Funciones

1. Funciones Calculo 1

2. Definición de conjunto Un conjunto es una colección de objetos que cumplen con alguna propiedad. Los conjunto pueden especificarse de varias formas: a. Enumerando sus elementos entre llaves: {1, 2 ,3}, {2, 4, 6 ,8 ,10, …} b. Mediante una frase que especifique que elementos contiene: el conjunto de los números pares. Se acostumbra utilizar la siguiente notación: {x | p(x) } Donde ”|” se lee “tal que” y p(x) es una proposición acerca de la variable x. {x | x es un número par} {x | x es un entero mayor que 0 y menor que 4} = {1, 2, 3} Un conjunto A es subconjunto de otro B sui todos los elementos de A también perteneces a B. Se denota por AB El conjunto vacío  es aquel que no contiene elementos.

3. Conjuntos numéricos Número enteros: N = {…, -4. -3, -2, -1, 0 ,1, 2, 3, 4, …} Números racionales: Q = { x | x = p/q donde p y qN y q≠ 0} Números irracionales: T = { x | x no puede expresarse como p/q donde p y qN y q≠ 0} Números Reales: es la unión del conjunto de los racionales y los irracionales.

4. subconjunto Un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B si todos los elementos de A también son elementos de B. AB a  A  b  B El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos.

5. Cuantificadores Los cuantificadores se utilizan para indicar cuantos elementos de un conjunto cumplen con una propiedad. Cuantificador universal: x para todo x. Cuantificador existencial: x existe x. x  AP(x)  {x  A | P(x) } = A  x  AP(x)  {x  A | P(x) }   AB = {x | x  A  x  B}

6. Coordenada x P(a, b) Parte positiva del eje y Coordenada y Parte negativa del eje x Origen Parte positiva del eje x Parte negativa del eje y Coordenadas Las posiciones de todos los puntos del plano pueden medirse con respecto a dos rectas reales perpendiculares del plano que se intersecan en el punto 0. y 4 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 El par ordenado (a, b) es un par coordenado. -4

7. y 4 A(2, 3) 3 2 D(-3, 1) 1 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 B(4, -1.5) -2 -3 C(-2, -3) -4 Puntos en el plano El plano coordenado se divide en 4 cuadrantes dependiendo del signo de las componentes x e y. segundo cuadrante (–, +) primer cuadrante (+, +) tercer cuadrante (–, –) cuarto cuadrante (+, –)

8. y 4 3 Dx = 6 A(-3, 3) 2 1 Dy = –2 x B(3, 1) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 Incrementos Cuando un objeto se mueve de un punto a otro del plano, los cambios netos en sus coordenadas se llaman incrementos. Los incrementos se denotan mediante la letra griega D (delta) Para dos P(x1, y1) y Q(x2, y2) Los incrementos se calcula por: Dx = x2 – x1 Dy = y2 – y1 Ejemplo: Al ir de A a B los incrementos son: Dx = 3 – (–3) = 6 Dy = 1 – 3 = –2

9. El punto medio entre dos puntos P(x1, y1) y Q(x1, y1) puede calcularse como Prueba La proyección de P y Q son A y B. y P(x1, y1) M La proyección C de M es el punto medio de AB Q(x2, y2) Las coordenadas de C son: B C A x Punto medio entre dos puntos Similarmente proyectando sobre el eje y.

10. La distancia entre dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) se calcula por el teorema de Pitágoras y |PR| = | x2 – x1 | |RQ| = | y2 – y1 | Q(x2, y2) Por el teorema de Pitágoras |PQ|2 = | x2 – x1 |2 + | y2 – y1 |2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 x P(x1, y1) R(x2, y1) Distancia entre dos puntos Prueba

11. y 4 Dx = 6 A(-3, 3) 3 Dy = –2 2 1 B(3, 1) x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0 -1 -2 -3 -4 Ejemplo La distancia entre A y B es:

12. Tarea #3 Dibuje los siguientes puntos en el plano coordenado: P(–4, 5), Q(3, –4), R(3, 6), S(–3, –3) Encuentre y dibuje el punto medio entre el punto P y los puntos Q, R y S. Encuentre los incrementos en x y y al ir del punto P a los puntos Q, R y S. Encuentre la distancia entre P y los puntos Q, R y S.

