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Operations Research. Transportaufgaben. Das Transportproblem. Ist ein Spezialfall der Linearen Optimierung Sind Gesamtaufkommen und Gesamtbedarf unterschiedlich, so ist das Transportproblem auf ein adäquates mit Gleichheit zurückzuführen. Aufkommensorte Menge Bedarfsorte

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Presentation Transcript
Operations research

Operations Research

Transportaufgaben


Das transportproblem
Das Transportproblem

  • Ist ein Spezialfall der Linearen Optimierung

  • Sind Gesamtaufkommen und Gesamtbedarf unterschiedlich, so ist das Transportproblem auf ein adäquates mit Gleichheit zurückzuführen.

  • Aufkommensorte

  • Menge

  • Bedarfsorte

  • Bedarfsmenge

  • Transportkosten von A nach B sind

  • Menge von A nach B ist


Das transportproblem die verfahrenweise
Das TransportproblemDie Verfahrenweise

  • Vorläufige Voraussetzung ist das Gleichgewicht:

    • Alle Orte versenden ihre ganze Produktion, alle Bedarfsorte empfangen die ganze Produktion.

      a = Aufkommensmenge

      b = Bedarfsmenge

    • Zielfunktion = Menge c Kosten x  min

    • Restriktionen:


Transportaufgaben beispiel einer baufirma
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Eine Firma für Baumaschinen besitzt 4 Lager für Bagger, , die dort mit den Stückzahlen bereit sind. An den Orten werden an einem Tag

    Bagger angefordert.

  • Die Kosten des Transports eines Baggers von nach sind in der folgenden Matrix ausgedrückt:


Transportaufgaben beispiel einer baufirma1
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

Bedarf g:

  • Gesamtaufkommen = Gesamtbedarf:

  • Zielfunktion = Stück x Kosten:


Transportaufgaben beispiel einer baufirma2
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

Überführen in eine Transporttabelle für das Matrixminimumverfahren


Transportaufgaben beispiel einer baufirma3
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl

2.) Eintag des Kostenoptimums = min(6,4)

3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen

2 Rest

Kostenoptimum = min(6,4), da nicht mehr geliefert werden kann als nachgefragt wird:


Transportaufgaben beispiel einer baufirma4
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

1. Reduzierte Tabelle:

4 Rest

1.) Neuer Randwert sind die verbleibenden Bagger

2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl

2.) Eintag des Kostenoptimums = min (2,6)

3.) Streichen dieser Zeile


Transportaufgaben beispiel einer baufirma5
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

2. Reduzierte Tabelle:

0 Rest

1.) Neuer Randwert sind die restlichen geforderten Bagger

2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl

2.) Eintag des Kostenoptimums = min(4,4)

3.) Streichen dieser Spalte


Transportaufgaben beispiel einer baufirma6
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

3. Reduzierte Tabelle:

1.) Neuer Randwert sind die restlichen lieferbaren Bagger

2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl

2.) Eintag des Kostenoptimums

3.) Streichen dieser Zeile


Transportaufgaben beispiel einer baufirma7
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

4. Reduzierte Tabelle:

1.) Neuer Randwert sind die restlichen geforderten Bagger

2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl

2.) Eintag des Kostenoptimums =min (0,3)

3.) Streichen dieser Zeile da null; würde G null fordern und L drei liefern wäre die Spalte zu streichen.


Transportaufgaben beispiel einer baufirma8
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

5. Reduzierte Tabelle:

3 Rest

1.) Neuer Randwert sind die restlichen lieferbaren Bagger

2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl

2.) Eintag des Kostenoptimums

3.) Streichen dieser Spalte da zuvor die Zeile gestrichen wurde.


Transportaufgaben beispiel einer baufirma9
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

6. Reduzierte Tabelle:

1.) Neuer Randwert sind die restlichen lieferbaren Bagger

2.)zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl

2.) Eintag des Kostenoptimums

3.) Streichen dieser Zeile


Transportaufgaben beispiel einer baufirma10
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

Eintragung aller Kostenoptima ergibt eine mögliche Lösung

Z = 6x0 + 5x4 + 9x3 + 8x3 + 5x1 + 4x4 + 4x2 = 100


Transportaufgaben beispiel einer baufirma11
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Einführung von Potenzialen nach der MODI/Potenzialmethode.

  • Für jedes Lager und für jeden Bedarfsort (Baustelle) werden die Potenziale u und v festgelegt.


