계 량 분 석

계 량 분 석 이 승 재 2011. 00. 00

계량 분석 3주차 선형계획법

계량 분석 3주차 Contents • 1.OR의 정의 • 2.선형계획법(LP)의 정의(definition) • 3.모형(model)이란? • 4.선형계획모형의 예시(example) • 5.선형계획의 표준형(standard form) • 6.실행가능기저해(basic feasible solution) 참고문헌:계량경영학 (남익현 저)

계량 분석 3주차 Operations Research의 정의 • 시스템(조직)의 설계와 운영과정에서 발생하는 경영의 문제를 종합적으로 모형화하여 표현하고 계량적, 체계적으로 분석하여 우리의 의사결정과 행동을 안내하는 과학이며, 그 최적의 해를 찾는 기법과 도구 • Operations Research를 직역하면 작전연구가 되며, 이것은 OR의기원이 전쟁 시 작전 연구에 있었음을 의미 필요성 • 예전과 달리 간단한 문제에서도 의사결정의 결과를 예측하기가 어려운 경우가 증대됨 • 의사결정의 환경의 복잡성, 불확실성, 의사결정 자체의 복합성 등으로 인해 의사결정을 경험에 의한 지식과직관에만 의존할 것이 아니라 보다 과학적이고 체계적으로 접근할 것을 요구함.

계량 분석 3주차 선형계획법이란? • 주어진 목적을 달성하기 위하여 어떻게 제한된 자원을 합리적으로 배분하느냐에 대한 의사결정문제를 해결하기 위하여 개발된 수리적 기법 • 구체적으로 표현하면 선형계획법은 1차 식으로 나타낼 수 있는 여러가지 제약조건하에서 1차방정식으로 된 목적함수의 최대화 혹은 최소화를 달성할 수 있도록 자원을 배분하는 기법 • 현실세계의 중요한 특성을 수식화 • 모형이 구성되면 최적해를 구하는 것이 주된 목적 • 모형의 최적해를 바탕으로 현실세계에 적용 • 모형이 현실세계를 제대로 반영해야… • 현실의 반영도와 모형의 간결성은 두 마리토끼

계량 분석 3주차 선형계획법이란 목적함수와 제약식을 가지고 최적해에 도달하는 과정이다

계량 분석 3주차 선형의 4가지 가정과 조건 • 비례성(proportionality) : 함수의 제약조건이 의사결정변수 x에 비례하며, 제약조건만 비례적인 것이 아니고 목적함수도 비례성을 띤다. • 가산성(additivity) : 변수의 공헌은 다른 변수들의 존재와는 독립적, 가산성이 깨진다면 NON-LP 형태를 나타낸다. • 가분성(divisibility) : 단위가 소수로 표현가능 (단 Integer program 은 정수만 나오기 때문에 가분성이 존재하지 않는다.) • 확실성(certainty) : 상수값들이 단기간 불변이라고 가정, 확실성과 관련해서는 Random variable(확률변수)가 있는데, 확률변수는 event를 real number에 대응시키는 함수역할을 한다.

계량 분석 3주차 Optimization • Optimization - 최대값이나 최소값을 구하는 문제라고 정의할 수 있으며, 최적화는 scale이 크므로 computer를 이용하여 계산한다. • Computer의 특징은 단순하다는 것과 단시간에 반복계산을 할 수 있다는 점이다. 그래서 사용자는 algorithm을 부여하여 computer가 반복적인 계산을 할 수 있도록 해야한다 • 최소값과 관련된 최적화 문제라면 convex function (볼록 함수)이고, 최대값과 관련된 문제라면 concave function (오목함수)이다. 또는 목적함수가 최대이면 ascent, 최소이면 descent 라고도 한다.

계량 분석 3주차 Linear & Non-linear program • Linear program의 특징은 Large scale의 문제를 쉽게 해결할 수 있다는 점과 error의 파급효과가 크지 않다는 것이다. • Non-linear program 은 small scale의 문제를 해결할 수 밖에 없다. (error의 파급효과가 클 가능성이 높기 때문에)

계량 분석 3주차 Transferability , Trial & error • 전이성은 temporal(시간적) 과 spatial(공간적) 두 가지로 나뉜다. • 만약과거의 것을 지금에도 적용할 수 있다면 temporal transferability, 미국에서의 사례를 한국에도 적용할 수 있다고 한다면 spatial transferability 이라 한다. • 문제 해결을 하는 데에 항상 성공할 수는 없기 때문에, calibration 과 validation 을 반복해야 한다. 이를 trial & error라 한다.