13. Gráficas La gráfica de una ecuación o desigualdad con las variables x, y es el conjunto de los puntos P(x, y) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación o desigualdad. y Ejemplo: Un círculo es la gráfica de la ecuaciónx2 + y2 = a2 o x2 + y2 = a2 0 a x

14. Gráfico de desigualdad Un círculo relleno es la gráfica de la ecuaciónx2 + y2a2 o y x2 + y2a2 0 a x

15. Gráfico de una parábola Un parábola es la gráfica de la ecuacióny=x2

16. Gráfico de raíz cuadrada Grafica de la ecuación:

17. y 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 Gráfico de valor absoluto Gráfico de la ecuación y = | x | | x | = x si x 0 y | x | = –x si x < 0

18. La recta La recta se caracteriza por su pendiente. Si la pendiente es positiva la recta apunta hacia arriba a la derecha y si es negativa apunta hacia abajo a la derecha. La pendiente de una recta horizontal es cero y la pendiente de una recta vertical es infinita. y El ángulo de inclinación se mide respecto al eje x. Pendiente positiva x Pendiente negativa

19. Definición de pendiente Dados dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), definimos el avance como Dx = x2 – x1 y el ascenso como Dy = y2 – y1 La pendiente se define como P2’ P2(x2, y2) Dy ascenso f Los triángulos P1QP2 y P1’Q’P2’ son semejantes, asi que Dy’ P1(x1, y1) Q(x2, y1) Dx avance P1’ Dx’ Q’

20. Rectas paralelas y perpendiculares Dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente, o sea, m1 = m2. Dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y solo si m1 = –1/m2. Demostración Si L1 y L2 son ’s  a2 – a2 = 90° a2 – a1 cos(a2 – a1 )= 90° = 0 cos(a2 – a1 )= cosa2cos a1+sena2sen a1 = 0 a2 a1 dividiendo entre cosa2cos a1 1 + tana2 tan a1 = 1 + m1m2 = 0

21. Tarea #4 1. Calcule el ángulo que hacen con el eje x las siguientes rectas si su pendiente es a) m = 2.5 b) m = 1.3 c) m = -0.5 d ) m = -1.25 2. Diga si las siguientes rectas definidas por cada par de puntos son paralelas o perpendiculares o ninguna. A(3, 1) y B(-2, 5) C(-4, 2) y D(4, 12) 3. Mostrar por medio de la pendiente que los siguientes puntos son colineales: a) (1, -1), (-2, 5), (3, -5) b) (2, 0), (4, 1), (-6, -4) c) (-1, 1), (2, 3), (-4, -1) d) (-6, 3), (4, -1), (3, -3/5)

22. y x = a b y = b x O a Ecuación de la recta Una recta vertical que pasa por el punto (a, 0) tiene por ecuación x = a Una recta vertical que pasa por el punto (0, b) tiene por ecuación y = b

23. y P(x1, y1) m x O Ecuación dada la pendiente Si conocemos la pendiente de una recta que pasa por el punto P(x1, y1), podemos encontrar su ecuación. Sea P(x, y) cualquier punto sobre la recta, entonces o y – y1 = m(x – x1) y =y1 + m(x – x1)

24. y m = 3/5 6 5 (3, 4) 4 3 2 2.2 1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 Ejemplo Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (3, 4) y tiene una pendiente de m = 3/5 y =y1 + m(x – x1) y = 4 + 3/5(x – 3) y = 3/5 x + 11/5 y = 0.6 x + 2.2

25. y (3, 7) m = 0.5 (-1, 5) 6 5 4 3 2 5.5 1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 Ejemplo Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (-1, 5) y (3, 7) La pendiente es m = (7 – 5)/(3 – (– 1)) = 2/4 =0.5 Con (-1, 5) y =y1 + m(x – x1) y = 5 + 0.5(x – (– 1)) y = 0.5 x + 5.5 Con (3, 7) y =y2 + m(x – x2) y = 7 + 0.5(x – 3) y = 0.5 x + 5.5

26. Ordenada al origen La coordenada y donde una recta no vertical corta el eje y se llama “ordenada al origen” , y se designa por b. Sustituyendo en la ecuación de la recta el punto (0, b) se obtiene y =b + m(x – 0) y =m x + b Esta es la ecuación pendiente-ordenada al origen.

27. Ecuación general de la recta La ecuación general de la recta tiene la forma: Ax + By =C Esta ecuación puede representar cualquier recta

28. y ordenada al origen = 5/3 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 abscisa al origen = 2.5 -3 Gráfico de una recta Para dibujar una recta que no sea vertical u horizontal se procede como se muestra en el ejemplo: 4x + 6y = 10 Calcular la ordenada al origen y la abscisa al origen. x = 10/4 = 2.5 y = 10/6 = 5/3 Trazar la recta entre estos dos puntos

29. Tarea #5 Encuentre la ecuación de la recta dados a) el punto (2, –3) y la pendiente m = 1/2 b) la pendiente 1/2 y la ordenada al origen b = –3 c) pasa por (5, –1) y es paralela a la recta 2x + 5y = 5 d) pasa por (4, 10) y es perpendicular a la recta 6x – 3y = 5 Dibuje la recta encontrando primero la ordenada y la abscisa al origen para la recta 1.5x – y = – 3

