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1. 導入 2. 二体 RGM kernel を 用いた四体 Faddeev-Yakubovsky 方程式

二体クラスター RGM kernel を用いた 四体 Faddeev-Yakubovsky 方程式 --- 4 d ’ と 4  系への応用 ---. 京大理　藤原義和. 1. 導入 2. 二体 RGM kernel を 用いた四体 Faddeev-Yakubovsky 方程式 同種 4 boson 系の Faddeev-Yakubovsky 方程式 Faddeev redundant components 5. 4 boson 系 : 4 d ’ 系と 4  系への応用 6. まとめ.

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1. 導入 2. 二体 RGM kernel を 用いた四体 Faddeev-Yakubovsky 方程式

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  1. 二体クラスターRGM kernel を用いた 四体Faddeev-Yakubovsky 方程式 --- 4d’ と 4系への応用 --- 京大理　藤原義和 1. 導入 2. 二体 RGM kernel を用いた四体 Faddeev-Yakubovsky方程式 同種 4 boson 系の Faddeev-Yakubovsky方程式 Faddeev redundant components 5. 4 boson 系: 4d’ 系と 4 系への応用 6. まとめ

  2. 1.8 fmfor 0 核子サイズ  0.8 fm 原子核物理における素朴な疑問 核子を点粒子として扱い、簡単な有効相互作用を用いて ほぼ正しく核構造、核反応が記述されるのは何故か? それには(いくつかの) 前提がある、それを無視して単純に推論すると、思いがけない落とし穴に陥る場合がある・・・ (自戒の念をこめて) • ここで議論すること 3 OCM(北大グループや肥山さんの計算) , 4 OCM (船木 et al. ) では大きな(斥力の) 3 力、4 力が必要, その起源は何か? 核力における 3 体力のヒント? • 2 • 3 • 4 threshold S. Oryu Y. Suzuki, D. Baye macroscopic model semi-microscopic model  microscopic model 8Be  7 MeV present model •  14 MeV 3 力: 3  4  12 MeV • 12C RGM,GCM, ... • 4 力:  15 MeV by Funaki 16O

  3. 枠組み: 2 体クラスター RGM kernel を用いた 3 体, 4 体クラスター Faddeev-Yakubovsky方程式  phase shift を再現するような有効 2 体力: Minnesota 3-range force Volkov No.2 force etc. 3 系 • Phys. Rev. C70, 024002 (2004), Few-Body Systems 34, 237 (2004) • Phys. Lett. B659 (2008) 160; Phys. Rev. C76, 054003 (2007) 3 体にまたがる反対称化の効果  2 MeV 程度の引力 大きく overbound する　 > 30 MeV compact すぎ rms radius  2.0 – 2.2 fm vs. exp. 2.7 fm • 4 系ではどうか? 予想された結果? D.M. Brink and E. Boeker Nucl. Phys. A91, 1 (1967) 多分 3 体, 4 体クラスター間にまたがる反対称化の効果は小さい。しかし、有効相互作用の問題がある。 問題は単純ではない。いくつかの視点が必要。

  4. Itagaki et al., Prog. Theor. Phys.94 (1995) 1019 Descouvemont et al., J. Phys. G25 (1999) 933 1. 反対称化の効果 (3 RGM, 4 RGM との比較によって可能) Pauli 原理の dual role (玉垣　PTP Supplement 52, 1972) healing を通じた一体場の形成の論理 (G-行列理論)  damped inner oscillation (構造的斥力) clustering を加速 Wigner の spin-isospinsupermultiplet と空間SU3対称性 (00) の特殊性 2. 有効相互作用の問題 tensor force の役割: 重い核ほど中心力引力への2次の繰込みが減少 RGM では Majonaramixture parameter u (Minnesota force) or m (Volkov force) で調整。しかし、これは odd force の強さの調整で別物。 Hasegawa-Nagata-Yamamoto force の  が対応。  クラスターの崩れと LS力の役割。特に, 3で重要。(Itagaki) 3  クラスターの広がりパラメータの選択: 自然な の広がりでO.K.か? 基底状態と励起クラスター状態との一貫性? 2, 3, 4 を通じて, rms radius と EBを同時に 再現する様な有効相互作用は存在しないのか?

