slide1
Download
Skip this Video
Download Presentation
Более сложные задачи по комбинаторике

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 87

Более сложные задачи по комбинаторике - PowerPoint PPT Presentation


  • 713 Views
  • Uploaded on

Более сложные задачи по комбинаторике. Выполнила: учитель математики Дмитровской сош №1 им В.И. Кузнецова Кизьякова Елена Борисовна. Цели занятия:. рассмотреть более сложные задачи по комбинаторике на Раскладки; Разбиения; Смещения и субфакториалы;

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Более сложные задачи по комбинаторике' - najwa


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Более сложные задачи по комбинаторике

Выполнила: учитель математики Дмитровской сош №1 им В.И. Кузнецова Кизьякова Елена Борисовна

slide2
Цели занятия:
  • рассмотреть более сложные задачи по комбинаторике на
    • Раскладки;
    • Разбиения;
    • Смещения и субфакториалы;
  • дать понятие о блужданиях и фигурных числах, рекуррентных отношениях.
slide3
Вспомним и повторим…

Задача 1.

На блюде лежат 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно взять один фрукт?

slide5
Вспомним и повторим…

Задача 1.

На блюде лежат 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно взять один фрукт?

Ответ: 5 способами.

slide6
Какое правило использовали?

Правило суммы:

Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект B можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить m + n способами.

slide7
Вспомним и повторим…

Задача 2.

Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

slide9
Вспомним и повторим…

Задача 2.

Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

Ответ:

slide10
Какое правило использовали?

правило произведения:

Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А; В) в указанном порядке можно осуществить mn способами.

slide11
Вспомним и повторим…

Задача 3.

У англичан принято давать ребенку несколько имен. Сколькими способами в Англии можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен?

slide13
Вспомним и повторим…

Задача 3.

У англичан принято давать ребенку несколько имен. Сколькими способами в Англии можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен?

Ответ: 300 + 300*299 + 300*299*298 = 26 820 600

slide14
Вспомним и повторим…

Задача 4.

Сколькими способами можно разложить в два кармана девять монет различного достоинства?

slide16
Вспомним и повторим…

Задача 4.

Сколькими способами можно разложить в два кармана девять монет различного достоинства?

Ответ: Каждая монета может попасть в один из двух карманов. Поэтому имеем 29 способов.

slide17
Использовали формулу:

Размещения с повторениями из n элементов по k. (k мест нужно заполнить элементами одного из n видов, элементы могут повторяться)

slide18
Задача 5.

В 2004 году в России давали автомобильные номера типа 77х451хо, в которых употреблялись цифры и кириллические буквы, имеющие аналог в латинском алфавите (таких 12). Первые два элемента – цифры(код региона), затем идет буква, затем трехзначное число и под конец еще две буквы.

А) сколько таких автомобильных номеров могли выдать в России?

Б) На Москву были выделены коды региона 77, 97 и 99. Сколько номеров могли выдать в Москве?

slide20
Задача 5.

В 2004 году в России давали автомобильные номера типа 77х451хо, в которых употреблялись цифры и кириллические буквы, имеющие аналог в латинском алфавите (таких 12). Первые два элемента – цифры(код региона), затем идет буква, затем трехзначное число и под конец еще две буквы.

А) сколько таких автомобильных номеров могли выдать в России?

Б) На Москву были выделены коды региона 77, 97 и 99. Сколько номеров могли выдать в Москве?

slide21
Ответы:

а) 102*12*103*122 = 172 800 000 номеров.

б) 3*12*103*122 = 5 184 000.

slide22
Размещения без повторений:

Размещение на k местах некоторые из n элементов, причем элементы не могут повторяться.

slide23
Вспомним и повторим…

Задача 6.

В правление избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

slide25
Вспомним и повторим…

Задача 6.

В правление избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ:

slide26
Вспомним и повторим…

Задача 7.

Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт, содержащей 52 карты, по одной карте каждой масти? А если среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, т.е. двух королей, двух десяток и т.д.?

slide28
Вспомним и повторим…

Задача 7.

Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт, содержащей 52 карты, по одной карте каждой масти? А если среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, т.е. двух королей, двух десяток и т.д.?

Ответ: 134 способов.

Если среди карт не должно быть пар, то имеем размещения без повторений

slide29
Перестановки

Размещения, которые отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов, называются перестановками из n элементов.

slide30
Вспомним и повторим…

Задача 8.

На званый вечер приглашены 5мужчин и 5 женщин. Напротив каждого места на круглый стол необходимо поставить табличку с именем того, кто будет на этом месте сидеть, но никакие два лица одного пола не должны сидеть рядом. Сколькими способами можно расставить таблички?

slide32
Вспомним и повторим…

Ответ: Разделение мест на мужские и женские можно сделать двумя способами. После этого мужчин можно посадить на выбранные места

способами. Столько же способов рассадить женщин. Всего получаем 2*(5!)2= 28 800 способов.

slide34
Вспомним и повторим…

Задача 9.

Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?

slide37
Сочетания без повторений

Сочетания из n элементов по k - любой выбор k элементов из имеющихся n элементов. (когда не интересует порядок элементов, а интересует только состав).

slide39
Вспомним и повторим…

Задача 10.

Сколько существует треугольников, у которых длина каждой стороны принимает одно из значений 4, 5, 6, 7?

slide41
Вспомним и повторим…

Задача 10.

Сколько существует треугольников, у которых длина каждой стороны принимает одно из значений 4, 5, 6, 7?

Ответ: по формуле

slide42
Раскладки

В задачах на раскладки элементы раскладываются в несколько «ящиков» и надо найти число способов это сделать.

slide43
Раскладки

Задача 1. Шары и лузы.

Скольким способами могут распределиться 15 перенумерованных бильярдных шаров в 6 лузах?

slide44

Вторая строка этой схемы не что иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

slide45
Раскладки

Вывод:

Число способов размещения n различных предметов по m различным «ящикам» равно

slide46
Раскладки

Задача 2. Сбор яблок.

Трое ребят собрали с яблони 40 яблок. Сколькими способами они могут их разделить, если все яблоки считаются одинаковыми?

slide47
Раскладки

Мы имеем дело с сочетаниями с повторениями - есть 3 типа предметов (мальчики) и надо делать из них комбинации из 40 элементов (по числу яблок, какое - кому), порядок элементов не учитывается, разные комбинации отличаются количеством предметов хотя бы одного типа (т.е. как раз числом яблок, достающимся хотя бы одному мальчику)

slide48
Раскладки

Вывод:

Число способов размещения n одинаковых предметов по m различным ящикам равно

slide49
Раскладки

Задача 3.

Тайным голосованием 30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует только за одно предложение и учитывается лишь количество голосов, поданных за каждое предложение?

slide50
Раскладки

Ответ:

Так как не учитывается порядок голосов, а учитывается только их количество, то надо распределить 30 неразличимых бюллетеней по 5 «ящикам». То это сочетание с повторением.

slide51
Раскладки

Задача 4.

Сколькими способами можно расположить в 9 лузах 7 белых шаров и 2 черных шара? Часть луз может быть пустой, а лузы считаются различными.

slide52
Раскладки

7 белых шаров можно разместить в 9 лузах способами

2 черных шара - способами.

Всего имеем способов.

slide53
Раскладки

Задача 5.

Двое ребят собрали 10 ромашек, 15 васильков и 14 незабудок. Сколькими способами они могут разделить эти цветы?

slide54
Раскладки

Решение:

Так как цветы каждого вида можно делить независимо от цветов другого вида, то по правилу произведения получаем 11*16*15 = 2640 способов раздела цветов.

slide55
Раскладки

Введем ограничение, что каждый из ребят должен получить не менее 3 цветков каждого вида.