30. f D I Funciones Una función de un conjunto D a un conjunto I es una regla que asigna un único elemento f(x) de I a cada elemento de D. El conjunto D = D(f) (“D de f”) es el dominio de la función f e I es el conjunto imagen. Las funciones se expresan mediante una fórmula: y = expresión O f(x) = expresión

31. Ejemplo de funciones El volumen de una esfera depende del radio de esta. V = 4 pr 3 / 3 O V(r) = 4 pr 3 / 3 Ejemplo: V(2) = 4 p 23 / 3 = 33.5 m3 Área y perímetro de un triángulo equilátero como función de la longitud de un lado x. perímetro = P = 3x Área = A = base x altura /2 =

32. Dominio e imagen El dominio de una función puede ser el conjunto de los números reales o puede estar restringido

33. Gráficas de funciones La gráfica de una función es la gráfica de la ecuación y = f(x). Ninguna recta vertical puede intersecar a la gráfica de una función más de una vez.

34. y = 2x y = x y = x/2 Gráficas de funciones (cont.)

35. Operaciones con funciones Operaciones aritméticas Suma: (f + g)(x) =f (x) + g(x) Resta: (f - g)(x) =f (x) - g(x) Multiplicación: (fg)(x) =f (x) g(x) División: (f /g)(x) =f (x) / g(x) Multiplicación: (cf)(x) =cf (x) por constante

36. Ejemplo de operaciones Función fórmula dominio f f(x) = x2(–, ) g g(x) = 1 + x [-1,) 3f 3f(x) = 3x2(–, ) f – g (f – g)(x) = x2 – 1 + x [-1,) f g (fg)(x) = x21 + x [-1,) f /g (f / g)(x) = x2 / 1 + x (-1,) g /f (g / f)(x) = 1 + x / x2 [-1, 0) (0,)

37. Gráficos de operaciones f g f – g f / g

38. f ° g f (g(x)) g f Composición de funciones Definición Si f y g son funciones, la composición f ° g (“f círculo g”) es la función definida mediante (f ° g) (x) = f(g(x)) El dominio de f ° g consiste de todos los números y del dominio de g para los cuales g(x) está en el dominio de f.

39. Ejemplos de composición

40. Tarea #6 1 hallar el dominio y la imagen de las siguientes funciones 2 Cuales gráficas representan funciones c b a 3 Exprese la longitud del lado de un cuadrado como una función de la longitud de la diagonal. Luego, exprese el área como una función de la longitud de la diagonal (f +g), (fg), (f / g), (f ° g), (g° f) 4. Dadas las siguientes funciones calcule:

41. Funciones pares e impares una función y = f(x) es par si f(-x)= f(x) para toda x del dominio de f. una función y = f(x) es impar si f(-x)= -f(x) para toda x del dominio de f. Funciones pares Funciones impares

42. Funciones a trozos En una función definida a trozos la función tiene diferentes fórmulas para diferentes intervalos del dominio, x, x 0 | x | = - x, x< 0 y = - x y =1 - x, x< 0 1 f(x) = x2, 0 x1 y = x2 1, x> 1 1

43. Función máximo entero Se define como el mayor entero menor o igual que x o función piso entero (floor). Se denota por: 3 y = x 2 1 1 2 3 -1

44. Función mínimo entero Se define como el menor entero mayor o igual que x o función techo entero (floor). Se denota por: 3 y = x 2 1 1 2 3 -1

45. Traslación de gráficos Para trasladar una gráfica de una función y = f(x) hacia arriba, sumamos una constante al lado derecho de la fórmula y = f(x). y = x2 + 2 y = x2 + 1 y = x2 y = x2 – 1

46. Traslación de gráficos (cont.) Para trasladar una gráfica de una función y = f(x) hacia la izquierda, sumamos una constante positiva a la variable x. y = (x + 1)2 y = (x – 1)2 y = x2

47. P(x, y) a (h, k) Ecuación del círculo La ecuación del círculo de radio a y centro en el punto (h, k) es (x – h)2 + (x – k)2 = a2

48. Ejemplo La ecuación del circulo con centro en (4, 6) y radio 3.5 es (x – 4)2 + (y – 6)2 = 3.52 = 12.25 Encontrar el centro y el radio del círculo x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 Agrupando los términos con x y con y y completando el cuadrado x2 + 4x + y2 – 6y – 3 = 0 x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 – 4 – 9 – 3 = 0 (x+ 2)2 + (y2 – 3)2 = 16 Centro en (–2, 3) y radio = 4

49. y = 2x2 y = x2 y = x2/2 y = x2/10 Gráficas de parábolas La ecuación general de una parábola que pasa por el origen es y = ax2

50. Parábola en el eje x x = y2 x = y2/2 x = 2y2 x = y2/10