Age of Empires 2

1. Age of Empires 2 Και τώρα… μια μαθηματική ανάλυση

2. Age of Empires 2 • Προβλήματα που δέχονται ανάλυση • Μοντελοποίηση/Ποσοτικοποίηση • Βέλτιστος σχεδιασμός στρατηγικής • Εφαρμογές και χρήσιμα αποτελέσματα!

3. Ερωτήματα που απαιτούν ανάλυση (και δέχονται καλώς ορισμένες απαντήσεις) • Να κάνουμε τα upgrades που σχετίζονται με οικονομία, όταν θέλουμε να επιτεθούμε γρήγορα; • Να χτίσουμε λιμάνι όταν ο χάρτης έχει λίγη θάλασσα; • Ποια είναι η πιο συμφέρουσα πηγή φαγητού; • Πόσα town centers θα οδηγήσουν στη γρηγορότερη ανάπτυξη;

4. Το πρόβλημα των Town centers • 1 Town center κοστίζει 275 wood + 100 stone • Κάθε επιπλέον εργάτης κοστίζει 50 food • Όμως κάθε επιπλέον εργάτης μαζεύει υλικά • Συμφέρει να χτίσουμε δεύτερο town center στην Castle age; • Τρίτο; Τέταρτο;… • Σε πόση ώρα θα κάνει απόσβεση της αξία του; • Συμφέρει αν θέλουμε να επιτεθούμε νωρίς;

5. Το πρόβλημα των οικονομικών upgrades • Έστω ότι θέλουμε να έχουμε σε κάποια στιγμή του παιχνιδιού μια ποσότητα χρυσού • Η τεχνολογία gold mining επιταχύνει το ρυθμό εξόρυξης χρυσού κατά 15% • Κοστίζει όμως 100 φαγητό+ 75 ξύλο • Θα μπορούσαμε να τοποθετήσουμε περισσότερους εργάτες στο χρυσό, αν δε χρειαζόταν να κάνουμε το gold mining • Τελικά πότε συμφέρει και πότε όχι;

6. Υλικά και μονάδα μέτρησης • Τις περισσότερες φορές χρειάζεται να συγκρίνουμε αξίες διαφορετικών υλικών • 1 food = 1 wood = 1 gold = 1 stone??? • Κάποια υλικά συλλέγονται γρηγορότερα • Χρειαζόμαστε μια κοινή μονάδα μέτρησης…

7. Villager-second • 1 villager-second =villager*second = κέρδος που προσφέρει ένας villager που δουλεύει για ένα δευτερόλεπτο • Για συντομία villi-secondή villi-sec ή vs • Έστω ότιένας villager μπορεί να μαζέψει: • 10 food σε 25 δευτερόλεπτα ή • 10 wood σε 20 δευτερόλεπτα τότε 1 food = 2,5 villi-seconds και 1 wood = 2 villi-seconds

8. Villager-second • Η ισχύς ενός παίκτη σε villi-seconds καθορίζεται από το πλήθος των villagers • Αν έχουμε 20 villagers, σε 1 λεπτό προσφέρουν κέρδος 20*60 = 1200 villi-sec • Μπορεί αυτό να σημαίνει 600 wood ή 480 food ή κάποιος συνδυασμός

9. Κόστος σε villager-seconds • Pikeman • 35 food = 87,5 villi-sec • 25 wood = 50 villi-sec • Συνολικό κόστος Pikeman: 137,5villi-sec • Barracks • 175 wood = 350 villi-sec • 50 δευτερόλεπτα για να χτιστεί από έναν εργάτη = 50 villi-sec • Συνολικό κόστος Barracks: 400 villi-sec

10. Υπολογισμός κόστους υλικών • Οι ρυθμοί συλλογής υλικών είναι καθορισμένοι από το παιχνίδι (food/sec, wood/sec, gold/sec, stone/sec) • Αλλάζουν αν έχουμε επιπλέον τεχνολογίες και για διαφορετικές πηγές (πχ berries, boars κλπ) • Τους βρίσκουμε με πειράματα • Κόστος σε villi-sec = 1/(ρυθμός συλλογής)

11. Gathering rates (καμιά τεχνολογία)

12. Τι πρέπει να λάβουμε υπόψη • Κόστος κατασκευής dropsite (mill/camp) • Μετακίνηση από και προς την πηγή • Και για μεγαλύτερη ακρίβεια: Φαινόμενα συνωστισμού

13. Πραγματικοί Gathering Rates - Wood • Πολλά δέντρα • Πολλοί villagers • Μεγάλο χρονικό διάστημα

14. Πραγματικοί Gathering Rates - Wood • Σε χρόνο Τδευτερόλεπτα • Με Ν εργάτες • Συλλέξαμε W μονάδες wood • Κέρδος: W-100 μονάδες wood • Χρειαστήκαμε N*T+35 villi-seconds • Κόστος της μονάδας wood σε villi-seconds: Cw=(N*T+35)/(W-100)

15. Πραγματικοί Gathering Rates - Gold • Σε χρόνο Τδευτερόλεπτα • Με Ν εργάτες • Συλλέξαμε G μονάδες gold • Κέρδος: G μονάδες gold • Χρειαστήκαμε: N*T + Cw*100 + 35 • Κόστος της μονάδας gold σε villi-seconds: Cg= (N*T + Cw*100 + 35)/G

