Более сложные задачи по комбинаторике
Download
1 / 87

Более сложные задачи по комбинаторике - PowerPoint PPT Presentation


  • 682 Views
  • Uploaded on

Более сложные задачи по комбинаторике. Выполнила: учитель математики Дмитровской сош №1 им В.И. Кузнецова Кизьякова Елена Борисовна. Цели занятия:. рассмотреть более сложные задачи по комбинаторике на Раскладки; Разбиения; Смещения и субфакториалы;

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Более сложные задачи по комбинаторике' - najwa


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Более сложные задачи по комбинаторике

Выполнила: учитель математики Дмитровской сош №1 им В.И. Кузнецова Кизьякова Елена Борисовна


Цели занятия: комбинаторике

  • рассмотреть более сложные задачи по комбинаторике на

    • Раскладки;

    • Разбиения;

    • Смещения и субфакториалы;

  • дать понятие о блужданиях и фигурных числах, рекуррентных отношениях.


Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 1.

На блюде лежат 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно взять один фрукт?


1 минута на размышление... комбинаторике

Время истекло


Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 1.

На блюде лежат 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно взять один фрукт?

Ответ: 5 способами.


Какое правило использовали? комбинаторике

Правило суммы:

Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект B можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить m + n способами.


Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 2.

Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?


1 минута на размышление... комбинаторике

Время истекло


Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 2.

Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

Ответ:


Какое правило использовали? комбинаторике

правило произведения:

Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А; В) в указанном порядке можно осуществить mn способами.


Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 3.

У англичан принято давать ребенку несколько имен. Сколькими способами в Англии можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен?


1 минута на размышление... комбинаторике

Время истекло


Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 3.

У англичан принято давать ребенку несколько имен. Сколькими способами в Англии можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен?

Ответ: 300 + 300*299 + 300*299*298 = 26 820 600


Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 4.

Сколькими способами можно разложить в два кармана девять монет различного достоинства?


1 минута на размышление... комбинаторике

Время истекло


Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 4.

Сколькими способами можно разложить в два кармана девять монет различного достоинства?

Ответ: Каждая монета может попасть в один из двух карманов. Поэтому имеем 29 способов.


Использовали формулу: комбинаторике

Размещения с повторениями из n элементов по k. (k мест нужно заполнить элементами одного из n видов, элементы могут повторяться)


Задача 5. комбинаторике

В 2004 году в России давали автомобильные номера типа 77х451хо, в которых употреблялись цифры и кириллические буквы, имеющие аналог в латинском алфавите (таких 12). Первые два элемента – цифры(код региона), затем идет буква, затем трехзначное число и под конец еще две буквы.

А) сколько таких автомобильных номеров могли выдать в России?

Б) На Москву были выделены коды региона 77, 97 и 99. Сколько номеров могли выдать в Москве?


3 минуты на размышление... комбинаторике

Время истекло


Задача 5. комбинаторике

В 2004 году в России давали автомобильные номера типа 77х451хо, в которых употреблялись цифры и кириллические буквы, имеющие аналог в латинском алфавите (таких 12). Первые два элемента – цифры(код региона), затем идет буква, затем трехзначное число и под конец еще две буквы.

А) сколько таких автомобильных номеров могли выдать в России?

Б) На Москву были выделены коды региона 77, 97 и 99. Сколько номеров могли выдать в Москве?


Ответы: комбинаторике

а) 102*12*103*122 = 172 800 000 номеров.

б) 3*12*103*122 = 5 184 000.


Размещения без повторений: комбинаторике

Размещение на k местах некоторые из n элементов, причем элементы не могут повторяться.


Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 6.

В правление избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?


1 минута на размышление... комбинаторике

Время истекло


Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 6.

В правление избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ:


Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 7.

Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт, содержащей 52 карты, по одной карте каждой масти? А если среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, т.е. двух королей, двух десяток и т.д.?


1 минута на размышление... комбинаторике

Время истекло


Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 7.

Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт, содержащей 52 карты, по одной карте каждой масти? А если среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, т.е. двух королей, двух десяток и т.д.?

