Ders 2 say i d zenler
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 45

DERS 2 SAY I DÜZENLERİ PowerPoint PPT Presentation


  • 175 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

DERS 2 SAY I DÜZENLERİ. İÇERİK. Tarihçe Onluk sayı sistemi İkilik sayı sistemi Onluk/ikilik dönüşümleri İkilik sayı sisteminde toplama İkilik sayı sisteminde doğrudan çıkarma İkilik sayı sisteminde tümleyen aritmetiği ile çıkarma İkilik sayı sisteminde çarpma

Download Presentation

DERS 2 SAY I DÜZENLERİ

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


DERS 2

SAYI DÜZENLERİ


İÇERİK

  • Tarihçe

  • Onluk sayı sistemi

  • İkilik sayı sistemi

  • Onluk/ikilik dönüşümleri

  • İkilik sayı sisteminde toplama

  • İkilik sayı sisteminde doğrudan çıkarma

  • İkilik sayı sisteminde tümleyen aritmetiği ile çıkarma

  • İkilik sayı sisteminde çarpma

  • İkilik sayı sisteminde bölme

  • Sekizli ve Onaltılı sayı sistemleri


TARİHÇE

  • Sayı ve sayma kavramının başlangıcı belirsiz

  • Sümerler sayma işlemini kullanmışlar

  • Günümüz rakam şekilleri MS 400 de Hindistan’da geliştirilmiş

  • Bu rakamlar sonrasında müslümanlar tarafından da benimsenmiş

  • Ebu Abdullah bin Musa El Harzemi (MS 780-850 ) ‘Cebir ve denklem hesabı hakkında özetlenmiş kitap’ adlı kitabıyla:

    • Sıfır sayısını

    • Onluk sayı sistemini tanıttı


Onluk Sayı Düzeni

Onluk sayı düzeninde on değişik sembol rakamsal büyüklükleri tanımlamak için kullanılır. Bunlar:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


Onluk Sayı Düzeni

Onluk sayı düzeninde, sayının en sağdaki rakamı en düşük, en soldaki rakamı da en yüksek değeri ifade edecek şekilde düzenlenmiştir.

Burada sayının her bir basamağı ile ifade edilen büyüklük aşağıdaki yaklaşımdaki gibi 10 değerinin üstsel katları olarak belirlenir.

. . . 10^410^310^210^1 10^0

5. 4. 3. 2. 1.basamak


Onluk Sayı Düzeni

Buna göre her bir rakamın sayı içerisinde ifade ettiği değer: ilgili rakam ile o rakamın belirlediği basamak değerinin büyüklüğü- nün çarpımı olarak belirlenir.

Buna göre bir sayı ile ifade edilen değer: ilgili sayı içerisindeki her bir rakamın ifade ettiği değerlerin toplamı olarak belirlenir.


Onluk Sayı Düzeni

ÖRNEK: 3954 sayısı ile ifade edilen değer

3x1000 + 9x100 + 5x10 + 4x1 olarak hesaplanır.

10 tabanında tanımlanmış sayısal değerler yaygın olarak kullanıldıkları için tabanın 10 olduğunu belirlemede özel bir notasyon kullanılmamaktadır.


Diğer Sayı Düzenleri

Kullanılan başka sayı düzenleri de vardır.

Bunlarda da onluk sayı düzenindeki gibi basamak ağırlıklarının soldan sağa doğru azalması ve basamak değerlerinin ilgili tabanın basamak sırasının üstsel kuvveti olarak düzenlenmesi prensibi kullanılır.


İkili Sayı Düzeni

İkili sayı düzeninde kullanılan rakamlar:

0 ve 1 olarak tanımlıdır.

İkili sayı sistemi bilgisayar uygulamalarında iki farklı lojik seviye kullanım ihtiyacını karşıladığı için yaygın olarak kullanılır.


İkili Sayı Düzeni

  • İkili sayı düzeninde her bir basamağa BİT adı verilmektedir.

  • Dolayısıyla en sağdaki basamağa en düşük anlamlı bit (DAB-LSB) en soldaki basamağa en yüksek anlamlı bit (YAB-MSB) adı verilir.