16. Πραγματικοί Gathering Rates - Farms • Κέρδος: F μονάδες food • Κόστος wood: 60 για farm + 100/8 για mill • Κόστος χτισίματος σε vs: 15 για farm + 35/8 για mill • Κόστος συλλογής σε vs: T • Κόστος της μονάδας food σε villi-seconds: Cf=(72,5*Cw + 19,4 + T)/F

17. Πηγές φαγητού

18. Άλλα υλικά

19. Απόσβεση οικονομικών upgrades • Gold mining: 100 food + 75 wood = 100*4,33 + 75 * 3,06 = 662,5 vs • Gold cost χωρίς gold mining: 3.08 vs • Gold cost με gold mining: 2.85 vs • Κέρδος: 0.23 vs/gold • Έχω κέρδος μετά από 662,5/0,23 = 2880 gold

20. Απόσβεση οικονομικών upgrades • Double axe: 2117 wood • Bow saw: 2330 wood • Two man saw: 6097 wood • Gold mining: 2880 gold • Gold shaft mining: 4076 gold • Stone mining: 2366 stone • Stone shaft mining: 3008 stone

21. Πόσους… βοσκούς θέλουμε; • Ρυθμός εξόρυξης φαγητού από πρόβατο: 0.33 • Άρα 1 food = 3 vs • Κάθε 25 δευτερόλεπτα θέλουμε 50 food • 50*3/25 = 6 villagers είναι αρκετοί • Στην πράξη είναι 3.53 vs/food • Άρα 50*3,53/25 = 7,06 villagers • Χοντρικά 7 shepherds για συνεχή παραγωγή villagers

22. Στρατηγικές και θεωρητικά όρια • 1 villager κάθε 25 δευτερόλεπτα • Σε 25*τ δευτερόλεπτα θα έχουμε τ+3villagers • 3*25+4*25+…+(τ+2)*25 = 25*(τ+5)*τ/2 vs • Feudal age με νvillagers + loom με κ villagers: Ρ=25τ(τ+5)/2 – 50(τ-ν+2)(τ-ν-1) - 25(τ-κ+2)

23. Man at arms rush • 10 man-at-arms σε 14 λεπτά = 840s • 60food + 20 gold/man at arms • Upgrade: 100 food + 40 gold • 21 δευτερόλεπτα/man at arms • Χρόνος για upgrade: 40 δευτερόλεπτα

24. Man at arms rush • Για men at arms: 700 food + 240 gold • 1 mill + 1 lumber camp + 1 mining camp + 1 barracks + 8 houses = 795 wood • Feudal age + loom: 500 food + 50 gold • 28 villagers = 1400 food (τ=32) • Συνολικά πρέπει να συλλεχθεί 2400 food • 5 farms = 300 wood

25. Man at arms rush • Συνολικά: • 2400 food * 3.5vs/food = 8400 vs • 900 wood * 2.8vs/wood = 2520 vs • 100 gold * 2.8vs/gold = 280 vs • Άρα αθροιστικά:11200 vs • Feudal age με v=30 villagers • Loom με κ=10 villagers • Ρ=14000 vs

26. Τελικά πόσα Town centers; • Κόστος 275 wood + 100 stone = 1226 vs • Χτίσιμο 150 vs • Γλιτώνουμε ένα house = 123 vs • Συνολικά 1253 vs • Οι Ν πρώτοι εργάτες προσφέρουν Ν*(Ν-1)*25/2 vs • Αλλά κοστίζουν 218*Ν vs • Και τα αντίστοιχα houses 123*Ν/5 vs

27. Χρόνος απόσβεσης • Τελικά: 25*N*(N - 1)/2 >= 1253 + 218*N + 123*N/5 • ΆραΝ>=23 • Χρόνος απόσβεσης: 150 + 25*23 =725s = 12:05 • Αν χτίσουμε με 4 villagers: 75 + 25*24 =675s = 11:15

28. Τελικά πόσα Town centers; • Κάποτε σταματάμε την παραγωγή villagers • Με περισσότερα Town Centers σταματάει νωρίτερα • Το κέρδος;; Έχουμε villagers νωρίτερα! • Αλλά το κέρδος είναι πεπερασμένο για t->oo!!

29. Τελικά πόσα Town centers; • Για 60 επιπλέον villagers: • Με 2 town centers παράγονται σε 30*25 = 750s • Με 3 town centers παράγονται σε 20*25 = 500s • Ο πρώτος εργάτης από το 3οtown center δουλεύει +500 δευτερόλεπτα, ο δεύτερος +475 δευτερόλεπτα, ο τρίτος +500 κλπ • Άρα κέρδος (500+475)*10 = 9750 vs • Κόστος Town Center: 1400 vs Να το κάνουμε!!

30. Τελικά πόσα Town centers; • Για vεπιπλέον villagers και κ ήδη χτισμένα Town Centers: 25ν*(2ν-κ2+1)/2(κ+1)2 • Αλλαγή μεταβλητής ν->ν-3κ 25(ν-3κ)*(2ν-6κ-κ2+1)/2(κ+1)2 • Ψάχνουμε για διάφορα κ το ελάχιστο ν ώστε: 25(ν-3κ)*(2ν-6κ-κ2+1)/2(κ+1)2 > 1400

31. Τελικά πόσα Town centers; • Με… Matlab: • 2οTown Center: για +18villagers • 3οTown Center: για +30villagers • 4οTown Center: για +42villagers • 5οTown Center: για +54villagers • 6οTown Center: για +66villagers • 7οTown Center: για +80villagers • Γενικά: Χτίσε κ-οστό Town Center αν πρόκειται να φτιάξεις άλλους 12κ-6villagers!