1 / 29

一、基本概念 1.代数系统 运算, S n  S 的映射称为 S 上的 n 元运算

一、基本概念 1.代数系统 运算, S n  S 的映射称为 S 上的 n 元运算 代数系统 : 一个非空集合 S, 与一个或若干个定义在 S 上的运算 Q 1 ,…,Q k (k  1), 就构成了一个代数系统, 表示为 [ S;Q 1 ,…,Q k ] 。 单位元,结合律,交换律,逆元,零元,分配律 同态,同构. 2.相容

Download Presentation

一、基本概念 1.代数系统 运算, S n  S 的映射称为 S 上的 n 元运算

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 一、基本概念 • 1.代数系统 • 运算, SnS的映射称为S上的n元运算 • 代数系统:一个非空集合S,与一个或若干个定义在S上的运算Q1,…,Qk(k1),就构成了一个代数系统, 表示为 [S;Q1,…,Qk]。 • 单位元,结合律,交换律,逆元,零元,分配律 • 同态,同构

  2. 2.相容 • 设“~”为S上的等价关系,“*” 为S上的二元运算。若对任意a,b,c,dS,当a~b,c~d时,必有ac~bd,则称等价关系~与运算 是相容的,称~为代数系统[S;]的相容等价关系。 • 3.半群,拟群,群 • 有关定理 • 4.元素的阶和群的阶 • 定义,结论

  3. 5.子群与陪集 • 概念,定理,陪集的实质 • 6.商群与群同态基本定理 • 7.环的基本概念 • 环的零元,环的单位元,交换环 • 在环中讨论元素可逆 • 1-un=(1-u)(1+u+u2++un-1) • 8.特征数 • 整环的特征数9.子环,理想,商环 • 9.主理想,主理想环 • 10.多项式环

  4. 11.扩域与单扩域 • 线性空间与域的关系 • 素域 • 12.代数元与代数扩域 • 极小多项式 • 13.根域 • 根域的存在性与唯一性(同构意义下) • 14.有限域,形式微商 • 15.本原元与本原多项式

  5. 二、证明及判别、计算 • 1.群 • 元素阶与群的阶 • 陪集与划分,拉格朗日定理应用,特别是补充证明的一些结论。 • 子群,正规子群的验证和证明 • 设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素a,x,x‘,若axax’则必有x x‘。证明:与G中单位元等价的元素全体构成G的一个子群。 • H={xG|xe} • 对任意的xH,xe=xe=xx-1,因此有 • ex-1,所以x-1H, • 对任意的x,yH,有xe,ye, • 即x-1xy=eye=x-1x,因此有xyxe, • 所以xyH • 用群同态基本定理证明群同构

  6. 2.环 • 理想,子环的判别 • 设环R存在唯一一个右单位元,证明该环一定存在单位元。 er为右单位元,对任意的a∈R, (era-a+er),设法证明(era-a+er)也是右单位元 • 设A是环R的理想,B是R的子集, B={b|对任意aA, ba=0},证明:B是环R的理想。 • 商环中的元素表示 • 零因子 • 用环同态基本定理证明环同构 • 求多项式的逆

  7. 3.域 • 扩域,代数元 • 求 在有理数域上的极小多项式. • 4.根域 • 确定根域,及扩张次数 • 有限域的根域存在性,唯一性证明方法 • 重根与形式微商 • Zp上n次不可约多项式根域 • 定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是GF(pn)=Zp()

  8. 5.本原元与本原多项式 • 有关定理和结论的证明 • GF(pn)的表述,化简 • 求出所有本原元,本原多项式 • 已知为GF(pn)上的本原元,怎样求出GF(pn)上的所有本原元? • GF*(pn)中的每个元素可表示为的幂次形式k。由习题14.19知,k的阶为pn -1当且仅当(k, pn -1)=1,即k为本原元当且仅当(k, pn -1)=1。因此我们就可在,2,pn-1中找出所有的本原元。

  9. 已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),怎样求出所有的n次本原多项式?已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),怎样求出所有的n次本原多项式? • 1. 为本原多项式f(x)的根,则有 • f(x)=(x-)(x-p)(x-p2)(x-pn-1) • 2.已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),求所有n次本原多项式的方法是: • (1)先求出f(x)的一个根,即本原元,然后求出GF(pn)中的所有本原元, • (2)根据求出的本原元按结论1中的方法构造其他本原多项式. • 3.凡不可约多项式若有一个根是本原元,则它的所有根都是本原元,即,它一定是本原多项式.