Ответ: 134 способов.

Если среди карт не должно быть пар, то имеем размещения без повторений


Перестановки комбинаторике

Размещения, которые отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов, называются перестановками из n элементов.


Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 8.

На званый вечер приглашены 5мужчин и 5 женщин. Напротив каждого места на круглый стол необходимо поставить табличку с именем того, кто будет на этом месте сидеть, но никакие два лица одного пола не должны сидеть рядом. Сколькими способами можно расставить таблички?


1 минута на размышление... комбинаторике

Время истекло


Вспомним и повторим… комбинаторике

Ответ: Разделение мест на мужские и женские можно сделать двумя способами. После этого мужчин можно посадить на выбранные места

способами. Столько же способов рассадить женщин. Всего получаем 2*(5!)2= 28 800 способов.


Перестановки с комбинаторикеповторениями

где .


Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 9.

Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?


1 минута на размышление... комбинаторике

Время истекло


Вспомним и повторим… комбинаторике

Ответ:


Сочетания без повторений комбинаторике

Сочетания из n элементов по k - любой выбор k элементов из имеющихся n элементов. (когда не интересует порядок элементов, а интересует только состав).



Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 10.

Сколько существует треугольников, у которых длина каждой стороны принимает одно из значений 4, 5, 6, 7?


1 минута на размышление... комбинаторике

Время истекло


Вспомним и повторим… комбинаторике

Задача 10.

Сколько существует треугольников, у которых длина каждой стороны принимает одно из значений 4, 5, 6, 7?

Ответ: по формуле


Раскладки комбинаторике

В задачах на раскладки элементы раскладываются в несколько «ящиков» и надо найти число способов это сделать.


Раскладки комбинаторике

Задача 1. Шары и лузы.

Скольким способами могут распределиться 15 перенумерованных бильярдных шаров в 6 лузах?


Вторая строка этой схемы не что иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -


Раскладки иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

Вывод:

Число способов размещения n различных предметов по m различным «ящикам» равно


Раскладки иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

Задача 2. Сбор яблок.

Трое ребят собрали с яблони 40 яблок. Сколькими способами они могут их разделить, если все яблоки считаются одинаковыми?


Раскладки иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

Мы имеем дело с сочетаниями с повторениями - есть 3 типа предметов (мальчики) и надо делать из них комбинации из 40 элементов (по числу яблок, какое - кому), порядок элементов не учитывается, разные комбинации отличаются количеством предметов хотя бы одного типа (т.е. как раз числом яблок, достающимся хотя бы одному мальчику)


Раскладки иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

Вывод:

Число способов размещения n одинаковых предметов по m различным ящикам равно


Раскладки иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

Задача 3.

Тайным голосованием 30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует только за одно предложение и учитывается лишь количество голосов, поданных за каждое предложение?


Раскладки иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

Ответ:

Так как не учитывается порядок голосов, а учитывается только их количество, то надо распределить 30 неразличимых бюллетеней по 5 «ящикам». То это сочетание с повторением.


Раскладки иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

Задача 4.

Сколькими способами можно расположить в 9 лузах 7 белых шаров и 2 черных шара? Часть луз может быть пустой, а лузы считаются различными.


Раскладки иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

7 белых шаров можно разместить в 9 лузах способами

2 черных шара - способами.

Всего имеем способов.


Раскладки иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

Задача 5.

Двое ребят собрали 10 ромашек, 15 васильков и 14 незабудок. Сколькими способами они могут разделить эти цветы?


Раскладки иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

Решение:

Так как цветы каждого вида можно делить независимо от цветов другого вида, то по правилу произведения получаем 11*16*15 = 2640 способов раздела цветов.


Раскладки иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

Введем ограничение, что каждый из ребят должен получить не менее 3 цветков каждого вида.

Общее число способов деления равно 5*10*9 = 450.


Раскладки иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

В общем случае, если имеется n1 одинаковых предметов одного вида, n2 одинаковых предметов другого вида, … nk одинаковых предметов k-того вида, то их можно разделить между двумя людьми

(n1+1)(n2+1)…(nk+1) способами.