계량 분석 3주차 효용의 단위 • U(효용,Utility)가 시간과 비용의 합의 함수로 다음과 같이 있다고 하자. • 이때, 효용은 단위가 없고, 시간과 돈은 단위가 다르기 때문에 시간과 돈에 각각α,β (1/시간,1/원 등의 역수 단위)라는 parameter를 도입한다. * VOT (Value Of Time) = 원 / 시간

계량 분석 3주차 의사결정변수/목적함수/제약식최적해/최적목적함수값 Example1) 한 달간 사용할 수 있는 설탕의 양은 7봉지.밀가루는 14봉지 과자 한 상자 생산을 위해 설탕 2봉지 .밀가루 1봉지 빵을 한 상자 제조하기 위해 설탕 1봉지밀가루 4봉지 과자는 한 상자당 3원의 이익이 생기고. 빵은 한 상자당 2원의 이익이 생긴다. 이 경우 이익을 최대화하기 위해 과자와 빵의 생산량을 얼마로 하여야 하는가?

계량 분석 3주차 의사결정변수/목적함수/제약식 • 과자 생산량을 X1, 빵의 생산량을 X2라 하면, X1과 X2는 의사결정변수(decision variables)가 된다. (의지를 가지고 선택할 수 있는 변수) • 목적함수는 최대화 또는 최소화하기 위한 식을 의미하는데 이 예에서는 최대화를 위한 이익함수 3X₁+ 2X₂가 목적함수(objective function)이다. • 제약식은 의사결정변수의 선택폭에 영향을 미치는 현실상의 제약환경을 의미 (의사결정자가 결정할 수 없는 내용)

계량 분석 3주차 최적해/최적목적함수값 • 최적화모형에서 목적함수를 가장 좋게 만드는 의사결정변수의 값을 최적해(optimal solution)라고 부른다. • 최적해에 대한 목적함수 값을 최적목적함수값(optimal objective function value)이라고 한다. • 최적화의 모형에서 목적함수와 제약식이 모두 선형식으로 표시되어 있는 것을 선형계획법(LP)라고 한다.

계량 분석 3주차 목적함수 z=3x₁+2x₂제약식- (1) 2x₁+x₂≤7:설탕 (2) x₁+4x₂≤14:밀가루x₁,x₂≥0 • x₂ • 7 (1) • (2,3) 3.5 (2) z=3x₁+2x₂ 3.5 x₁

계량 분석 3주차 LP의 장단점과 한계성 1.장점 • 문제가 잘 추상화 되었고 또한 계산이 도중에 틀리지 아니 하면 이것이 이상적인 계획임은 수학적으로 엄밀히 증명되며 그 이상의 좋은 계획은 이론적으로 존재할 수 없다고 본다. • 2.단점 및 한계성 • 1차성의 가정이 현실적으로 매우 제한적인 상황. 정비례하지 않는 경우는 LP를 사용할 없다. • 미지수나 조건식이 많아지면 계산법은 간단하다고 할지라도 가감승제의 계산이 몇 천번이나계속해야되므로 계산이 지루하여지고 착오를 초래하게 된다. 실제로 활용될 수 있는 효과를 얻기 위해서는 미지수나 제한식이 많아진다는 것이다.

계량 분석 3주차 선형계획의 표준형 (여유변수) 의사결정변수(미지수)가 많아지면 도식화하기 힘들다 대수적(algebraic form)으로 나타낼 필요가 발생. 앞에서 다룬 예제의 제약식을 등식으로 표시되는 방정식의 형태로 바꿀 수 있다. ①부등호의 방향이 (≤)인경우 2X₁+X₂≤7 0≤7-2X₁-X₂=S 2X₁+X₂+S=7 , S≥0 (S는 비음제약조건(non negative constraint)을 만족하는(=0 이상의) 변수 s(slack variable, 여유변수라고 부름)

계량 분석 3주차 선형계획의 표준형 (초과변수) ② 부등호의 방향이 (≥)인 경우 2X₁-X₂≥5을 표준화하기 2X₁-X₂-5≥0 2X₁-X₂-5=r₁, r₁≥0 정리하면, 2X₁-X₂-r₁=5 ,r₁≥0 r= 초과변수(surplus variable) :부등호(≥)으로 표시된 제약식을 초과하여 만족하는 정도를 나타냄 초과변수도 여유변수와 마찬가지로 목적함수에 공헌하는 바가 없으므로 공헌율=0이다!