  10. 已知x4+x+1是Z2上的本原多项式,设是x4+x+1的根, (1)求出GF(16)上的所有本原元,并用的幂次形式表示.(2)求出Z2上的所有四次本原多项式。 • 与15互质:1,2,4,7,8,11,13,14 • ,2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, • (x-)(x- 2)(x- 4)(x- 8) • (x-7)(x- (7)2)(x- (7)22)(x-(7)23) • =(x-7)(x- 14)(x- 13)(x-11)

  11. 定理2(艾森斯坦(Eisenstein)判别法):设f(x)=a0+a1x+…+anxn是整系数多项式,若能找到一个素数p,使得定理2(艾森斯坦(Eisenstein)判别法):设f(x)=a0+a1x+…+anxn是整系数多项式,若能找到一个素数p,使得 • (1)p不能整除an; • (2)p|a0,a1,┅,an-1; • (3)p2不能整除a0; • 那么,f(x)在有理数域上不可约。 • 1.证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不可约多项式。 • p=3

  12. 基本概念要清楚 • 熟知的数集上性质 • 注意按照定义和规则,不能想当然 • 要有一定的灵活,善于思考

  13. 考题类型: • 判断说明理由; • 证明,说明,计算 • 考试时间:5月8日9:50—11:35 • 地点:Z2108 • 占总分40%

  14. 第十六章 格与布尔代数 §1 偏序与格

  15. 一、格的一般概念 • 偏序集(P;≤)是由一个非空的集合P 及在P上定义的偏序关系≤构成 • 在偏序集(P;≤)中,若对任意a,bP有a≤b或b≤a 时称P为全序。 • 定义16.1:设(L;≤)为偏序集, 如果对任意的a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。以ab=lub(a,b)表示a,b的最小上界,ab=glb(a,b)表示a,b的最大下界。

  16. 定义16.2:(L;≤)为格,如果a≤b,ab(记为a<b),且不存在uL-{a,b}使a≤u≤b,则称b覆盖a。定义16.2:(L;≤)为格,如果a≤b,ab(记为a<b),且不存在uL-{a,b}使a≤u≤b,则称b覆盖a。 • 当a<b时,如有c1,,ckL(k1),使ci+1覆盖ci(i=1,2,,k-1),且有a=c1<c2<<ck=b,则称c1,,ck为连接a,b的链。如果L的任何两个元素a<b,总有连接它们的链, 则称L是离散的。有限的离散全序集的哈斯图由一条链组成。

  17. 例:设G是一个群,L(G)表示G的所有子群构成的集合,则L(G)关于集合包含关系构成一个偏序集,例:设G是一个群,L(G)表示G的所有子群构成的集合,则L(G)关于集合包含关系构成一个偏序集, 并且是格. 称为G的子群格 • 例:设G是一个群,P(G)表示G的所有正规子群构成的集合,则P(G)关于集合包含关系构成一个偏序集 并且是格. 称为G的不变子群格

  18. 例:设B={0,1},≤n为定义在Bn上的关系, 对任(a1,,an),(b1,,bn)Bn, (a1,,an)≤n (b1,,bn)当且仅当ai≤nbi(1in),显然这是一个偏序关系。并且(Bn,≤n)是格.

