方法三 同方法一得d= 4分 又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. 8分 ∴5a13=0,即a13=0. 10分 ∴当n=12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12=S13=130. 12分

  22. 探究提高求等差数列前n项和的最值，常用的方法：探究提高求等差数列前n项和的最值，常用的方法： （1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； （2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值； （3）利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A、B为常数） 为二次函数，根据二次函数的性质求最值.

  23. 知能迁移3 在等差数列{an}中，a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn. （1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值； （2）求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|. 解 （1）设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, ∵a16+a17+a18=3a17=-36,∴a17=-12, ∴d= =3, ∴an=a9+(n-9)·d=3n-63,an+1=3n-60, an=3n-63≤0 an+1=3n-60≥0 ∴S20=S21= ∴当n=20或21时，Sn最小且最小值为-630. ,得20≤n≤21, 令

  24. （2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后 各项均为正数. 当n≤21时，Tn=-Sn= 当n＞21时，Tn=Sn-2S21= （n≤21，n∈N*） （n＞21,n∈N*）. 综上，Tn=

  25. 方法与技巧 1.等差数列的判断方法有 (1)定义法：an+1-an=d (d是常数){an}是等差数列. (2)中项公式：2an+1=an+an+2 (n∈N*){an}是等差数列. (3)通项公式：an=pn+q(p,q为常数）{an}是等差数列. (4)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A、B为常数）{an}是等差数列. 思想方法 感悟提高

  26. 2.方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解.2.方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解. 3.等差数列的通项公式本身可以由累加法得到. 4.等差数列的前n项和公式Sn= 很像梯形面积公式，其推导方法也与梯形面积公式的推导方法完全一样. 5.等差数列的前n项和公式Sn=na1+ d可以变形为 类似于匀加速直线运动的路程公式，只要把d理解为加速度.

  27. 失误与防范 1.如果p+q=r+s,则ap+aq=ar+as,一般地，ap+aq≠ap+q，必须是两项相加，当然可以是ap-t+ap+t=2ap. 2.等差数列的通项公式通常是n的一次函数，除非公差d=0. 3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列. 4.公差d= 类似于由两点坐标求直线斜率的计算. 5.当d不为零时，等差数列必为单调数列. 6.从一个等差数列中，每隔一定项抽出一项，组成的数列仍是等差数列.

  28. 定时检测 一、选择题 1.（2008·广东理，2）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1= ，S4=20，则S6等于 （ ） A.16 B.24 C.36 D.48 解析 ∵S4=2+6d=20，∴d=3，故S6=3+15d=48. D

  29. 2.（2009·安徽文，5）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于 （ ）2.（2009·安徽文，5）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于 （ ） A.-1 B.1 C.3 D.7 解析 由已知得a1+a3+a5=3a3=105, a2+a4+a6=3a4=99,∴a3=35,a4=33,∴d=-2. ∴a20=a3+17d=35+(-2)×17=1. B

  30. 3.（2009·湖南文，3）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3,a6=11,则S7等于 （ ）3.（2009·湖南文，3）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3,a6=11,则S7等于 （ ） A.13 B.35 C.49 D.63 解析 ∵a1+a7=a2+a6=3+11=14. ∴S7= C

  31. 4.（2009·宁夏、海南理，7）等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列，若a1=1,则S4=4.（2009·宁夏、海南理，7）等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列，若a1=1,则S4= （ ） A.7 B.8 C.15 D.16 解析 设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2,a3成等差数列，得4a2=4a1+a3.∴4a1q=4a1+a1q2.∴q2-4q+4=0. ∴q=2,∴S4= C

  32. 5.已知等差数列{an}的公差为d (d≠0)，且a3+a6 +a10+a13=32,若am=8，则m为 （ ） A.12 B.8 C.6 D.4 解析 由等差数列性质a3+a6+a10+a13 =(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32, ∴a8=8.∴m=8. B

  33. 6.各项均不为零的等差数列{an}中，若 -an-1-an+1=0 (n∈N*，n≥2)，则S2 009等于 （ ） A.0 B.2 C.2 009 D.4 018 解析 ∵ =an-1+an+1=2an,an≠0,∴an=2. ∴Sn=2n,S2 009=2×2 009=4 018. D

  34. 二、填空题 7.（2009·辽宁理，14）等差数列{an}的前n项和为Sn,且6S5-5S3=5,则a4= . 解析 由题意知6 +45d=15(a1+3d)=15a4=5,故a4= .

  35. 8.（2009·全国Ⅱ理，14）设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3,则 = . 解析 设等差数列的公差为d,首项为a1, 则由a5=5a3知a1 9

  36. 9.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4= 7∶6，则S7∶S3等于. 解析 ∵ 2∶1

  37. 三、解答题 10.在数列{an}中，a1=1,3anan-1+an-an-1=0 (n≥2). （1）求证：数列 是等差数列； （2）求数列{an}的通项. （1）证明 因为3anan-1+an-an-1=0 (n≥2), 整理得 =3 (n≥2). 所以数列 是以1为首项，3为公差的等差数列. （2）解 由（1）可得 =1+3(n-1)=3n-2, 所以an=

  38. 11.已知数列{an}中，a1= ，an=2- (n≥2, n∈N*),数列{bn}满足bn= (n∈N*). （1）求证：数列{bn}是等差数列； （2）求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由. （1）证明 因为an=2- (n≥2,n∈N*),bn= 所以当n≥2时，bn-bn-1=

  39. 又b1= 所以，数列{bn}是以- 为首项，以1为公差的等差数列.

  40. （2）解 由（1）知，bn=n- ,则an= 设函数f(x)=1+ 易知f(x)在区间(-∞, ) 和( ,+∞)内为减函数. 所以，当n=3时，an取得最小值-1； 当n=4时，an取得最大值3.

  41. 12.已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1 (n≥2且n∈N*). （1）求a2,a3的值； （2）是否存在实数 ，使得数列 为等差数列, 若存在，求出 的值；若不存在,请说明理由. 解 （1）∵a1=5， ∴a2=2a1+22-1=13，a3=2a2+23-1=33. （2）方法一 假设存在实数 ，使得数列 为等 差数列，

  42. 设bn= ,由{bn}为等差数列，则有2b2=b1+b3, ∴2× 解得 =-1. 事实上， 综上可知，存在实数 =-1,使得数列 为等 差数列.

  43. 方法二 假设存在实数 ,使得 为等差数列. 设bn= ,由{bn}为等差数列， 则有2bn+1=bn+bn+2 (n∈N*)， ∴2× ∴ =4an+1-4an-an+2 =2(an+1-2an)-(an+2-2an+1) =2(2n+1-1)-(2n+2-1)=-1， 综上可知，存在实数 =-1,使得数列 为等 差数列. 返回

More Related