Konometri 1
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 24

Økonometri 1 PowerPoint PPT Presentation


  • 57 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006. Oversigt: De næste forelæsninger.

Download Presentation

Økonometri 1

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Konometri 1

Økonometri1

Inferens i den lineære regressionsmodel

25. september 2006

Økonometri 1: F6


Oversigt de n ste forel sninger

Oversigt: De næste forelæsninger

  • Statistisk inferens: ” …hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan drage konklusioner på grundlag af data, […] blandt andet punktestimation og intervalestimation af parametre samt metoder til afprøvning af statistiske hypoteser.” (TSØ p. 238)

  • Simulationseksperimenter (Note på hjemmesiden)

    • Ideen med at lave simulationseksperimenter

    • Opbygning af en simulationsalgoritme

    • Eksempel: Den forventede startløn for en økonom

    • Eksempel (ugeseddel 3): Alternativ middelret estimator

  • Resultater om OLS med endeligt antal observationer (kap. 4):

    • Normalitetsantagelse (MLR.6).

    • Test af en enkelt lineær restriktion på koefficienter i lineær regressionsmodel.

  • Asymptotiske resultater for OLS: (kap. 5).

  • Test af flere lineære restriktioner (kap. 4.5 og 5.2).

Økonometri 1: F6


Hvorfor simulationseksperimenter

Hvorfor simulationseksperimenter?

  • Simulationseksperimenter kaldes også ”Monte Carlo” eksperimenter.

  • De introduceres i Økonometri 1 for at illustrere vigtige statistiske begreber: Middelret estimation, varians, efficiens,…

  • Simulationseksperimenter er (stort set) ikke dækket af Wooldridge (men se Table C.1, p.771), så derfor benyttes en note (se hjemmesiden).

  • I noten analyserer vi fordelingen af OLS estimatoren og sammenligner med fordelingen af en alternativ estimator

  • Simulationseksperimenter vil også optræde i øvelserne (ugeseddel 4, 5, 7, 12).

  • Kommer igen i Økonometri 2.

Økonometri 1: F6


Monte carlo eksperiment ideen

Monte Carlo eksperiment: Ideen

  • Simulationer af ”datasæt” fra en fuldt specificeret model: Datagenererende proces (DGP)

  • Eksempel:

  • Vi kender de "sande parametre" og . Genererer et sæt af fx n=100 observationer fra modellen:

  • ”Glemmer” at vi kender og : Anvend estimator (”regneregel”) til at skønne over ud fra et konkret (men kunstigt) sæt af observationer:

  • Fx gennemsnittet:

Økonometri 1: F6


Monte carlo eksperimenter ideen fortsat

Monte Carlo eksperimenter: Ideen (fortsat)

  • Kan vi på en nem måde vurdere, om er en ”rimelig” estimator for ?

  • Lav en uafhængig trækning af et nyt datasæt, der er genereret af den samme DGP.

  • Lav mange uafhængige trækninger (”replikationer”):

  • Beregn værdien af estimatoren for hvert datasæt:

  • Se på fordelingen af estimaterne over replikationerne: Beregn fx fordelingens gennemsnit og varians.

  • Parallel til ”tankeeksperimentet”: Vores konkrete faktiske datasæt er blot ét blandt mange potentielle udfald.

Økonometri 1: F6


Monte carlo eksperimenter ideen fortsat1

Monte Carlo eksperimenter: Ideen (fortsat)

  • Formål med Monte Carlo eksperimenter:

    • Efterprøve analytiske resultater: Fx at OLS er middelret under MLR.1-4.

    • Analysere konsekvenserne, hvis antagelserne ikke holder.

    • Sammenligne forskellige estimatorer eller test, hvor det er besværligt/umuligt analytisk.

    • Vurdere hvor mange observationer der skal til, for at man kan bruge asymptotiske resultater i praksis (kap. 5).

Økonometri 1: F6


Monte carlo eksperimenter eksempel

Monte Carlo eksperimenter: Eksempel

  • DJØFs hjemmeside www.djoef.dk: ”Vejledende startløn” for en privatansat, nyuddannet økonom er kr. 29.500 om måneden (pr. februar 2005).

  • Antag:

    • Startlønninger er uafhængige og normalfordelte.

    • Sand middelværdi i lønfordelingen er kr. 29.500.

