ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ Лекция 4 29 сентября 2009 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

2. Вычислительная линейная алгебра Метод простых итераций • Влияние ошибок округления на результат численного решения СЛАУ • Будем трактовать суммарный эффект ошибок округления при выполнении одного итерационного шага, как возмущение правой части в итерационном процессе

2. Вычислительная линейная алгебра Метод простых итераций

2. Вычислительная линейная алгебра

2. Вычислительная линейная алгебра Метод простых итераций Теорема. Пусть итерационный метод сходится. Тогда предельная погрешность. Связанная с округлением, не зависит от числа итераций

2. Вычислительная линейная алгебра Метод простых итераций

2. Вычислительная линейная алгебра • Метод простых итераций

2. Вычислительная линейная алгебра

2. Вычислительная линейная алгебра Метод простых итераций с оптимальным параметром

2. Вычислительная линейная алгебра Число итераций

2. Вычислительная линейная алгебра Метод с оптимальным набором параметров

2. Вычислительная линейная алгебра Метод с оптимальным набором параметров Найти полином, наименее уклоняющийся от 0!

Полиномы Чебышёва 1 рода • Пафнутий Львович Чебышёв

Полиномы Чебышёва 1 рода Определение

Полиномы Чебышёва 1 рода Рекуррентная формула

Полиномы Чебышёва 1 рода Приведенный (нормированный) полином Чебышева

Полиномы Чебышёва 1 рода Ноли полинома Чебышёва

Полиномы Чебышёва 1 рода Ноли полинома Чебышева

Полиномы Чебышёва 1 рода Ортогональность

Полиномы Чебышёва 1 рода • Теорема Чебышева (без доказательства). • Среди всех многочленов степени , со старшим коэффициентом an равным единице, наименьшее уклонение от нуля имеет нормированный полином Чебышева первого рода

2. Вычислительная линейная алгебра Оптимальный набор параметров Скорость сходимости

2. Вычислительная линейная алгебра • При i=2 перебираем корни полинома Чебышева в их естественном порядке (в фигурных скобках указываем номер корня) {1,2} или в порядке убывания номера {2,1}. Далее последовательность номеров корней получаем следующим образом. Каждый номер корня меняется на пару чисел: первое число — номер корня, второе — дополняет сумму в каждой паре до значения i+1 (2r + 1). Таким образом, при i=4 получаем два упорядоченных набора. Из последовательности {1,2} получаем {1, 4, 2, 3}, а из {2,1} -- {2, 3, 1, 4}.

2. Вычислительная линейная алгебра • Действуя аналогично далее, имеем при i=8 {1, 8, 4, 5, 2, 7, 3, 6} в первой последовательности чебышевских параметров или {2, 7, 3, 6, 1, 8, 4, 5} во второй последовательности. Следующий шаг дает i=16 {1, 16, 8, 9, 4, 13, 5, 12, 2, 15, 7, 10, 3, 14, 6, 11} в первой последовательности чебышевских параметров или {2, 15, 7, 10, 3, 14, 6, 11, 1, 16, 8, 9, 4, 13, 5, 12} во второй. Построение таких упорядоченных наборов легко можно продолжить. Приведенное упорядочение является универсальным — оно обеспечивает устойчивость любых методов, где необходим чебышевский набор итерационных параметров.

2. Вычислительная линейная алгебра • Вопросы?

ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ

Presentation Transcript