  19. 格的定义是:设(L;≤)为偏序集, 如果对任意的a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。 • 定义16.3(L;≤)为偏序集, 当任AL有最大下界,最小上界时,L显然是格,称为完全格。L自身的最小上界是整个格L的最大元,记为1;L自身的最大下界为整个格L的最小元,记为0。于是任xL,x≤1,0≤x。 • 注意: 此处的子集A可以是有限的, 也可以是无限的。 • 例如前面的子群格L(G)是完全格.

  20. 例:取S={a,b,c},(P(S);)是一个格,其最大元是S={a,b,c},最小元是。任取一个子集合有最大下界和最小上界, 如{{a},{a,c},{c}}的最大下界是,最小上界是{a,c};它是一个完全格。 • 要说明的是并不是所有的格都是完全格.

  21. 二、作为代数系统的格 • (L;≤)为偏序集, 如果对任意的a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。以ab=lub(a,b)表示a,b的最小上界,ab=glb(a,b)表示a,b的最大下界。而最小上界和最大下界都是L中的元素。 • 在格(L;≤)中,对任意两个元素a,bL,可唯一确定ab和ab,且它们都属于L,和看作为集合L上的2个二元运算

  22. 定理16.1:(L;≤)为格,则对任意a,bL有: • (1)a≤ab,b≤ab,ab≤a ab≤b; • (2)a≤b当且仅当ab=b; • (3)a≤b当且仅当ab=a。

  23. 非空集合L上和这两个二元运算所具有性质,[L;,]为一个代数系统。非空集合L上和这两个二元运算所具有性质,[L;,]为一个代数系统。 • 定理16.2:(L;≤)为格,任a,b,cL有: • L1幂等律:aa=a,aa=a; • L2交换律:ab=ba,ab=ba; • L3结合律:a(bc)=(ab)c, • a(bc)=(ab)c; • L4吸收律:a(ab)=a, a(ab)=a。

  24. 对于一个代数系统[L;,],其中,为L上的二元运算,它们满足L1~L4,此时有何特点对于一个代数系统[L;,],其中,为L上的二元运算,它们满足L1~L4,此时有何特点 • 引理16.1:在[L;,]中二元运算,满足L1~L4,则对任a,bL,ab=a,当且仅当ab=b。 • 引理16.2:在[L;,]中,,满足L1~L4,定义在L上定义二元关系≤:对任意a,bL,a≤b,当且仅当ab=b,则(L;≤)为偏序集。 • 自反: • 反对称: • 传递:

  25. 在代数系统[L;,]中,,满足L1~L4,定义在L上定义二元关系≤:对任意a,bL,a≤b,当且仅当ab=b,则(L;≤)为偏序集。在代数系统[L;,]中,,满足L1~L4,定义在L上定义二元关系≤:对任意a,bL,a≤b,当且仅当ab=b,则(L;≤)为偏序集。 • (L;≤)是否为格? • 关键证明存在最小上界和最大下界 • 因此考虑是否能证明ab,ab为最小上界和最大下界 • 先证明ab是a和b的上界, • 即是否成立a≤ab, b≤ab • L1~L4 • 然后证明ab为a和b的最小上界 • 即证明若存在uL,使得a≤u,b≤u, • 必有ab≤u

  26. 定理16.3:如引理16.2所得之偏序集(L;≤)为格。 • 定义16.4: [L;,]为一代数系统,,为定义在L上的二元运算,当其满足L1~L4时,称L为格。并称为积(或交),为和(或并)

  27. 例:Z+表示正整数集,对任意a,bZ+,定义:ab=(a,b) (最大公因子) ab=[a,b] (最小公倍数) ,是Z+上的二元运算 它们满足L1~L4 取Z+的子集P={2n|n=1,2,} 有最大下界2,无最小上界,所以它不是完全格。

  28. 作业P219 3,8,9

  29. L1幂等律:aa=a,aa=a; • L2交换律:ab=ba,ab=ba; • L3结合律:a(bc)=(ab)c, • a(bc)=(ab)c; • L4吸收律:a(ab)=a, a(ab)=a。

More Related