Комбинаторика
Download
1 / 207

Комбинаторика - PowerPoint PPT Presentation


  • 91 Views
  • Uploaded on

Комбинаторика. Комбинаторика – раздел математики, посвященный подсчету количеств разных комбинаций элементов некоторого, обычно конечного, множества. Факториал. Для сокращения записи 1 2 3 …  n было введено обозначение n ! (читается « n факториал»). 0! = 1.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Комбинаторика' - nadine-beasley


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Комбинаторика – раздел математики, посвященный подсчету количеств разных комбинаций элементов некоторого, обычно конечного, множества.


Факториал

Для сокращения записи 12 3 … nбыло введено обозначение n! (читается «nфакториал»).

0! = 1


Задача. Вычислите значения следующих выражений:

а) 1!,

б) 3!,

в)



Элементы теории множеств

Примеры множеств:

  • множество всех стульев в комнате,

  • множество всех рыб в океане,

  • множество всех точек на данной окружности и т.д.

    Все они объединены некоторым общим признаком.


Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами. Для того, чтобы указать, что данное множество А состоит из элементов x, y,…, z, пишут

А = {x, y, …, z}.

Например, множество дней недели состоит из элементов {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}.


Если известно свойство множество, называются его P, которое связывает элементы данного множества А, то это множество записывают в виде

А = {x|xобладает свойством P}.


Например, множество, называются его

B ={xN| x/2} –

множество всех четных натуральных чисел.


Множество множество, называются его , не имеющее ни одного элемента, называется пустыми обозначается .


Примеры числовых множеств. множество, называются его

N ={1, 2, 3, …}– множество всех натуральных чисел;

Z ={…, - n, …,-2, -1, 0, 1, 2, …, n, …}– множество всех целых чисел;

Q ={ | m  Z, n N}– множество всех рациональных чисел;


R множество, называются его – множество всех вещественных (действительных) чисел;

C - множество всех комплексных чисел;

{xR| -1x 2}-множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству -1x 2.


Множество множество, называются его называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов. В противном случае, множество называется бесконечным.

Примеры конечных множеств:

, {}, {0, 1}, {4, 7, 12, 8, 1}.


Множество множество, называются его Bназывается подмножествомA, если всякий элемент множества Bявляется и элементом множества A.

B A(или A B)

N ZQR


Два множества множество, называются его равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

A Bи BA, то

A= B


ОПЕРАЦИИ НАД множество, называются его

МНОЖЕСТВАМИ


Объединением множество, называются его двух множеств Aи B(обозначение A B) называется множество C, элементы которого принадлежат множеству Aили множеству B, т.е.

A B= {x| xAили xB}

A

B

Круги Эйлера


Пересечением множество, называются его двух множеств Aи B(обозначение A B) называется множество C, элементы которого принадлежат как множеству A,так и множеству B, т.е.

A B= {x| xAи xB}

A

B


Разностью множество, называются его множеств Aи B(обозначение A \B) называется множество C, состоящее только из тех элементов множества A, которые не содержатся в B, т.е.

A \B= {x| xA,xB}

A

B

В общем случае A \ B ≠ B \ A


Дополнением множество, называются его (до U)множества Aназывается множество A всех элементов, не принадлежащих A, но принадлежащих универсальному множеству U, т.е.

A = U \ A.

U – универсальное множество такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.

A

A

U


Основные правила комбинаторики. множество, называются его

  • Правило сложения:

    Если объект а можно выбрать n различными способами, а объект b –

    kразличными способами, которые отличаются nспособов, то выбор «или а,илиb» (а + b) можно осуществить n + kразличными способами.


Задача. множество, называются его Имеется 15 билетов в цирк и 6 билетов в кинотеатр. Сколькими способами можно выбрать один билет?

Решение. Т.к. нам нужно выбрать 1 билет, который был бы или билетом в цирк, или билетом в кинотеатр (все билеты разные), то по правилу суммы получаем:

15 + 6 = 21 способом.


  • Правило произведения множество, называются его :

    Если объект а можно выбрать nразличными способами, а объект b –

    kразличными способами, то выбор пары «а иb» (а b;одновременно или одно за другим) можно осуществить nkразличными способами.

Правило применяется когда каждый способ одного действия комбинируется с каждым способом другого действия.


