Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

1. МОУ «Средняя общеобразовательная школа №42 с углубленным изучением английского языка и математики» г.Петрозаводск Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций Рулева Т.Г.

2. «Все науки настолько связаны между собою, что легче изучать ихвсе сразу, нежели какую-либо одну из них в отдельности от всех прочих». Рене Декарт Рулева Т.Г.

3. Методы решения систем уравнений: - подстановки; - алгебраического сложения; - введения новых переменных; - графический. Рулева Т.Г.

4. Алгоритм решения задачи с помощью системы уравнений: 1.Обозначить неизвестные элементы переменными; 2.Составить по условию задачи систему уравнений; 3.Определить метод решения системы уравнений; 4.Выбрать ответ, удовлетворяющийусловию задачи. Рулева Т.Г.

5. Этапы решения задачи: • Первый этап. Составление математической модели. • Второй этап. Работа с составленной моделью. • Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Рулева Т.Г.

6. Л. Н. Толстой «Арифметика» У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овецбольше, чем у другого. Сколько у каждого овец? Iэтап. Обозначим х - число овец у первого мужика, у – у второго. х + у = 35 х – у = 9 IIэтап.(решаем методом алгебраического сложения). IIIэтап. Ответ: 13 и 22. Рулева Т.Г.

7. Илья Ильф и Евгений Петров «Двенадцать стульев» Рулева Т.Г.

8. Задача. «Потом отец Федор подошел к комоду и вынул изконфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке оставалось еще 20 рублей». Сколько трех- и пятирублевок отец Федор взял и сколько оставил? Ну, а чтобы обеспечить единственность решения, добавим условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок. Теперь найдите решение. Рулева Т.Г.

9. Решение: а) Пусть взято x трехрублевок и y пятирублевок 3x+5y=50 5 и 7 10 и 4 15 и 1 б) а – осталось трехрублевок b – осталось пятирублевок 3а+5b=20 5 и 1 0 и 4 Получим:5 трехрублевок и 7 пятирублевок или 10 трехрублевок и 4 пятирублевок взял отец Федор. Рулева Т.Г.

10. Задачи от Н.Носова Рулева Т.Г.

11. Задача № 1. «Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Они сорвали всего 120 штук. Девочка сорвала в два раза меньше мальчика. Сколько орехов собрал каждый из них?» Решение: Iэтап. Пусть мальчик сорвал х ор., а девочка у ор. х =2у х + у=120 IIэтап. (решаем методом подстановки). IIIэтап. Ответ: мальчик сорвал 80 ор., а девочка сорвала 40 ор. Рулева Т.Г.

12. Задача № 2. «В магазине было 8 пил, а топоров в три раза больше. Одной бригаде плотников продали половину топоров и три пилы за 84рубля. Оставшиеся топоры и пилы продали другой бригаде плотников за 100 рублей. Сколько стоит один топор и одна пила?» Решение: Iэтап. Пусть топор стоит х руб., а пила стоит у руб. 12х +3у=84 12х +5у=100 IIэтап. (решаем методом алгебраического сложения). IIIэтап.Ответ: топор стоит 5 руб. и пила стоит 8 руб. Рулева Т.Г.

13. А.П.Чехов «Репетитор» «Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого сукна, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?» 1 аршин ≈ 71 см Рулева Т.Г.

14. Решение: Iэтап. Пусть черного сукна приобрел купец – х м и синего сукна – у м. Так как синее сукно стоит 5 руб. за 1м, а черное – 3 руб. за 1м, то составим и решим систему уравнений: x + y = 138 5x + 3y = 540 IIэтап. x = 138 – y 5(138 – y) + 3y = 540 5(138 – y) + 3y = 540 690 – 5y +3y = 540 -2y = -150 y = 75 x = 138 – 75 = 63. IIIэтап. Ответ: 63 (аршина) – синего и 75 (аршин) – черного сукна приобрел купец. Рулева Т.Г.

15. Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди? Iэтап. Пусть первого сплава взяли х г и второго – у г. М С М С + = х(г) у(г) 200(г) IIэтап. (метод подстановки) х + у = 200 0,15х + 0,65у =0,3*200 х = 140 и у = 60 IIIэтап. Ответ: 140г меди и 60г свинца. 15% 65% 30% Рулева Т.Г.

16. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%? Переведем проценты в дроби: 6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08 Iэтап. Пусть надо взять х т «бедной» руды и у т «богатой» руды. Первое уравнение: х + у = 20. «Бедная» руда будет содержать 0,06х т меди, «богатая» руда будет содержать 0,11у т меди. Получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08 = 1,6 т меди. Получим второе уравнение: 0,06х + 0,11у = 1,6. IIэтап. (метод подстановки) х + у = 20 0,06х + 0,11у = 1,6 Решим систему уравнений, получим х = 12 и у = 8. IIIэтап. Ответ: 12т руды с 6% содержанием меди. Рулева Т.Г.

17. Золото: Серебро = 2: 3 Золото: Серебро = 3: 7 Х кг У кг Золото: Серебро = 5: 11 Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11? Iэтап.По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава. Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение *х + *у = *1 Аналогично массу серебра и получаем уравнение * х + * у = * 1 IIэтап. Записываем одну из систем: *х+ *у = х + у = 1 х + у = 1 х + у = IIIэтап.Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875. Ответ: 125 г и 875 г. Рулева Т.Г.

18. Задания из тестов ГИА: 1.Найти пары чисел, являющиеся решением системы уравнений xy = 6, 2x − y = 11. 1) (1; 6); (6; 1) 2) (6; 1); (−0, 5; −12) 3) (1; 6); (−12;−0, 5) 4) (6; 1); (−1; −6) Ответ: 2) Рулева Т.Г.

19. 2.Прямая y=2x-3 пересекает параболу y=x2-x-7 в двух точках. Вычислите координаты точки B. у y=2x-3 y=x2-x-7 x1=-1 x2=4 А x=-1 y=2•(-1)-3=-5 0 х В (-1;-5) Рулева Т.Г.

20. 3.Вычислите координаты точки B. 2x-3y=-9 x-4y=-8 *(-2) у 2x-3y=-9 -2x+8y=16 x+y=5 2x-3y=-9 А 5y=7 y=1,4 x-4y=-8 С x-4•1,4=-8 x=-8+5,6=-2,4 В 0 х (-2,4;1,4) Рулева Т.Г.

21. Домашнеезадание: задачник под ред. Мордковича А.Г.№7.37, 7.40 и 7.53). Спасибо всем за урок! Удачи! И помните! Учение без размышления бесполезно, но и размышление без учения опасно. Конфуций. Рулева Т.Г.