第八章  刚体的平面运动
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第八章 刚体的平面运动. 第一节 刚体平面运动的运动方程 第二节 求平面图形内各点速度的基点法 第三节 求平面图形内各点速度的瞬心法 第四节 平面图形内各点的加速度. 刚体平面运动的特征 平面运动刚体的运动方程 刚体的平面运动可. 分解为平移和转动. 第一节 刚体平面运动的运动方程. 刚体平面. 运动的特征. 在运动过程中,刚体内任一点始终保持在与某一固定平面平行的平面内运动. 刚体作平面运动. 可以用平面图形 S 的其它点的运动来表示刚体内对应点的运动.

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第八章 刚体的平面运动

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Presentation Transcript


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第八章 刚体的平面运动

第一节 刚体平面运动的运动方程

第二节 求平面图形内各点速度的基点法

第三节 求平面图形内各点速度的瞬心法

第四节 平面图形内各点的加速度


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  • 刚体平面运动的特征

  • 平面运动刚体的运动方程

  • 刚体的平面运动可

分解为平移和转动

第一节 刚体平面运动的运动方程


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  • 刚体平面

运动的特征

在运动过程中,刚体内任一点始终保持在与某一固定平面平行的平面内运动


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刚体作平面运动

可以用平面图形S的其它点的运动来表示刚体内对应点的运动

过M点作平面Ⅱ与平面Ⅰ平行,与此刚体相交截出一个平面图形S ,平面图形S始终保持在平面Ⅱ内运动

A1MA2:做平动,垂直于平面Ⅱ,M点可代表直线A1MA2上各点的运动

结论:刚体的平面运动,可以简化为平面图形S在其自身所在的固定平面Ⅱ内的运动


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当平面图形S运动时,点 的坐标和角坐标都是时间t的单值连续函数,

平面运动刚体的运动方程:

  • 平面运动刚体的运动方程

设平面图形在静坐标系Oxy内运动。为了确定图形在任意瞬时的位置,只须确定图形内任一条直线OM的位置即可


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若 为常量,即基点O的位置不动,平面图形S将绕通过基点O且与图形S的平面垂直的轴转动;

当 都随时间变化时,平面图形即作平面运动。

  • 刚体的平面运动可分解为平移和转动

若为常量,平面图形S作平移;

结论:刚体的平面运动可以分解为随同基点的平移和绕基点的转动


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  • 随同基点平移

    的特点


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选择不同的基点A和B时 平移部分的位移

  • 结论:选择不同的基点,平面图形随同基点平移的速度和加速度是不相同的


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  • 绕基点转动的特点

转向相同

选A为基点时,连杆的相对转角为1

选B为基点时,连杆的相对转角为2

结论:在任意瞬时,平面图形绕其平面内任意基点转动的角速度与角加速度都相同。


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讨 论

  • 选择不同的基点,平面图形随同 基点平移的速度和加速度是不相同的。

  • 相对基点转动的角速度、角加速度与基点的选择无关。

  • 今后标注平面图形的角速度和角加速度时,只需注明它是哪个刚体的,不必注明它是相对于哪个基点。


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第二节 求平面图形内各点速度的基点法

  • 基点法

  • 速度投影定理


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  • 基点法

点M的牵连速度

M点对于O点的相对速度大小

图形上各点随基点平移的速度是它的牵连速度相对基点作圆周运动的速度即为它的相对速度

取点O为基点,该点的速度为vO、图形的角速度为。牵连运动是平移,相对运动是转动


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平面图形内任一点的速度等于基点的速度与绕基点转动速度的矢量和

通常把平面图形中速度为已知的点选为基点


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  • 速度投影定理

上式向O点和M点的连线上投影 ,


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  • 速度投影定理

  • 速度投影定理:平面图形内任意两点的速度在此两点连线上的投影相等

  • 当已知平面图形内某点的速度大小、方向和另一点的速度方向,要求其大小时,应用速度投影定理就很方便


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例8-1 在图所示的曲柄连杆机构中,曲柄OA长r,连杆AB长l,曲柄以匀角速度转动,当OA与水平线的夹角= 45时,OA正好与AB垂直,试求此瞬时AB杆的角速度、AB杆中点C的速度及滑块B的速度。


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x:

y:

选速度已知的点A为基点

vA=r


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仍选A为基点

再求连杆AB中点C的速度vC

B点的速度方向已知,求B点的速度大小还可用速度投影定理


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第三节 求平面图形内各点速度的瞬心法

  • 瞬时速度中心

  • 速度瞬心法

  • 确定速度瞬心位置的方法


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问题的提出

  • 瞬时速度中心

  • 由基点法知:平面图形上任一点的速度等于基点的速度与绕基点转动速度的矢量和。

  • 基点是任意选择的,那么在每一瞬时,能不能在平面图形上找到一个速度等于零的点?

  • 如果能找到这样的点,并以此点为基点,求平面图形上各点的速度就更简便了


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O点为基点,速度

平面图形的角速度为

  • 瞬时速度中心

  • 在平面图形上寻找牵连速度和相对速度是共线、反向的点

  • 找速度等于零的点

  • 在平面图形上,瞬时速度等于零的点称为瞬时速度中心,简称瞬心,一般用I表示


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方向如图示

  • 速度瞬心法

速度瞬心法 :以速度瞬心为基点,求平面图形上各点速度的方法

  • 在平面图形运动的某瞬时,以速度瞬心I为基点,图形上各点的速度等于相对瞬心转动的速度。在此瞬时,平面图形的运动就简化成为绕瞬心的转动


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  • 几点讨论

  • 每瞬时平面图形上都存在唯一的速度瞬心。它可位于平面图形之内,也可位于图形的延伸部分。

  • 瞬心只是瞬时不动。在不同的瞬时,图形具有不同的速度瞬心。即速度瞬心的速度等于零,加速度并不等于零。

  • 平面图形在其自身平面内的运动,也可以看成是绕一系列的速度瞬心的转动。


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  • 确定速度瞬心位置的方法

  • 已知某瞬时平面图形的角速度和某点A的速度vA,如图 (a)示。此时,如果过A点沿着vA方向作半直线A,将此半直线顺图形角速度的转向转过一直角,然后在半直线上取线段AI,则I点就是瞬心