Общее число способов деления равно 5*10*9 = 450.

slide56
Раскладки

В общем случае, если имеется n1 одинаковых предметов одного вида, n2 одинаковых предметов другого вида, … nk одинаковых предметов k-того вида, то их можно разделить между двумя людьми

(n1+1)(n2+1)…(nk+1) способами.

slide57
Раскладки

Задача 6.

Сколькими способами можно разделить 10 белых грибов, 15 подберезовиков и 8 подосиновиков между 4 ребятами (грибы одного вида считаются одинаковыми)?

slide58
Раскладки

Решение: Применяя формулу

Число способов размещения n одинаковых предметов по m различным ящикам равно

Получаем38 507 040

Если же каждый должен получить хотя бы по одному грибу каждого вида, то ответом

будет1 070 160.

slide59
Подобная формула верна и в общем случае.

Если имеется n1 предметов одного вида, n2 предметов другого вида, …, nk предметов k-того вида, причем предметы одного и того же вида неотличимы друг от друга, то число способов распределения этих предметов по m различным ящикам равно

slide60
Разбиения

Рассмотрим задачи о разбиении числа на слагаемые. К этой задаче сводятся многие другие, причем возникают разные особенности в зависимости от ограничений, накладываемых на величину или число слагаемых.

slide61
Разбиения

Имеются марки достоинством в n1, n2, …, nk рублей (все числа ni различны, а запас марок неограничен). Сколькими способами, наклеивая марки в ряд, можно оплатить с их помощью сумму в N рублей, если два способа, отличающиеся порядком следования различных марок, считаются разными?

F(N)=F(N-n1)+F(N-n2)+…+F(N-nk) (1)

При этом F(N)=0, если N<0 и F(0)=1.

slide62
Разбиения

Задача 1. (о наклейке марок)

За пересылку бандероли надо уплатить 18 рублей, наклеивая на нее марки. На почте есть по одному виду марок достоинством в 4, 6 и 10 рублей (зато в неограниченном количестве). Сколькими способами можно оплатить пересылку бандероли, если два способа, отличающиеся номиналом или порядком наклеивания марок, считаются различными (марки наклеиваются в один ряд)?

slide63
Разбиения

Решение:

Обозначим через F(N) число способов, которыми можно наклеить марки достоинством в 4, 6 и 10 рублей, так чтобы общая стоимость этих марок равнялась N. По формуле (1) получаем

F(18) = F(14) + F(12) + F(8).

F(14) = F(10) + F(8) + F(4)

F(12) = F(8) + F(6) + F(2)

F(8) = F(4) + F(2) + F(-2)

slide64
Разбиения

F(14) = 3 + 1 + 1 = 5

F(12) = 1 + 1 + 0 = 2

F(8) = 1

Итак, сумму 18 можно получить 8 способами.

slide65
Такой способ задач, при котором сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют рекуррентными формулами.
slide66
Разбиения

Задача 2.

Сколькими способами можно наклеить на конверт в одну линию марки на 40 рублей, используя марки достоинством в 5, 10, 15 и 20 рублей (расположения, отличающиеся порядком марок, считаются как различные; число марок не ограничено)?

slide67
Разбиения

F(40) = F(35) + F(30) + F(25) + F(20)

F(40) = 108

slide68
Смещения, субфакториалы

«Девушка спешит на свидание»

Сформулируем задачу в общем виде:

найти число перестановок n элементов, при которых ни один из элементов не стоит на своем месте. Такие перестановки называют смещениями, а их число обозначают .

slide69
Смещения, субфакториалы

Решение проводится с помощью формулы включений и исключений.

<p> свойство перестановки, заключающееся в том, что число p стоит на своем месте

N(p) – количество перестановок, обладающих этим свойством

N(pq) обозначим количество перестановок, одновременно обладающих свойствами <p> и <q>, т.е. таких что и p, и q стоят на своих местах, и т.д.