Задача. множество, называются его Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из букв слова «учебник»?

Решение. Гласную можно выбрать тремя способами (у, е, и), а согласную – четырьмя способами (ч, б, н, к). Т.к. нужно выбрать гласную и согласную буквы, то число способов равно

3  4 = 12.


Размещения, перестановки множество, называются его

и сочетания.

  • Если из множества, содержащего nэлементов, каким-то способом отобраны mэлементов (mn), то говорят, что из этого множества произведена выборка объемаm.


  • Если порядок множество, называются его расположения

    элементов выборки принимают во внимание, то выборки называют упорядоченными.

    Таким образом, две упорядоченные выборки считаются различными, если они отличаются либо составом элементов, либо их расположением.


  • В том случае, когда порядок множество, называются его расположения элементов не учитывают, выборки называют неупорядоченными.

    Следовательно, две неупорядоченные выборки считаются различными, если в одной из них есть хотя бы один элемент, которого нет в другой.


Например множество, называются его , для множества, состоящего из трех элементов a, b, c, существуют три различные неупорядоченные выборки объема 2 (ab, bc, ac) и шесть различных упорядоченных выборок того же объема (ab, bc, ac, ba, cb, ca).


Опр. множество, называются его Размещением из n элементов по k элементов называется любое упорядоченное подмножество из элементов множества n, состоящее из k различных элементов.

Число размещений из n по k вычисляется по формуле

Читается: «а из n по k».


Задача: множество, называются его В соревновании участвуют 12 команд, сколькими способами они могут занять призовые места?

Т.к. из 12-элементного множества выбирают группы по 3 элемента с учетом порядка, то число способов выбора равно

Важен порядок!


Опр. множество, называются его Перестановками из n различных элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все n различные элементы данного множества.

Количество перестановок множества из n по k вычисляется по формуле


  •  - 1 множество, называются его перестановка = 0! = 1

    кол-во элементов

  • {a} – 1 перестановка = 1!

  • {a, b}, {b, a} – 2 перестановки = 12 = 2!

  • {a, b, c}, {a, c, b}, {c, b, a}, {b, a, c}, {c, a, b}, {b, c, a} – 6 перестановок = 123 = 3!

  • {a, b, c, d} – 24 = 4!

    ……….


Задача множество, называются его . В команде 6 человек. Сколькими способами можно осуществить построение?

Т.к. 6-элементное множество меняет порядок элементов, то количество способов равно


  • Опр. множество, называются его Сочетанием из n элементов по k элементов называется любое неупорядоченное подмножество из k различных элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n различных элементов.

    Число сочетаний множества из n по k вычисляется по формуле

Читается: «це из n по k».


Задача. множество, называются его Сколькими способами из 33 человек студенческой группы можно выбрать 5 человек для награждения медалями.

Т.к. из множества, содержащего 33 элемента, составляют подмножества по 5 элементов, то число способов равно

Порядок не важен!


Свойства числа сочетаний: множество, называются его

число всех подмножеств n–элементного множества.


Бином Ньютона множество, называются его

биноминальные коэффициенты.


Треугольник Паскаля множество, называются его

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

По краям каждой строки стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух стоящих над ним чисел предыдущей строки.

Сумма всех чисел, стоящих на n-ой строке треугольника равна 2n.


Теория вероятностей множество, называются его


СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


Теория вероятностей – ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙэто раздел математики, изучающий закономерности массовых случайных событий.


Случайным ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙназывается событие, наступление которого нельзя гарантировать.

К случайным событиям относятся: выпадение того или иного числа при бросании игральной кости, выигрыш в лотереи и т.п.


Случайным событиям (явлениям) присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний.

Испытанием (опытом)называется совокупность условий, при которых может произойти данное случайное событие.


Событие присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний. называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить или не наступить.

События обозначается:


Например, присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний. завтра днем ожидается дождь. В этом примере наступление дня является испытанием, а выпадение дождя – случайное событие.


Достоверное событие присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний. – это событие, которое в результате испытания непременно должно произойти.Например, получение студентом положительной или отрицательной оценки на экзамене есть событие достоверное, если экзамен протекает согласно обычным правилам.


Невозможное событие присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний.– это событие, которое в результате испытания не может произойти.

Например, если в урне находятся лишь цветные (не белые) шары, то извлечение из этой урны белого шара есть событие невозможное.


События присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний. называются несовместными, если в результате данного опыта появление одного из них исключает появление другого.

Например, при бросании монеты выпадение одновременно орла и решки есть события несовместные.


События присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний. называются совместными, если в результате данного опыта появление одного из них не исключает появление другого.

Например, при игре в карты появление валета и масти пик - события совместные.


События присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний. называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них происходит чаще, чем другое.

Например, выпадение любой грани игрального кубика есть равновозможные события.


События образуют присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний. полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.

Например, при 10 выстрелах в мишень возможно от 0 до 10 попаданий.


События, входящие в присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний.полную группупопарно несовместных и равновозможных событий, называются исходами, или элементарными событиями.

Совокупность  = А1+ А2 +…+ Аn всех

элементарных событий в опыте

называется пространством

элементарных событий.


Два несовместных события присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний.A и (читается «не A») называются противоположными, если в результате опыта одно из них должно обязательно произойти.

Например, если стипендия начисляется только при получении на экзамене хороших и отличных оценок, то события «стипендия» и «неудовлетворительная или удовлетворительная оценка» - противоположные.


Событие присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний.A называется благоприятствующим событию B, если появление события Aвлечет за собой появление события B.

Например, при бросании игрального кубика появлению нечетного числа благоприятствуют события, связанные с выпадением чисел 1, 3 и 5.


АЛГЕБРА СОБЫТИЙ присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний.


Суммой событий присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний.A иB называется событиеA+BAB, состоящее в том, что в опыте произойдет хотя бы одно из этих событий (возможно два сразу).


Произведением событий присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний.A иB

называется событие AB AB, состоящее в одновременном появлении этих событий.

AB= 0 – события Aи Bнесовместные, т.к. событие ABневозможное событие.


Разностью событий присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний.A и Bназывается событие A - B, состоящее в том, что событие A произойдет, а событие B нет.


Диаграммы Венна присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний.


Например, присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний.пусть при бросании игрального кубика событие А – появление четных чисел (2, 4, 6), а событие В – чисел кратных 3 (3, 6). Тогда событие А – В – появление чисел (2, 4).


C присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний.


ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний.


Классическое определение вероятности

Вероятностью p(A)события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных исходов опыта.


где вероятностиk – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А,

n – число всех возможных элементарных исходов опыта.


СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

3. Вероятность случайного события находится между 0 и 1.


Задача. вероятности В урне 10 белых, 5 красных и 5 зеленых шаров. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет цветным (не белым).

Решение. Опыт: 1 шар из 20.

n = 20 (способов вынуть 1 шар из 20).

Событие А: вынутый шар окажется не белым.

k = 10 (способов вынуть не белый шар из 10 (сумма красных и зеленых шаров)). Тогда

(шансы исходов, которые приведут к появлению события А).



Классическое определение вероятности события предполагает, что

  • число элементарных исходов конечно,

  • эти исходы равновозможные.

    На практике встречаются опыты с бесконечным числом различных возможных исходов. Существует сложность обоснования равновозможных конечных элементарных исходов. В этих случаях используют статистическую оценку вероятности события.


Отношение числа появлений вероятности события предполагает, чтоk события А к общему числу испытаний nназывается относительной частотой(частостью)события А.


Теорема сложения вероятностей. вероятности события предполагает, что

Вероятность суммы двух несовместных событий (АВ = 0) равна сумме вероятностей этих событий


  • = вероятности события предполагает, чтоА1+ А2 +…+ Аn– полная группа событий, то

    p(А1) + p (А2) +…+ p (Аn) = 1.


Сумма вероятностей противоположенных событий


Вероятность появления противоположенных событийхотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, т.е.


Теорема умножения вероятностей. противоположенных событий

Вероятность события А при условии, что произошло событиеВ, называется условной вероятностью события А и обозначается

p(A/B) = pB(A).

Читаем: pот Aпри условии B.


Теорема противоположенных событий. Если события А и Внезависимы, то независимы события и В, а также и события и


Два противоположенных событийсобытияА и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого, т.е.

В противном случае события называются зависимыми.


Вероятность произведения (совместного появления) 2 независимых событийА и В равна произведению вероятностей этих событий:

Этот закон справедлив и дляn независимых событий.


