Operations research
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Operations Research. Transportaufgaben. Das Transportproblem. Ist ein Spezialfall der Linearen Optimierung Sind Gesamtaufkommen und Gesamtbedarf unterschiedlich, so ist das Transportproblem auf ein adäquates mit Gleichheit zurückzuführen. Aufkommensorte Menge Bedarfsorte

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Presentation Transcript


Operations Research

Transportaufgaben


Das Transportproblem

  • Ist ein Spezialfall der Linearen Optimierung

  • Sind Gesamtaufkommen und Gesamtbedarf unterschiedlich, so ist das Transportproblem auf ein adäquates mit Gleichheit zurückzuführen.

  • Aufkommensorte

  • Menge

  • Bedarfsorte

  • Bedarfsmenge

  • Transportkosten von A nach B sind

  • Menge von A nach B ist


Das TransportproblemDie Verfahrenweise

  • Vorläufige Voraussetzung ist das Gleichgewicht:

    • Alle Orte versenden ihre ganze Produktion, alle Bedarfsorte empfangen die ganze Produktion.

      a = Aufkommensmenge

      b = Bedarfsmenge

    • Zielfunktion = Menge c Kosten x  min

    • Restriktionen:


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Eine Firma für Baumaschinen besitzt 4 Lager für Bagger, , die dort mit den Stückzahlen bereit sind. An den Orten werden an einem Tag

    Bagger angefordert.

  • Die Kosten des Transports eines Baggers vonnachsind in der folgenden Matrix ausgedrückt:


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

Bedarf g:

  • Gesamtaufkommen = Gesamtbedarf:

  • Zielfunktion = Stück x Kosten:


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

Überführen in eine Transporttabelle für das Matrixminimumverfahren


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl

2.) Eintag des Kostenoptimums = min(6,4)

3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen

2 Rest

Kostenoptimum = min(6,4), da nicht mehr geliefert werden kann als nachgefragt wird:


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

1. Reduzierte Tabelle:

4 Rest

1.) Neuer Randwert sind die verbleibenden Bagger

2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl

2.) Eintag des Kostenoptimums = min (2,6)

3.) Streichen dieser Zeile


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

2. Reduzierte Tabelle:

0 Rest

1.) Neuer Randwert sind die restlichen geforderten Bagger

2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl

2.) Eintag des Kostenoptimums = min(4,4)

3.) Streichen dieser Spalte


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

3. Reduzierte Tabelle:

1.) Neuer Randwert sind die restlichen lieferbaren Bagger

2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl

2.) Eintag des Kostenoptimums

3.) Streichen dieser Zeile


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

4. Reduzierte Tabelle:

1.) Neuer Randwert sind die restlichen geforderten Bagger

2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl

2.) Eintag des Kostenoptimums =min (0,3)

3.) Streichen dieser Zeile da null; würde G null fordern und L drei liefern wäre die Spalte zu streichen.


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

5. Reduzierte Tabelle:

3 Rest

1.) Neuer Randwert sind die restlichen lieferbaren Bagger

2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl

2.) Eintag des Kostenoptimums

3.) Streichen dieser Spalte da zuvor die Zeile gestrichen wurde.


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

6. Reduzierte Tabelle:

1.) Neuer Randwert sind die restlichen lieferbaren Bagger

2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl

2.) Eintag des Kostenoptimums

3.) Streichen dieser Zeile


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

Eintragung aller Kostenoptima ergibt eine mögliche Lösung

Z = 6x0 + 5x4 + 9x3 + 8x3 + 5x1 + 4x4 + 4x2 = 100


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Einführung von Potenzialen nach der MODI/Potenzialmethode.

  • Für jedes Lager und für jeden Bedarfsort (Baustelle) werden die Potenziale u und v festgelegt.


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Es gibt m+n-1=7 besetzte Felder, daraus folgen 7 lineare Gleichungen mit 8 unbekannten Potenzialen

  • , da nur eine Lösung benötigt wird


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Die Einführung von Potenzialen erfolgt nach

  • Es werden nur besetzte Felder herangezogen


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Das nächste mögliche besetzte Feld wäre

  • Es werden nur besetzte Felder herangezogen


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Vervollständigen der restlichen Potenziale nach der gleichen Methode


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Einführen von fiktiven Bewertungszahlen mit den Potenzialen.

  • Betrifft nur nichtbesetzte Felder.


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Einsetzen in die Gleichung


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Vervollständigen der restlichen Bewertungszahlen

  • Das Ergebnis ist optimal wenn für alle Bewertungszahlen gilt:

Das Ergebnis ist noch nicht optimal wegen +2, +1.


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Höchste positive Bewertungszahl wird mit versehen.

  • Streichen aller Zeilen und Spalten des Tableaus, die nur ein besetztes Feld aufweisen.

Achtung: Durch das Streichen können weitere Zeilen/ Spalten mit nur einem besetzten Feld entstehen.


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Geschlossener Zickzackweg abwechselnd in vertikaler /horizontaler Richtung. (Nur über besetzte Felder)

  • In den besetzten Feldern wird abwechselnd -/+ hinzugefügt.

1. Vertikal beginnend

2. Horizontal

3.Vertikal

4. Horizontal

5.Vertikal

6. Kein weiteres besetztes Feld

7. Mit -beginnend

4

5

3

1

2


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • In Richtung des Zickzagweges nur über besetzte Felder abwechselnd +/- beginnend mit minus.

  • Tabelle nachdem alle -Variablen hinzugefügt wurden:


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Durch die Korrekturen stimmen alle Zeilen- und Spaltensummen

  • Unter allen - -Werten wird der kleinste ausgesucht:


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Das Einsetzen der -Werte ergibt die Werte der neuen besetzten Felder

  • Beginnend mit ergeben sich neue Potenziale:


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Mit lassen sich die neuen Bewertungszahlen für nicht besetzte Felder finden.

Bewertungszahl


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Da unter noch eine positive Bewertungszahl vorhanden ist, ist das Optimalitätskriterium noch nicht erreicht.

  • Ist keine Reihe zu streichen beginnt der Zickzackweg sofort.


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Der Zickzackweg über die besetzten Felder beginnt mit der höchsten positiven Bewertungszahl vertikal beginnend mit einem - , hier .


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Der Zickzackweg wird fortgesetzt bis alle besetzten Felder eine -Variable aufweisen.


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Der kleinste negative -Wert tritt hier dreifach auf.

  • In diesem Fall wird das erste teuerste Feld ausgesucht. Die übrigen Basisvariablen erhalten den Wert Null.


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Das Einsetzen der -Werte ergibt die Werte der neuen besetzten Felder.

  • Beginnend mit ergeben sich neue Potenziale:


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Mit lassen sich die neuen Bewertungszahlen in den unbesetzten Feldern erstellen.

  • Da alle Bewertungszahlen negativ sind handelt es sich um die optimale zulässige Basislösung.

Z=6x4+6x4+8x2+5x0+5x1+4x0+4x6=93


TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Grafische Darstellung der Lösung:


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