계량 분석 3주차 • 선형계획모형을 표준형(standard form)으로 표시해보기!Max: z=7x₁+x₂+3x₃ s.t. x₁+x₂+x₃≤6 ……….(1) 2x₁-x₃≥5 ……….(2)x₂≤-6 ...……..(3)x₁,x₂,x₃ ≥0 • (0이상인 양수조건)을 만족하는 변수 s₁,r₁,r₂를 도입하여 다음과 같이 표시 할 수 있다. Max: 7x₁+x₂+3x₃ s.t. x₁+x₂+x₃+s₁=6 2x₁-x₃-r₁=5 -x₂-r₂=6 x₁,x₂,x₃,s₁,r₁,r₂ ≥0

계량 분석 3주차 선형계획의 표준형 • 선형계획모형에서 • 1)모든 제약식을 등식의 형태로 표시하고 • 2)우측상수가 0이상으로 나타나고 • 3)모든 변수가 0 이상이라는 비음제약을 충족시키도록 한 경우를표준형(standard form)이라고 부른다. • 일반적인 선형계획모형은 항시 표준형으로 변환시킬 수 있다. • 어떠한 선형계획모형도 표준형으로 변환시킬수 있으므로 표준형에 대한 풀이법만을 개발하면 모든 선형계획모형의 최적해를 구하기 위한 해법인 심플렉스법에서는 표준형으로 표시된 선형계획모형을 대상으로 한다.

계량 분석 3주차 실행가능 영역(feasible region) • 실행가능영역(feasible region): 제약식을 만족시키는 의사결정변수들의 집합 • 실행가능영역의 경계를 구성하는 점들 중의 일부인 꼭지점 혹은 모서리점(corner point)에서 최적해가 나온다. (실행가능영역의 안쪽에 있는 내점(interior point)이 최적해라면 항상 더욱 좋은 목적함수 값을 제공하는 실행가능 해가 존재한다는 사실과 모순)

계량 분석 3주차 s₁과 s₂에 0의 값을 대입하면 2x₁+x₂=7 x₁+4x₂ =14 x₁=2,x₂=3 b a x₁과 s₂를 0으로 한 경우 x₂=7/2 s₁=7/2

계량 분석 3주차 실행가능기저해는 실행가능영역의 꼭지점이다. 실행가능기저해 중에서 목적함수를 최대화하는 것을 고르면 된다. 최적해를 찾아가는 방법은 심플레스해법(simplex)에서

계량 분석 3주차 Supplement[basic feasible solution] max: z= 3x₁+x₂ s.t. 2x₁+x₂+s₁=7 …..① x₁+4x₂ +s₂ =14 ……② x₁, x₂, s₁ ,s₂ ≥0 미지수는 x₁, x₂, s₁ ,s₂ 이렇게 4개이고 조건식은2개이므로 미지수의 총개수4개에서 조건식의 개수 2개를 뺀 만큼 미지수에 0을 대입한다. 경우의 수는 4개에서 2개를 선택할 확률인 ₄C₂를 계산하면 4X3/2=6(가지)이다. 6가지 combination을열거해보면 (x₁, x₂), (x₁ s₁) (x₁ ,s₂) (x₂ s₁) (x₂, ,s₂) (s₁ ,s₂) 가 된다. 이제 이 combination에 직접 0을 대입하여 연립방정식을 풀어보자.

계량 분석 3주차 기저해(basic solution) 1. (x₁, x₂)에 0 대입 (x₁, x₂, s₁ ,s₂)=(0,0,7,14) 2. (x₁, s₁)에 0대입,(x₁, x₂, s₁ ,s₂)=(0,7,0,-14) 3. (x₁, s₂)에 0대입(x₁, x₂, s₁,s₂)=(0,7/2,7/2,0) 4. (x₂, s₁) 에 0대입(x₁, x₂, s₁ ,s₂)=(7/2,0,0,7/2) 5. (x₂, s₂) 에 0대입(x₁, x₂, s₁ ,s₂)=(14,0,-21,0) 6. (s₁, s₂) 에 0대입(x₁, x₂, s₁ ,s₂)=(2,3,0,0) 이 6가지 조합을 기저해(basic solution)라고 한다.

계량 분석 3주차 6가지 조합(기저해) 중에서 0이상인 실수 (non negative constraint)를 만족하는 조합은 4가지이며 이 조합의 (x₁, x₂)는 (0,0), (0,7/2) , (7/2,0) (2,3)! 이를, 실행가능기저해 (basic feasible solution) 라고 한다.

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