Вероятность произведения (совмещения) 2 зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие осуществилось.


Задача. (совмещения) 2 В группе из 20 человек 5 студентов не подготовили задание. Какова вероятность того, что два первых студента, вызванные наугад, будут не готовы к ответу.


Решение (совмещения) 2 . Опыт: 2 студента одного за другим вызывают наугад.

Событие А: вызванные студенты не готовы к ответу.

Введем события:

А1 – первый студент не готов,

А2 – второй студент не готов.

и А1 и А2  А = А1А2

События зависимые (происходят одновременно или один за другим), то


Задача (совмещения) 2 . Слово «лотос» составлено из одинаковых букв - кубиков. Кубики рассыпаны. Берут наугад один за другим три кубика. Какова вероятность того, что при этом появиться слово «сто».

Решение: . Опыт: Берут наугад один за другим три кубика.

Событие A - проявиться слово «сто».

A1- первой извлечена«с».

A2- второй извлечена «т».

A3- третьей извлечена «о».

(События зависимые)


Представим событие (совмещения) 2 A в виде:

Тогда:

(2 – две буквы «о»)



Пусть событие (совмещения) 2 А может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий образующих полную группу.

гипотезы.


Вероятность события (совмещения) 2 А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:


ФОРМУЛА БАЙЕСА (совмещения) 2


Эта формула решает следующую задачу: пусть произведен опыт, и в результате него наступило событие А.

H1, H2,…, Hn - полная группа несовместных гипотез,

p(Hi) (i= 1, 2,…,n) – вероятности этих гипотез известны до опыта. Найти вероятностиэтих гипотез после опыта, т.е. условную вероятность


ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ задачу: пусть произведен опыт, и в результате него наступило событие


Формула Бернулли задачу: пусть произведен опыт, и в результате него наступило событие


Пусть производится задачу: пусть произведен опыт, и в результате него наступило событие n независимых испытаний, каждое из которых может иметь 2 исхода: «успех» с вероятностью p и «неудачу» с вероятностью q = 1 – p.

Теорема. Пусть в опыте производится n независимых испытаний в одних и тех же условиях, причем некоторое событие Aв каждом опыте появляется с одной и той же вероятностью p. Тогда вероятность pn(k) того, что в n опытах событие Aпроизойдет ровно k раз, вычисляется по формуле


где задачу: пусть произведен опыт, и в результате него наступило событие n - столько раз проводили опыт;

k - число появления соб. A;

p - вероятность появления соб. A;

q - вероятность не появления соб. A,


Следствия: задачу: пусть произведен опыт, и в результате него наступило событие

1) Если n 10, то используют формулу Бернулли.

2)


Вероятность задачу: пусть произведен опыт, и в результате него наступило событие при больших значениях



Теорема. Лапласа Если вероятность pнаступления события A в каждом испытании постоянна и 0  p1, то вероятность pn(k) того, что событие A произойдет kраз в nнезависимых испытаниях при достаточно большом числе n, вычисляется по формуле


  • Чем больше Лапласа n, тем точнее формула.

  • Значения функции (x) сведены в специальную таблицу.



Теорема. Лапласа Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и 0  p1, то вероятность того, что число k наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от k1до k2 (включительно), при достаточно большом числе nприближенно равно


  • Чем больше Лапласа n, тем точнее интегральная формула Лапласа.

  • Значения функции Ф(x) сведены в специальную таблицу.

  • Свойства функции Ф(x):

  • Ф(x) – нечетная функция,

  • Ф(x) – монотонно возрастающая функция.




Теорема. Ф( Если вероятность p наступления события Aв каждом испытании стремится к нулю (p«мала») при неограниченном увеличении числа nиспытаний (n«велико»), причем произведение np стремится к постоянному числу (np), то вероятность того, что событие A появится k раз в nнезависимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству


Задача. Ф(При выработке некоторой массовой продукции вероятность появления одного нестандартного изделия составляет 0,01. Какова вероятность того, что в партии 100 изделий этой продукции 2 изделия будут нестандартными?

Решение. Вероятность p = 0,01 мала, а число n = 100 велико,

причем  = np = 1000,01 = 1.


Для искомой вероятности используем формулу Пуассона и получим:




Случайной функции называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.