Раскладки иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

Задача 6.

Сколькими способами можно разделить 10 белых грибов, 15 подберезовиков и 8 подосиновиков между 4 ребятами (грибы одного вида считаются одинаковыми)?


Раскладки иное, как бланк длины 15, заполненный цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Поэтому число таких распределений шаров равно числу размещений с повторениями из 6 элементов по 15, т. е. -

Решение: Применяя формулу

Число способов размещения n одинаковых предметов по m различным ящикам равно

Получаем38 507 040

Если же каждый должен получить хотя бы по одному грибу каждого вида, то ответом

будет1 070 160.


Подобная формула верна и в общем случае.

Если имеется n1 предметов одного вида, n2 предметов другого вида, …, nk предметов k-того вида, причем предметы одного и того же вида неотличимы друг от друга, то число способов распределения этих предметов по m различным ящикам равно


Разбиения случае.

Рассмотрим задачи о разбиении числа на слагаемые. К этой задаче сводятся многие другие, причем возникают разные особенности в зависимости от ограничений, накладываемых на величину или число слагаемых.


Разбиения случае.

Имеются марки достоинством в n1, n2, …, nk рублей (все числа ni различны, а запас марок неограничен). Сколькими способами, наклеивая марки в ряд, можно оплатить с их помощью сумму в N рублей, если два способа, отличающиеся порядком следования различных марок, считаются разными?

F(N)=F(N-n1)+F(N-n2)+…+F(N-nk) (1)

При этом F(N)=0, если N<0 и F(0)=1.


Разбиения случае.

Задача 1. (о наклейке марок)

За пересылку бандероли надо уплатить 18 рублей, наклеивая на нее марки. На почте есть по одному виду марок достоинством в 4, 6 и 10 рублей (зато в неограниченном количестве). Сколькими способами можно оплатить пересылку бандероли, если два способа, отличающиеся номиналом или порядком наклеивания марок, считаются различными (марки наклеиваются в один ряд)?


Разбиения случае.

Решение:

Обозначим через F(N) число способов, которыми можно наклеить марки достоинством в 4, 6 и 10 рублей, так чтобы общая стоимость этих марок равнялась N. По формуле (1) получаем

F(18) = F(14) + F(12) + F(8).

F(14) = F(10) + F(8) + F(4)

F(12) = F(8) + F(6) + F(2)

F(8) = F(4) + F(2) + F(-2)


Разбиения случае.

F(14) = 3 + 1 + 1 = 5

F(12) = 1 + 1 + 0 = 2

F(8) = 1

Итак, сумму 18 можно получить 8 способами.


Такой способ задач, при котором сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют рекуррентными формулами.


Разбиения сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

Задача 2.

Сколькими способами можно наклеить на конверт в одну линию марки на 40 рублей, используя марки достоинством в 5, 10, 15 и 20 рублей (расположения, отличающиеся порядком марок, считаются как различные; число марок не ограничено)?


Разбиения сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

F(40) = F(35) + F(30) + F(25) + F(20)

F(40) = 108


Смещения, субфакториалы сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

«Девушка спешит на свидание»

Сформулируем задачу в общем виде:

найти число перестановок n элементов, при которых ни один из элементов не стоит на своем месте. Такие перестановки называют смещениями, а их число обозначают .


Смещения, субфакториалы сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

Решение проводится с помощью формулы включений и исключений.

<p> свойство перестановки, заключающееся в том, что число p стоит на своем месте

N(p) – количество перестановок, обладающих этим свойством

N(pq) обозначим количество перестановок, одновременно обладающих свойствами <p> и <q>, т.е. таких что и p, и q стоят на своих местах, и т.д.

Через обозначим N( , т.е. число перестановок, в которых ни одно число не стоит на своем месте.


Смещения, субфакториалы сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

В данном случае задача облегчается тем, что свойства

совершенно равноправны

Ответ:


Общая задача о смещении сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

Найти число перестановок из n элементов, при которых ни один элемент не остается в первоначальном положении.