    • Sand lønfordeling har standardafvigelse på kr. 1.500.

  • Hermed er lønfordelingen fuldt specificeret.

  • Simulere en situation, hvor der indhentes en tilfældig stikprøve af n=100 startlønninger.

Økonometri 1: F6


Monte carlo eksperimenter i praksis

Monte Carlo eksperimenter: I praksis

ProcIML;

antalobs = 100;

mu = j(antalobs,1,29.5);

seedvct = j(antalobs,1,1) ;

seedvct = 117*seedvct ;

e = normal(seedvct) ;

y = mu + 1.5 * e ;

quit;

Økonometri 1: F6


Monte carlo eksperimenter i praksis fortsat

Monte Carlo eksperimenter: I praksis (fortsat)

m1est=sum(y)/antalobs; * estimatet m1 (gennemsnittet);

m2est=1/2*(min(y)+max(y)); * estimatet m2 (gns. min og max);

Økonometri 1: F6


Monte carlo eksperimenter i praksis fortsat1

Monte Carlo eksperimenter: I praksis (fortsat)

antalrep = 10000; * antal replikationer i simulationen;

m1 = j(antalrep,1,.); * vektorer til at gemme estimaterne i;

m2 = j(antalrep,1,.);

do j=1 to antalrep; * løkke over simulationer;

* her beregnes estimater for hvert datasæt>

* estimaterne gemmes for hver replikation ;

m1[j,1]=m1est ; * m1 ;

m2[j,1]=m2est ; * m2 ;

end;

Trin 3: Gentag trin 1 og 2: M=10.000 replikationer:

Trin 4: Analysér fordelingerne af de to sæt estimater:

  • Histogram

  • Gennemsnit, varians, højere momenter

Økonometri 1: F6


Monte carlo eksperimenter eksempel1

Monte Carlo eksperimenter: Eksempel

  • Brug algoritmen til at analysere og som estimatorer for middelværdien i fordelingen af startlønninger.

  • Simulere telefoninterviews med tilfældigt udvalgte, nyuddannede økonomer, som oplyser (?) deres startløn.

  • SAS-programmet MC.sas udfører M=10.000 replikationer. Se på n=100, n=50 og n=10.

  • Link til SAS

  • ”Hjemmeopgave”: Brug SAS-programmet MC.sas til at køre et simulationseksperiment, hvor du har n=100, men sætter antallet af replikationer til M=5.000. Sammenlign og fortolk dine resultater.

Økonometri 1: F6


Monte carlo eksperimenter eksempel fortsat

Monte Carlo eksperimenter: Eksempel (fortsat)

Middelværdi og varians af de to estimatorer baseret på M=10.000 simulationer

  • har lavest varians

  • Varians aftager medn

Økonometri 1: F6


Eksempel en alternativ middelret estimator i en simpel line r regressionsmodel

Eksempel: En alternativ middelret estimator i en simpel lineær regressionsmodel

  • Model:

  • Alternativ estimator:

  • Gennemsnit for de observationer, der svarer til de

    mindste og største værdier af

  • Ugeseddel 3: Vis at er middelret.

  • Ugeseddel 5: Sammenlign med i et simulationseksperiment

Økonometri 1: F6


Monte carlo eksperimenter afrunding

Monte Carlo eksperimenter: Afrunding

  • Husk:

    • Resultater og konklusioner fra Monte Carlo eksperimenter afhænger potentielt af de valgte parametre og fordelinger.

    • I praktiske anvendelser må man i hvert enkelt tilfælde godtgøre, at den valgte model har relevans for den problemstilling, man ønsker at belyse.

Økonometri 1: F6


Hypotesetest i den line re regressionsmodel endelige stikpr ver kap 4

Hypotesetest i den lineære regressionsmodel: Endelige stikprøver (kap. 4)

  • For hypotesetest behøver vi fordelingen af .

  • Introducere yderligere antagelse: Normalitet.

  • MLR.6: u er uafhængig af og normalfordelt med middelværdi nul og varians .

  • MLR.1-6 definerer den klassiske lineære model (CLM).

  • Restriktiv antagelse:

    • Argument for: u opsamler alle de mange effekter der er udeladt af modellen: Central grænseværdisætning køres i stilling.

    • Argumenter imod i konkrete problemstillinger: Begrænsede variabler (positive!), andre typer af fordelinger (log-normal, diskrete).