Дискретной функции (прерывной) случайной величиной называют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечно, либо бесконечно, но обязательно счетно.

Например, количество студентов на лекции, число новорожденных за сутки.


Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Например, дальность полета футбольного мяча, температура тела пациента за определенный промежуток времени.


Случайные величины: величиной

их значения:



Определение. величинами.

Суммой случайных

величин и называется случайная величина , возможные значения которой есть


Определение. величинами.

Произведением случайных величин и называется случайная величина , возможные значения которой есть


Определение. величинами.

Произведением СXслучайной величины X на постоянную С называется случайная величина Z, возможные значения которой есть


Определение. величинами.

m-й степенью случайной величиныX, т.е. , называется случайная величина, которая принимает значения с теми же вероятностями pi(i= 1, 2,…, n).


Закон распределения величинами.случайной величины


Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение между возможными значениями случайной величиныи соответствующими им вероятностями.


Закон распределения величиныдискретной случайной величины можно задать табличным, графическим и аналитическим способами.


Две случайные величины величиныназываются независимыми, если закон распределения вероятностей одной из них не зависит от того какие возможные значения приняла другая.



Пусть величины

тогда

тогда

тогда

…………………………………

тогда



Многоугольник величины распределения

(xi, pi) - вершины многоугольника.



Функцией распределения вероятностейслучайной величины Xназывается функцияF(x), задающая вероятность того, что случайная величина X принимает значение, меньшее x, т.е.


Свойства функции распределения: вероятностей

1.

т.к. а

2. F(x) - неубывающая функция и для

выполняется равенство


3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности – единице, т.е.

4.

5. F(x) – непрерывная слева функция.


Рассмотрим распределения равна нулю, на плюс бесконечности – единице, т.е.F(x) для дискретной случайной величины X. F(x)можно представить как сумму значений вероятностей по тем значениям X, которые меньше xi, т.е.


…………………………………………........... распределения равна нулю, на плюс бесконечности – единице, т.е.


Суммирование производится по тем i, для которых xi x.




Плотность распределения вероятностей f(x) является разновидностью закона распределения для непрерывных случайных величин.


Пусть вероятностей X -непрерывная случайная величина.

Рассмотрим вероятность попадания значений случайной величины в некоторый интервал

Разделим обе части на  x

и


Дифференциальной функцией распределения или плотностьюраспределения вероятностейf(x)непрерывной случайной величины X называется первая производная интегральной функции распределения F(x).


График дифференциальной функции распределения называется кривой распределения:

При возрастании числа значений случайной величины (n∞) и увеличении количества интервалов на графике, уменьшаются их ширины (x0) и функция распределения вместо ступенчатого, принимает плавный характер.


Свойства плотности распределения вероятности:

1. Для

2. Для имеет место равенство

3.

4.


Числовые характеристики распределения вероятности: случайных величин.


При решении ряда задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые в жатой форме дают достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются: математическоеожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.


Математическое ожидание необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые в жатой форме дают достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называются характеризует положение случайной величины на числовой оси, определяя некоторое среднее значение, около которого сосредоточены все возможные значения случайной величины.


Математическое ожидание необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые в жатой форме дают достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называются M(X)

дискретной случайной величиныX равно сумме произведений всех возможных ее значений на

соответствующие вероятности:


Математическое ожидание необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые в жатой форме дают достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называются M(X) непрерывной случайной величины X с плотностью распределения f(x) равно

В общем случае


Математическое ожидание необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые в жатой форме дают достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называются является центром распределения вероятностей случайной величины X.

f(x)

M(X)

x


Свойства математического ожидания:

1.

2.

3.

4. Если X, Y - независимые случайные величины, то

5. Если X, Y - независимые случайные величины, то

6.


Другой характеристикой центра распределения является срединная точка, или медиана. МедианаМе равна такому значению случайной величины, которое делит пополам площадь под кривой плотности распределения.

Мода – это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятностью.


Пример 1. распределения является срединная точка, или


Пример 2. распределения является срединная точка, или


Дисперсией распределения является срединная точка, или (рассеянием)D(X)случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от её математического ожидания.

где M(X) - математическое ожидание случайной величины X,

(X - M(X))- отклонение.


Для распределения является срединная точка, или дискретной

для непрерывной


Задача. распределения является срединная точка, или Случайная величина задана следующим рядом распределения

Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины.