  • İkilik (binary) sayılar:

    • 0b 1111

    • b’1111’ (PIC işlemci notasyonu)

    • % 1111

    • 11112 farklı biçimlerinde gösterilirler


İkilik – Onluk Dönüşümü

Aynı onluk düzende olduğu gibi her bir basamağın ifade ettiği değer ile ilgili basamağın sayısal değerleri çarpılıp toplanarak elde edilirler.

Örnek: İkilik düzende 10111 sayısının onluk düzende karşılığını hesaplayalım.

1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 = 23 olur


Onluk-İkilik Dönüşümü

ARAMA YÖNTEMİ

Sayı içerisinde ikinin kuvvetini armaya dayanır. 23 sayısı için;

23–32=-11YOK=> 0

23–16= 7VAR=> 1

7– 8=-1YOK=> 0

7– 4= 3VAR=> 1

3– 2= 1VAR=> 1

1– 1= 0VAR=> 1

010111 veya 10111 ikilik düzendeki karşılığı elde edilir.


Onluk-İkilik Dönüşümü

BÖLME YÖNTEMİ

Sayı Sürekli 2’ye bölünür ve kalanın 1 yada 0 oluşuna bakılarak basamaklar belirlenir

KALAN

23/2= 111 VAR=> 1

11/2= 51 VAR => 1

5/2= 21 VAR => 1

2/2= 1 0 VAR => 0

1/2= 0 1 VAR => 1

10111 ikilik düzendeki karşılığı


İkilik Tabanda İşlemler: TOPLAMA

Aynı onluk tabanda uygulanan kurallar uygulanır. Tek fark her basamaktaki toplama sırasında elde değerinin 10 yerine 2 sayısına ulaşmasıdır.

0+0 = 0

0+1 = 1

1+0 = 1

1+1 = 0 ve de elde 1


İkilik Tabanda İşlemler: TOPLAMA

Örnek:

11001

+ 10101

101110


İkilik Tabanda İşlemler: ÇIKARMA

Aynı onluk tabanda uygulanan kurallar uygulanır. Farklı olarak tümleyen aritmetiğine göre yapılan çıkarma işlemi de tanımlıdır.


İkilik Tabanda İşlemler: ÇIKARMA

DOĞRUDAN ÇIKARMA:

0-0 = 0

1-0 = 1

1-1 = 0

0-1 = 1 ve de borç 1


İkilik Tabanda İşlemler: ÇIKARMA

Örnek:

% 11001

-% 10101

% 00100


İkilik Tabanda İşlemler: ÇIKARMA

TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA:

Çıkarma işleminde kalanın sıfır veya sıfırdan büyük olması durumunda doğrudan çıkarma basamakları uygulanırken aksi durumda problem çıkmaktadır.

Bu problemi daha pratik olarak çözmek için toplama işlemi şeklinde tanımlı çıkarma işlemi yaklaşımı mevcuttur.

Buradaki yaklaşım belli sayıda basamak ile ifade edilen bir sayının alabileceği en büyük değere 1 sayısının ilave edilmesi durumunda sayının 0 değerini (ama elde 1 ile) alması özelliğini kullanmaktır.


TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ

Yani,

bir a sayısına 1 eklendiğinde sonuç 0 oluyorsa

a sayısının değeri -1 miş

veya

bir a sayısına 2 eklendiğinde sonuç 0 oluyorsa

a sayısının değeri -2 miş

veya

bir a sayısına 3 eklendiğinde sonuç 0 oluyorsa

a sayısının değeri -3 müş

gibi bir yaklaşım kullanılır.


TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ

  • O zaman:

  • 0 sayısından sonra + sayılar sıralanır

  • 0 sayısından önce – sayılar sıralanır

  • Tüm sayılar bir silindir üzerinde sıralı olarak düşünülürse (otomobil km sayacı gibi) en büyük sayıdan sonra tekrar en küçük sayıya dönülür

  • Maksimum sayıda + ve – sayıyı ifade etmek için silindiri ortadan ikiye bölelim

  • Sonuç:

  • (1 ) - (2N-1–1) arası sayılar pozitif (2N-1–1 adet)

  • (2N-1) - (2N ) arası sayılar negatif (2N-1adet)


TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ

  • Sonuç DEVAM:

  • Tüm pozitif sayılar işaretsiz gösterimleri ile aynıdır

  • Tüm pozitif sayılar için MSB 0 olur

  • 0 hariç iken en büyük pozitif sayı 2N-1-1 olur (2N/2-1)

  • Tüm negatif sayılar için MSB 1 olur

  • En küçük negatif sayı -2N-1 (2N/2-1+1)

  • Dolayısıyla MSB işaret biti olarak anılır

  • Küçük + sayılarda MSB sağında 0 çoktur

  • Küçük – sayılarda MSB sağında 1 azdır

  • Büyük + sayılarda MSB sağında 0 azdır

  • Büyük – sayılarda MSB sağında 1 çoktur


TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ

  • Sayının işaretini değiştirmek için

  • Sayının tümleyeni hesaplanır (1’e tümleme)

  • Sayının tümleyenine 1 sayısı eklenir (2’ye tüm)


TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA

Örnek:

% 11111

+% 00001

% 1 00000

00001 ve 11111 sayılarına birbirlerinin 2’ye (tabana) göre tümleyeni adı verilmektedir. Benzer şekilde 00010 ve 11110 sayıları da aynı özelliği gösterirler.


TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA

Bu yaklaşım göz önünde bulundurularak tümleyen aritmetiği ile çıkarma işleminde, çıkarılacak sayının çıkarılması yerine bu sayının 2’ye (yani taban değerine) tümleyeni kendisinden çıkarılacak sayıya eklenir.

Dolayısıyla çıkarma işlemi toplama işlemi şeklinde tanımlanmış olur.


TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA

Örnek: Onluk tabanda 0008 sayısından 0003 sayısını çıkaralım.

0003 => 9997 sayının tabana (10) göre tümleyeni

Tabana göre tümleyen ile sayının toplamı aynı sayıda basamak üzerinden 0 sonucunu verir.

0003 + 9997 = 1 0000 olur (4 basamak için doğru)

O zaman -0003-9997 = 0 => -0003 = 9997 olur.

0008 – 0003 = 0008 + 9997 = 1 0005 Bu ne demek?


TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA

Yani sonuç 0005 olarak bulunur. Ancak bu değerin düzenlenmesi gerekebilir. Bu işlem sonucundaki elde bitine İŞARET BİTİ adı verilir ve sonuç bu bite göre düzenlenir.

Eğer işaret biti 1 ise sonuç + dır ve aynı bırakılır

Eğer işaret biti 0 ise sonuç – dir ve düzenlenir.

NEDEN?


TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA

4 bit ile 0-15 arası tamsayıları ifade etmek mümkün olabilir:

00000

10001111115

20010111014

30011110113

40100110012

50101101111

60110101010

7011110019

10008


TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA

Yada alternatif olarak –8 ile 7 arası tamsayılar da ifade edilebilirler:

+00000

+100011111-1

+200101110-2

+300111101-3

+401001100-4

+501011011-5

+601101010-6

+701111001-7

1000-8


TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA

Burada 10 tabanında gösterildiği gibi 2 tabanına göre tümleme kabulü yapılmaktadır.

+00000

+10001+1111-1=1 0000

+20010+1110-2=1 0000

+30011+1101-3=1 0000

+40100+1100-4=1 0000

+50101+1011-5=1 0000

+60110+1010-6=1 0000

+70111+1001-7=1 0000

1000-8


TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA

İkilik düzende bir sayının tabana tümleyeni için

Sayının 1’e tümleyeni hesaplanır

Elde edilen sayıya 1 değeri eklenir

ÖRNEK:verilen sayı % 10111

1’e tümleyeni% 01000

2’ye tümleyeni% 01001


TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA

ÖRNEK:%1100125

- %1010121

%0101021’in 1’e tümleyeni

%0101121’in 2’ye tüm.

Yani%1100125

+%0101121’in 2’ye tüm.

% 100100

elde işaretsonuç


TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA

ÖRNEK:%1010121

- %1100125

%0011025’in 1’e tümleyeni

%0011125’in 2’ye tüm.

Yani%1010121

+%0011125’in 2’ye tüm.