Økonometri 1: F6


Fordeling af ols estimatoren endelig stikpr ve

Fordeling af OLS estimatoren: Endelig stikprøve

  • Linearitet af i u og CLM giver følgende resultat:

  • Theorem 4.1: Under CLM antagelserne og betinget på gælder at

    hvor

    Heraf følger:

Økonometri 1: F6


Fordeling af ols estimatoren endelig stikpr ve fortsat

Fordeling af OLS estimatoren: Endelig stikprøve (fortsat)

  • Theorem 4.1 indeholder den ukendte parameter , derfor ikke umiddelbart operationel.

  • Erstattes af kan man vise at der gælder følgende resultat:

  • Theorem 4.2: Under CLM antagelserne og betinget på gælder at

  • hvor k+1 er antal regressorer i modellen inkl. konstantled.

  • t-fordelingen går mod N(0,1) når antallet af frihedsgrader vokser (fin approximation hvis større end 120).

Økonometri 1: F6


Hypotesetest restriktion p en enkelt koefficient

Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient

  • Betragt en nulhypotese om en regressionskoefficient: , hvor a er en konstant.

  • Under nulhypotesen påstår vi altså en bestemt værdi af en parameter i den sande model.

  • Analogt til at specificere en parameter i DGP’en for et Monte Carlo eksperiment.

  • Tænk på nulhypotesen som DGP’en for et tankeeksperiment: Givet denne værdi af kender vi fordelingen af .

  • Bruge afvigelsen mellem estimatet, og den postulerede værdi, a, til at vurdere gyldigheden af nulhypotesen.

Økonometri 1: F6


Hypotesetest restriktion p en enkelt koefficient1

Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient

  • t-testet for er givet ved

  • og er fordelt som under nulhypotesen.

  • Alternativhypotesen:

    • Ensidede alternativer:eller

    • Tosidet alternativ:

  • Ex. Afkast af uddannelse: Hypotese om

    • Nulhypotese:

    • Relevant alternativ:

Økonometri 1: F6


Hypotesetest restriktion p en enkelt koefficient2

Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient

  • Klassisk teststrategi:

    • Vælg signifikansniveau: Sandsynlighed for at afvise nulhypotesen, givet at den er sand. Typisk vælges 5 %.

    • Vælg alternativhypotese: Bestemmer den kritiske region, givet signifikansniveauet.

    • Beregn teststatistik.

      • Afvis nulhypotesen hvis testet er i den kritiske region.

      • Afvis ellers ikke.

  • Alternativ: Beregn p-værdi: Marginale signifikansniveau som netop ville betyde at nulhypotesen må afvises.

Økonometri 1: F6


Hypotesetest restriktion p en enkelt koefficient3

Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient

  • Typiske eksempler:

    • a=0: Standard signifikanstest.

    • a=1 eller a=-1: Test af homogenitet eller proportionalitet.

  • Konfidensinterval: Givet signifikansniveau, , fx 5 %. Så er 100- % konfidensintervallet givet ved:

  • Konstrueres intervallet således vil det i 100- % af udfaldene rumme den sande værdi. Nulhypoteser om værdier udenfor vil således blive afvist.

  • Skitsér på tavlen.

  • Eksempel: Lønrelationen.

Økonometri 1: F6


Hypotesetest eksempel l nrelationen

Hypotesetest: Eksempel: Lønrelationen

Afhængig variabel: log(timeløn)

Kilde: Output fra SAS-programmet lon_udd2.sas

Økonometri 1: F6


Nb er fra denne forel sning

NB’er fra denne forelæsning

  • Monte Carlo eksperimenter som en måde at gøre det statistiske ”tankeeksperiment” mere konkret.

  • Resultater fra Monte Carlo eksperimenter afhænger potentielt af de valgte parametre for DGP’en.

  • Antal observationer i stikprøven (n) og antal replikationer (gentagelser) i eksperimentet (M).

  • Eksplicit om ingredienser i klassisk teststrategi.

Økonometri 1: F6


Hvad bliver det n ste

Hvad bliver det næste?

  • Fredag: Mere om kapitel 4, starter på kapitel 5 om ”asymptotiske” resultater.

  • Hjemmeopgave på ugeseddel 3: Den ”alternative” estimator

  • Ugeseddel 4: Simulationseksperiment.

Økonometri 1: F6


  • Login