Обобщая формулу (2) на случай сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют n=0, получаем, что естественно принять

Число перестановок, при которых ровно r элементов остаются на первоначальных местах, а остальные n-r элементов меняют свое положение, выражается формулой


Смещения, субфакториалы сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

Найдем, во скольких случаях ровно один адресат получит свой паспорт.

общее число способов, при которых в точности один человек получит свой паспорт, равно 5*9=45. (т.к. )


Смещения, субфакториалы сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

Найдем, во скольких случаях в точности двое получат свои паспорта.

2*10=20


Смещения, субфакториалы сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

Числа называют

субфакториалами


В сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

n

А

k

Блуждания, фигурные числа

Задача 1.

Путник хочет попасть из пункта А в пункт В кратчайшим путем, т.е. двигаясь все время или «слева направо», или «снизу вверх». Сколькими путями он может добраться из А в В? (На рисунке изображен план города (примерно такой вид имеет план Канберры – столицы Австралии)


Блуждания, фигурные числа сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

Сопоставим каждому пути из А в В последовательность из нулей и единиц – если на очередном перекрестке выбран путь вправо, ставим цифру 0, а если выбран путь вверх, ставим цифру 1.

Число перестановок из k нулей и n единиц равно


Блуждания, фигурные числа сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

Арифметический квадрат

Напишем на каждом поле доски число путей, ведущие из углового поля в данное поле доски. Ясно, что на пересечении k-й вертикали и n-й горизонтали стоит число


Блуждания, фигурные числа сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

Мы получим таблицу. Эту таблицу называют арифметическим квадратом.


Блуждания, фигурные числа сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

Достаточно было использовать элементы предыдущей строки. Существует формула сочетаний:

Такой метод вычисления арифметического квадрата связан с восходящим к древнегреческим математикам Пифагору и Никомаху учением о фигурных числах.


Блуждания, фигурные числа сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

Дело в том, что числа 1, 2, 3, … можно изображать строками из одной, двух, трех и т.д. точек, а эти строки объединить в треугольники (рис 46). Тогда число точек в каждом треугольнике будет равно соответствующему числу во второй строке арифметического квадрата. Поэтому числа 1, 3, 6, 10, 15, 21 и т.д. называют треугольными числами,

k-е треугольное число равно .


Блуждания, фигурные числа сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

Треугольники, изображенные на рис 46, можно объединять в пирамиды (рис. 47). Число точек в каждой пирамиде равно соответствующему числу в третьей строке арифметического квадрата. Поэтому числа 1, 4, 10, 20, 35 и т.д. называют пирамидальными.

Их общий вид такой:


Рекуррентные соотношения сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

При решении многих комбинаторных задач часто пользуются методом сведения данной задачи к задаче, касающейся меньшего числа предметов.

Метод сведения к аналогичной задаче для меньшего числа предметов называется методом рекуррентных соотношений (от латинского recurrere – возвращаться)


Кролики Фибоначчи сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

Пара кроликов приносит раз в месяц приплод из двух крольчат (самки и самца), причем новорожденные крольчата через два месяца после рождения уже приносят приплод. Сколько пар кроликов появится через год, если в начале года была одна пара кроликов и ни одна пара кроликов не погибла.


Кролики Фибоначчи сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

Обозначим через unчисло пар кроликов в начале n-го месяца.

Тогда U1 = 1

U2 = 1

U3 = 2 (появится приплод)

U4 = 3 (к началу 4 – го месяца первая пара даст приплод , а новорожденные кролики приплода еще не дадут)

U5 = 5 (т.к. приплод даст и первоначальная пара и новорожденная)


Кролики Фибоначчи сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют

Uk=Uk-1+Uk-2

U13 = 233

Числа U1, U2, …, Un,… называют числами Фибоначчи (обычно полагают еще U0 = 0, чтобы выполнялось равенство U2 = U1 + U0)


СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! сразу не дается окончательной формулы ответа, а указывается лишь процесс, позволяющий сводить задачу ко все меньшим и меньшим числовым данным, встречается в комбинаторике очень часто. Равенства вида (1) называют


ad