Через обозначим N( , т.е. число перестановок, в которых ни одно число не стоит на своем месте.

slide70
Смещения, субфакториалы

В данном случае задача облегчается тем, что свойства

совершенно равноправны

Ответ:

slide71
Общая задача о смещении

Найти число перестановок из n элементов, при которых ни один элемент не остается в первоначальном положении.

slide72
Обобщая формулу (2) на случай n=0, получаем, что естественно принять

Число перестановок, при которых ровно r элементов остаются на первоначальных местах, а остальные n-r элементов меняют свое положение, выражается формулой

slide73
Смещения, субфакториалы

Найдем, во скольких случаях ровно один адресат получит свой паспорт.

общее число способов, при которых в точности один человек получит свой паспорт, равно 5*9=45. (т.к. )

slide74
Смещения, субфакториалы

Найдем, во скольких случаях в точности двое получат свои паспорта.

2*10=20

slide75
Смещения, субфакториалы

Числа называют

субфакториалами

slide76

В

n

А

k

Блуждания, фигурные числа

Задача 1.

Путник хочет попасть из пункта А в пункт В кратчайшим путем, т.е. двигаясь все время или «слева направо», или «снизу вверх». Сколькими путями он может добраться из А в В? (На рисунке изображен план города (примерно такой вид имеет план Канберры – столицы Австралии)

slide77
Блуждания, фигурные числа

Сопоставим каждому пути из А в В последовательность из нулей и единиц – если на очередном перекрестке выбран путь вправо, ставим цифру 0, а если выбран путь вверх, ставим цифру 1.

Число перестановок из k нулей и n единиц равно

slide78
Блуждания, фигурные числа

Арифметический квадрат

Напишем на каждом поле доски число путей, ведущие из углового поля в данное поле доски. Ясно, что на пересечении k-й вертикали и n-й горизонтали стоит число

slide79
Блуждания, фигурные числа

Мы получим таблицу. Эту таблицу называют арифметическим квадратом.

slide80
Блуждания, фигурные числа

Достаточно было использовать элементы предыдущей строки. Существует формула сочетаний:

Такой метод вычисления арифметического квадрата связан с восходящим к древнегреческим математикам Пифагору и Никомаху учением о фигурных числах.

slide81
Блуждания, фигурные числа

Дело в том, что числа 1, 2, 3, … можно изображать строками из одной, двух, трех и т.д. точек, а эти строки объединить в треугольники (рис 46). Тогда число точек в каждом треугольнике будет равно соответствующему числу во второй строке арифметического квадрата. Поэтому числа 1, 3, 6, 10, 15, 21 и т.д. называют треугольными числами,

k-е треугольное число равно .

slide82
Блуждания, фигурные числа

Треугольники, изображенные на рис 46, можно объединять в пирамиды (рис. 47). Число точек в каждой пирамиде равно соответствующему числу в третьей строке арифметического квадрата. Поэтому числа 1, 4, 10, 20, 35 и т.д. называют пирамидальными.

Их общий вид такой:

slide83
Рекуррентные соотношения

При решении многих комбинаторных задач часто пользуются методом сведения данной задачи к задаче, касающейся меньшего числа предметов.

Метод сведения к аналогичной задаче для меньшего числа предметов называется методом рекуррентных соотношений (от латинского recurrere – возвращаться)

slide84
Кролики Фибоначчи

Пара кроликов приносит раз в месяц приплод из двух крольчат (самки и самца), причем новорожденные крольчата через два месяца после рождения уже приносят приплод. Сколько пар кроликов появится через год, если в начале года была одна пара кроликов и ни одна пара кроликов не погибла.

slide85
Кролики Фибоначчи

Обозначим через unчисло пар кроликов в начале n-го месяца.

Тогда U1 = 1

U2 = 1

U3 = 2 (появится приплод)

U4 = 3 (к началу 4 – го месяца первая пара даст приплод , а новорожденные кролики приплода еще не дадут)

U5 = 5 (т.к. приплод даст и первоначальная пара и новорожденная)

slide86
Кролики Фибоначчи

Uk=Uk-1+Uk-2

U13 = 233

Числа U1, U2, …, Un,… называют числами Фибоначчи (обычно полагают еще U0 = 0, чтобы выполнялось равенство U2 = U1 + U0)

ad