% 011100

elde işaretsonuç


TÜMLEYEN ARİTMETİĞİ İLE ÇIKARMA

ÖRNEK devam:

İşaret biti 1 yani negatif olduğu için sonucun

düzenlenmesi gerekir. Bunun için de sonucun 2’ye

tümleyeninin hesaplanması gerekir.

%11100

%00011

%00100 => 4 yani -4 sayısı elde edilir.


İkilik Tabanda İşlemler: ÇARPMA

Onluk tabanda tanımlanmış yöntemlerin benzerleri geçerlidir. Bunlar:

0x0 = 0

0x 1 = 0

1 x0 = 0

1 x 1 = 1

Taban ile çarpma (2 ile) bir bit sola kayma olarak tanımlanır


İkilik Tabanda İşlemler: ÇARPMA

ÖRNEK: %101 ve %10 sayılarının çarpımını hesaplayalım.

101

x 10

000

+ 101

1010


İkilik Tabanda İşlemler: BÖLME

Onluk tabanda tanımlanmış yöntemlerin benzerleri geçerlidir. Taban ile bölme (2 ile) bir bit sağa kayma olarak tanımlanır.

ÖRNEK:

1010: 11 veya 10 tabanında 10 : 3

- 0000 011 9 3

1010 1

- 110

100

- 11

1


Sekizli Sayı Düzeni

  • Sekizli sayı düzeninde kullanılan rakamlar:

  • 0 1 2 3 4 5 6 7 olarak tanımlıdır.

  • Sekizli düzende verilen sayılar:

    • 0o 7777

    • & 7777

    • 77778 biçimlerinde gösterilirler


Sekizli Sayı Düzeni

  • İkili sayı sisteminde ifade edilen sayıların büyük olması durumunda gösterimleri çok uzun olabilmektedir.

  • Bu problemi gidermek üzere kullanılan yaklaşımlardan biri sekizli sayı sistemini kullanmaktır.

  • Bunun avantajı ikili sistemle dönüşümlerin pratik oluşudur.


İkili/Sekizli Taban Dönüşümleri

İkili sayı düzeninde verilen bir sayının bitleri 3lü gruplar halinde düzenlenir.

Bu 3lü grupların her birinin ifade ettiği sayılar sağdan sola doğru yazıldıklarında ikili sayı düzeninden sekizli sayı düzenine dönüşüm gerçeklenir.

Sekizliden ikili sayı düzenine dönüşüm de benzer adımlar ters sırada yapılarak elde edilir.


İkili/Sekizli Taban Dönüşümleri

ÖRNEK: % 01011100101000 sayısını sekizli sayı düzeninde gösterelim.

01011100101000 =>

4096 + 1024 + 512 + 256 + 32 + 8 = 5928

001 011 100 101 000

1 3 4 5 0=> 1x4096+3x512+4x64+5x8=5928


Onaltılı(Hexadecimal) Sayı Düzeni

  • Onaltılı sayı düzeninde kullanılan rakamlar:

  • 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F olarak tanımlıdır. Burada:

  • A=10B=11C=12D=13E=14 F=15

  • değerlerini ifade ederler.

  • Onaltılı düzende verilen sayılar:

    • 0x FFFF(PIC işlemci notasyonu)

    • h’FFFF’ (PIC işlemci notasyonu)

    • $ FFFF

    • FFFF16 veya FFFFh biçimlerinde gösterilirler


İkili/OnaltılıTaban Dönüşümleri

İkili sayı düzeninde verilen bir sayının bitleri 4lü gruplar halinde düzenlenir.

Bu 4lü grupların her birinin ifade ettiği sayılar sağdan sola doğru yazıldıklarında ikili sayı düzeninden onaltılı sayı düzenine dönüşüm gerçeklenir.

Onaltılıdan ikili sayı düzenine dönüşüm de benzer adımlar ters sırada yapılarak elde edilir.


DERS2

SAYI DÜZENLERİ

SON –

Kaynaklar:

1) An Introduction to Digital Signal Processors, Bruno Paillard

2) Mikroişlemciler Mikrobilgisayarlar, Eşref Adalı, ISBN 975-511-175-1


  • Login