TEMA 2: ALGEBRA

1. TEMA 2: ALGEBRA Matrices y operaciones con matrices Determinantes. Matriz inversa. Sistemas de ecuaciones lineales Teorema deRouché-Fröbenius Regla de Cramer Método de Gauss

2. MATRICES Y OPERACIONES CON MATRICES • Llamamos matriz de orden mxn sobre el conjunto de los números reales (R,+,.) a un conjunto de mxn elementos de R ordenados en m filas y n columnas: • Decimos que una matriz es cuadrada si m=n. En este caso, se define la traza de una matriz como   • Tr(A)= a11+a22+...+ann • Se dice que una matriz es diagonal si aij=0, para ij. Una matriz es nula si aij=0, i,j  • Una fila es una matriz 1xn y una columna es una matriz mx1. Se dice que una matriz es simétrica si aij=aji

3. Se denota al conjunto de las matrices mxn por Mmxn Dada una matrix A se define la transpuesta • Si A, B Mmxn, es posible calcular A+B: Dadas A= (aij), B=(bij), A+B=(cij), donde cij= aij+bij, i=1,2,...,m; j=1,2,...,n • Si R .A=(cij), donde cij= aij , i,j • Dada una matriz A Mmxn y B Mnxp, se define el producto de A por B A.B=(cij)mxp, donde

4. Propiedades:1.A.(B.C) = (A.B).C 2. A.(B+C)=A.B+A.C 3. A.BB.A 4. Si Anxn es una matriz cuadrada, I.A=A, donde I es la matriz diagonal, con aii=1, i=1,2,..., n y aij=0, si i jDefinición:La matriz inversa A-1 de una matriz cuadrada A es una matriz tal que A-1.A= IDefinición:Dada una matriz cuadrada Anxn, se define el Determinante de A, y se denota por |A|, como donde por {p1,...,pn} se denotan las posibles permutaciones de los números 1,2,... n y por [p1,...,pn] el número de translaciones usadas para llegar desde 1,2,…,n a esta permutación.

5. En particular • Regla de Sarrus: • Se define el adjunto del elemento aij , y lo denotamos como • ad(aij)=(-1)i+j.|Aij|, • donde |Aij| es el determinante de orden (n-1)x(n-1) de la matriz obtenida cancelando la fila i y la columna j. • La matriz adjunta de A es • La matriz inversade A se obtiene por la fórmula

6. Desarrollo de un determinante por filas o columnas Del mismo modo se procede para desarrollar un determinante por columnas. Se procura elegir la fila o columna con más ceros, por comodidad Es decir, |A|= a1jA1j+ a2jA2j+…+ anjAnj = ai1Ai1+ aj2Ai2+…+ ainAin

7. Propiedades de Determinantes • |A.B| = |A|.|B|; kN, k0, |Ak|=|A|k ; |A-1|= 1/|A| • |aA! = an|A| • Si A tiene una fila (o una columna) con todos los números iguales a 0, |A|=0 • Si A tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales o iguales, entonces |A|=0 • Si en una matriz A, dos filas (o dos columnas) son intercambiadas entonces el determinante de la matriz obtenida es igual a -|A| • Si en una matriz A, a una fila (o columna) le añadimos una combinación lineal de otras filas paralelas (o columnas), el determinante de la matriz obtenida es |A|

8. Propiedades: (A.B)-1= B-1.A-1 • (A-1)-1=A • (AT)-1=(A-1)t •  Dada una matriz A se definen los menores de orden k (km,n) de A como los determinantes de las sub-matrices construidas con elementos pertenecientes a k filas y k columnas de A. • Se define el Rango de A, rg(A), como el orden del mayor menor de A distinto de cero.

9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES • Se define un Sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas como un sistema de m ecuaciones de la forma • Este sistema se puede escribir en forma vectorial o matricial: o A.X=B donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz variable, y B es la matriz de términos independientes.

10. Clasificación: • Sistema compatible determinado: una única solución • Sistema compatible indeterminado: Más de una solución • Sistema incompatible: Sin solución. • Se denota por M= (A|B) a la matriz ampliada. • TEOREMA (ROUCHÉ-FRÖBENIUS) • El sistema AX=B tiene solución si y sólo si rg(A) = rg(M) • Si rg(A)rg(M) entonces el sistema es incompatible

11. CCASOS: 1. rg(A)=rg(M) = m= n. Sistema compatible. La solución es única y se puede aplicar la regla de Cramer:  edonde el determinante en el numerador se obtiene sustituyendo la columna i de A por la columna de términos independientes  2.     rg(A)=rg(M)=n<m Es posible cancelar las ecuaciones que son linealmente dependientes de las otras. De este modo estamos en el caso 1. 3. rg(A)=rg(M)=r<n. Se pasan al segundo miembro los términos afectados con las variables de los coeficientes que no se han usado para el cálculo del rango. Se procede como en los casos 1 o 2.