  5. 多クラスター Faddeev-Yakubovsky方程式の満たすべき要件 • 変分法 (h.o. basis, SVM, Gauss 展開法, 等) と (同一のinput で) 同じ結果を与える。 • 現象論的2 体クラスター間ポテンシャルではなく, 構成粒子間の 2 体力から出発して RGM kernel を作る  Pauli forbidden state uは “クラスター相対運動に対する直交条件” として自然に出る。… 2 体RGM kernel を用いた対直交条件型 (堀内型) OCM • 例えば2, 3, 4 と通して議論できる。Induced 3-body force (3 クラスターにまたがる反対称化の効果) や 2クラスター間力の off-shell変換の効果 (エネルギー依存性を除去したことによる 1/ Nの効果, 等) を議論できる。 … 核力における Vlow-kや SRG 変換に対するヒントを与える? • 2体クラスター間にパウリ禁止状態があるときのFaddeevredundant component が適切に処理できて、方程式が実際解けること。3体は簡単だが、4体以上では自明でない。…）

  6. 4 case i<j|ui,j ui,j|ψ=|ψ in |ψ[4] Projection operator onto the (pairwise) Pauli-allowed state  = 0 : パウリ許容　　Þ= |ψψ|  > 0 : パウリ禁止　|ψ= (1/) i<j |ui,j ui,j|ψ • : 4-cluster OCM using • energy-independentVRGM : 4-cluster Faddeev-Yakubovsky equation using RGM T-matrix Cf. Non [4]-symmetric trivial solutions in the 4α systemare removable. (Faddeev redundant components)

  7. 4 体同種 Fermion/Boson 粒子系の Faddeev-Yakubovsky 方程式 q3 p3 3 12 (12s12)I12 Imax= 6 12+3+4, 12+34+  (sum)max by A. Nogga, Ph.D. thesis

  8. Faddeev redundant components 1) Y-type 座標における 3体部分系の redundant component : (1+P)|uf=0 2) 2体 - 2体の H-type 座標における core exchange type の redundant component : (1+P)|uu=0 3) genuine 4体系の redundant component :      we can prove   trivialsolution

  9. 4) modified Faddeev-Yakubovsky equation :     for identical 4-boson systems

  10. 4d’ case isospin 自由度を無視した 4 の模型 • d’ d’ RGM の parameter (Pauli forbidden state: (0s) only) • v = v0 e-r2(1+Pr)/2 (pure Serber) with = 0.46 fm-2 •  = 0.12fm-2, v0 =  153 MeV(151  152 MeV で bound) S. Saito, S. Okai, R. Tamagaki and M. Yasuno, Prog. Theor. Phys. 50 (1973) 1561 • 4case • RGM の parameter (Pauli forbidden state: (0s), (1s), (0d) ) • Volkov No.2 m=0.605, b=1.36 fm (=0.27fm-2)(Baye’s parameter) • E2= 1.105 (0.252) MeV red: with Coulomb • E3= 7.391 (2.307) forNtot=60 • E4= 38.96 (25.77) forNtot=20 vs. -39.15 MeV (Faddeev) • M. Theeten et al., Phys. Rev. C76, 054003 (2007)

  11. v = v0 e-r2(1+Pr)/2 (pure Serber)  = 0.12fm-2,  = 0.46 fm-2, v0 = 153 MeV 4d’ energy and rms radius Faddeev-Yakubovsky (6-6-3 mesh) h.o. variation (total quanta Ntot) • summax = 6 で大きく変化する : • [(20)(20)](02)(20):(00) のため • h.o. basis: convergence is very slow • E3d’ =  0.417 MeV (Ntot=60) : small • E2d’ = 0.05 MeV (Ntot=100) v0 = (151  152) MeVで bound

  12. 4 energy and rms radius Volkov No.2 m=0.605, b=1.36 fm Faddeev-Yakubovsky (4-4-2) h.o. variation (red: with Coulomb) (rms)exp= 2.7100.015 fm • largely overbound • summax=12 で大きく変化する [(40)(40)](04)(40):(00) のため • b を大きくとって rms radius を大きくしても overbinding は不変 E2= 1.105 (0.252) MeV E3= 7.391 (2.307) forNtot=60 Cf. S. Oryu, H. Kamada, H. Sekine, T. Nishino, and H. Sekiguchi, Nucl. Phys. A534 (1991)221

  13. まとめ 2体クラスターRGM kernel を用いた 4 体Faddeev-Yakubovsky方程式を解くことにより, 4d’ 系と 4 系の基底状態の結合エネルギーと平均 2 乗半径を計算した。結果は、3 体までの実験値を出来るだけ再現する有効核力で 大きく overbound する。また、rms radius は小さすぎる。 Present results ! • M. Theeten et al., Phys. Rev. C76, 054003 (2007)  RGM is u (or m) independent. b = 1.36 fm ( = 0.27)

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