Transportaufgaben beispiel einer baufirma12
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Es gibt m+n-1=7 besetzte Felder, daraus folgen 7 lineare Gleichungen mit 8 unbekannten Potenzialen

  • , da nur eine Lösung benötigt wird


Transportaufgaben beispiel einer baufirma13
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Die Einführung von Potenzialen erfolgt nach

  • Es werden nur besetzte Felder herangezogen


Transportaufgaben beispiel einer baufirma14
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Das nächste mögliche besetzte Feld wäre

  • Es werden nur besetzte Felder herangezogen


Transportaufgaben beispiel einer baufirma15
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Vervollständigen der restlichen Potenziale nach der gleichen Methode


Transportaufgaben beispiel einer baufirma16
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Einführen von fiktiven Bewertungszahlen mit den Potenzialen.

  • Betrifft nur nichtbesetzte Felder.


Transportaufgaben beispiel einer baufirma17
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Einsetzen in die Gleichung


Transportaufgaben beispiel einer baufirma18
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Vervollständigen der restlichen Bewertungszahlen

  • Das Ergebnis ist optimal wenn für alle Bewertungszahlen gilt:

Das Ergebnis ist noch nicht optimal wegen +2, +1.


Transportaufgaben beispiel einer baufirma19
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Höchste positive Bewertungszahl wird mit versehen.

  • Streichen aller Zeilen und Spalten des Tableaus, die nur ein besetztes Feld aufweisen.

Achtung: Durch das Streichen können weitere Zeilen/ Spalten mit nur einem besetzten Feld entstehen.


Transportaufgaben beispiel einer baufirma20
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Geschlossener Zickzackweg abwechselnd in vertikaler /horizontaler Richtung. (Nur über besetzte Felder)

  • In den besetzten Feldern wird abwechselnd -/+ hinzugefügt.

1. Vertikal beginnend

2. Horizontal

3.Vertikal

4. Horizontal

5.Vertikal

6. Kein weiteres besetztes Feld

7. Mit - beginnend

4

5

3

1

2


Transportaufgaben beispiel einer baufirma21
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • In Richtung des Zickzagweges nur über besetzte Felder abwechselnd +/- beginnend mit minus.

  • Tabelle nachdem alle -Variablen hinzugefügt wurden:


Transportaufgaben beispiel einer baufirma22
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Durch die Korrekturen stimmen alle Zeilen- und Spaltensummen

  • Unter allen - -Werten wird der kleinste ausgesucht:


Transportaufgaben beispiel einer baufirma23
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Das Einsetzen der -Werte ergibt die Werte der neuen besetzten Felder

  • Beginnend mit ergeben sich neue Potenziale:


Transportaufgaben beispiel einer baufirma24
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Mit lassen sich die neuen Bewertungszahlen für nicht besetzte Felder finden.

Bewertungszahl


Transportaufgaben beispiel einer baufirma25
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Da unter noch eine positive Bewertungszahl vorhanden ist, ist das Optimalitätskriterium noch nicht erreicht.

  • Ist keine Reihe zu streichen beginnt der Zickzackweg sofort.


Transportaufgaben beispiel einer baufirma26
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Der Zickzackweg über die besetzten Felder beginnt mit der höchsten positiven Bewertungszahl vertikal beginnend mit einem - , hier .


Transportaufgaben beispiel einer baufirma27
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Der Zickzackweg wird fortgesetzt bis alle besetzten Felder eine -Variable aufweisen.


Transportaufgaben beispiel einer baufirma28
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Der kleinste negative -Wert tritt hier dreifach auf.

  • In diesem Fall wird das erste teuerste Feld ausgesucht. Die übrigen Basisvariablen erhalten den Wert Null.


Transportaufgaben beispiel einer baufirma29
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Das Einsetzen der -Werte ergibt die Werte der neuen besetzten Felder.

  • Beginnend mit ergeben sich neue Potenziale:


Transportaufgaben beispiel einer baufirma30
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Mit lassen sich die neuen Bewertungszahlen in den unbesetzten Feldern erstellen.

  • Da alle Bewertungszahlen negativ sind handelt es sich um die optimale zulässige Basislösung.

Z=6x4+6x4+8x2+5x0+5x1+4x0+4x6=93


Transportaufgaben beispiel einer baufirma31
TransportaufgabenBeispiel einer Baufirma

  • Grafische Darstellung der Lösung:


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