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  • 确定速度瞬心位置的方法

  • 已知某瞬时平面图形上A、B两点的速度vA、vB的方向,且vA不平行于vB,如图(b)示。此时,过A、B两点分别作vA与vB的垂线,这两条垂直线的交点即为瞬心I。


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  • 确定速度瞬心位置的方法

  • 如果vA∥vB,且AB⊥vA,如图(c)、(d)。那么,按比例在图中标示vA、vB的大小,用直线连接vA、vB矢量的末端,

此直线与AB线的交点即为瞬心I。即vA、vB同向时,I外分AB线段;vA、vB反向时,I则内分AB线段。


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  • 确定速度瞬心位置的方法

  • 某瞬时,如果vA = vB,如图(e)示;或vA∥vB,但AB不垂直于vA、vB,如图(f)示。在这两种情况下,瞬心在无穷远处。表明平面图形在此瞬时的角速度等于零。

图形上各点的速度相等,这种情况称为瞬时平移。平面图形为瞬时平移时,此瞬时平面图形的角速度等于零,但角加速度不一定等于零,平面图形上各点的速度相等,但加速度并不相等


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  • 确定速度瞬心位置的方法

  • 如果平面图形沿某固定面只滚动而不滑动,如图示。则图形与固定面的接触点就是瞬心I。


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  • 确定速度瞬心位置的方法


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例8-2 汽车以速度v沿直线道路行驶,已知车轮的半径为r,车轮在路面上滚动而不滑动,如图示。试求轮缘上M1、M2、M3、M4、M5各点的速度。


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解:车轮只滚不滑,所以车轮与地面的接触点I就是瞬心

轮心O的速度等于汽车行驶速度


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例8-3(8-1) 在图所示的曲柄连杆机构中,曲柄OA长r,连杆AB长l,曲柄以匀角速度转动,当OA与水平线的夹角= 45时,OA正好与AB垂直,试用瞬心法求此瞬时AB杆角速度和滑块的速度

解:连杆AB在图示瞬时的速度瞬心为I

连杆在这瞬时的角速度为AB


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vA = r

由图的几何关系:

vB的方向和AB的转向如图示


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A、B两点速度方向已知

从A、B两点分别作vA、vB的垂线,其交点O即为AB杆在该瞬时的瞬心


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例8-4 四连杆机构如图示,已知曲柄OA长r,连杆AB长2r,摇杆O1B长 。在图示瞬时,四连杆机构中的点O、B和O1位于同一水平线上,而曲柄OA与水平线垂直。如曲柄的角速度为O,求点B的速度。


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例8-5 图所示机构中,已知各杆长OA=20 cm,AB=80 cm,BD=60 cm,O1D=40 cm,角速度O=10 rad/s 。求机构在图示位置时,杆BD的角速度、杆O1D的角速度及杆BD的中点M的速度

解:研究AB杆,求vB由速度投影定理知


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取BD杆研究

BD杆的速度瞬心为D

由于BD杆上的D点和瞬心重合,则


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第四节 平面图形内各点的加速度

在图示瞬时,已知O点的加速度为aO,图形的角速度为、角加速度为。取O点为基点,则图形上任一点M的牵连加速度为

M点的相对加速度是平面图形绕O转动时的加速度


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根据牵连运动为平移的加速度合成定理,平面图形内任一点的加速度

平面图形内任一点的加速度,等于基点的加速度与绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和


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例8-6(例8-1) 在图所示的曲柄连杆机构中,曲柄OA长r,连杆AB长l,曲柄以匀角速度转动,当OA与水平线的夹角= 45时,OA正好与AB垂直,试求此瞬时连杆AB的角加速度和滑块B的加速度

x

解:以A为基点,B点的加速度

大小不知


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x

X轴投影

AB方向投影


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例8-7在例8-4中,如曲柄的角加速度,其它条件不变,试求B点的加速度。已知曲柄OA长r,连杆AB长2r,摇杆O1B长 。在图示瞬时,四连杆机构中的点O、B和O1位于同一水平线上,而曲柄OA与水平线垂直。如曲柄的角速度为O,


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  • 以A点为基点

轴:


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负号表示 的实际指向与假设相反

B点加速度的大小

aB与O1B杆的夹角为

是负值,表明B点的加速度aB应沿BO1杆的右上方,与BO1的夹角B=83.41


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例8-8曲柄OA = r,以角速度绕定轴O转动。连杆AB = 2r,轮B半径为r,在地面上滚动而不滑动,如图示。求曲柄在图示铅直位置时杆AB及轮B的角加速度。


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  • 速度部分

连杆AB作平面运动,此瞬时,vA∥vB,而AB不垂直于vA。连杆AB作瞬时平移,其瞬心在无穷远处,AB=0

轮B作平面运动,轮与地面间无相对滑动,则接触点C为轮B的速度瞬心


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:

:

  • 求加速度

选A为基点,B点的加速度

AB杆在图示位置作瞬时平移,其角速度等于零,但其角加速度并不等于零


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B点是轮心,距地面的距离始终为r

X:

Y:

轮B与地面的接触点C是速度瞬心,那么,此点有没有加速度呢?

以B为基点

速度瞬心C不一定是加速度瞬心


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