Решение. Дана дискретная случайная величина. Результаты вычисления сведены в таблицу.


M распределения является срединная точка, или (X) = 0,7;

D(X)= 0,81.


Задача. распределения является срединная точка, или Случайная величина задана плотностью вероятности:

Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины.

Решение. Дана непрерывная случайная величина.


Математическое ожидание: распределения является срединная точка, или


Дисперсия: распределения является срединная точка, или


Формула для распределения является срединная точка, или вычислениядисперсии случайной величины:

Читается: разность между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.


Дисперсия распределения является срединная точка, или D(X) характеризует рассеивание (отклонение) случайной величины относительно математического ожидания.

Дисперсия – всегда положительное число.


Свойства дисперсии: распределения является срединная точка, или

1.

2.

3.

4.

5.


Среднее распределения является срединная точка, или квадратическое отклонение:


Законы распределения распределения является срединная точка, или непрерывных случайных величин


Равномерное распределение распределения является срединная точка, или


Непрерывная случайная величина распределения является срединная точка, или X, все возможные значения которой заполняют конечный промежуток [a,b], называется равномерно распределенной, если ее плотность вероятности f(x) постоянна на этом промежутке.


F распределения является срединная точка, или (x)

1

a

b

x


Нормальное распределение распределения является срединная точка, или


Непрерывная случайная величина распределения является срединная точка, или X имеетнормальное распределение вероятностей(закон Гаусса)с параметрами aи , если ее плотность распределения задается формулой:


где распределения является срединная точка, или a = M(X)– математическое ожидание случайной величины;

2= D(X)– дисперсия случайной величины;

 - среднее квадратическое отклонение.


Основные свойства графика распределения является срединная точка, или нормального распределения:

  • D(f) = (-; +).

  • f(x) > 0.

  • Предел функции f(x) при неограниченном возрастании xравен нулю, т.е. ось Оxявляется горизонтальной асимптотой графика функции.

  • Функция f(x) имеет в точке x= aмаксимум, равный

  • График функции f(x) симметричен относительно прямой x= a.

  • Кривая нормального распределения в точках x= a имеет перегиб.


Параметр распределения является срединная точка, или a характеризует положение графика на числовой оси, а  характеризует степень сжатия или растяжения графика относительно оси a. Площадь под кривой во всех случаях должна быть одинаковой и равной 1.

Если случайная величина подчинена нормальному закону распределения с параметрами aи, то это можно записать X  N (a, ).


Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

Для этого используем интегральную функцию Лапласа.


Вероятность того, что заданный интервал нормальной случайной величины.отклонениеслучайной величины X, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания не превысит величину ||> 0, вычисляется по формуле


Правило «трех сигм»: заданный интервал нормальной случайной величины.

Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то ее значения практически не выходят за интервал

(a – 3; a + 3).


Нормальный закон распределения вероятностей находит применение в теории ошибок, теории стрельбы, физике и т.д.


  • Показательное вероятностей находит применение в теории ошибок, теории стрельбы, физике и т.д. (экспоненциальное) распределение


Случайная величина вероятностей находит применение в теории ошибок, теории стрельбы, физике и т.д.Xраспределена по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

f(x)

1

x


Функция распределения случайная величина X,распределенной по экспоненциальному закону, имеет вид:

F(x)

1

x


Законы распределения величина дискретных случайных величин



Дискретная случайная величина величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n с вероятностями

где 0 < p < 1, q =1 – p, k = 0, 1, …, n.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.


Бином Ньютона величина


Биномиальный закон в виде таблицы:

Первый член разложения определяет вероятность того, что событие не появится ни разу, а последний член определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях.


Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и других областях.


Задача. распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и других областях.Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X – числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты p= 1/2, а вероятность непоявления «герба» q= 1- ½ = ½.


При двух бросаниях монеты «герб» может появится либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появится.

Таким образом возможные значения X :

x1 = 2, x2 = 1, x3 = 0.

Найдем вероятности этих значений по формуле Бернулли:


Закон распределения: может появится либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появится.

Контроль: 0,25 + 0,5 + 0,25 =1.


Распределение Пуассона может появится либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появится.


Дискретная случайная величина может появится либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появится.X распределена по закону Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, … с вероятностями

где k = 0, 1, 2, …