slide1
Download
Skip this Video
Download Presentation
Комбинаторика

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 207

Комбинаторика - PowerPoint PPT Presentation


  • 93 Views
  • Uploaded on

Комбинаторика. Комбинаторика – раздел математики, посвященный подсчету количеств разных комбинаций элементов некоторого, обычно конечного, множества. Факториал. Для сокращения записи 1 2 3 …  n было введено обозначение n ! (читается « n факториал»). 0! = 1.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Комбинаторика' - nadine-beasley


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide2
Комбинаторика – раздел математики, посвященный подсчету количеств разных комбинаций элементов некоторого, обычно конечного, множества.
slide3
Факториал

Для сокращения записи 12 3 … nбыло введено обозначение n! (читается «nфакториал»).

0! = 1

slide4
Задача. Вычислите значения следующих выражений:

а) 1!,

б) 3!,

в)

slide6
Элементы теории множеств

Примеры множеств:

  • множество всех стульев в комнате,
  • множество всех рыб в океане,
  • множество всех точек на данной окружности и т.д.

Все они объединены некоторым общим признаком.

slide7
Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами. Для того, чтобы указать, что данное множество А состоит из элементов x, y,…, z, пишут

А = {x, y, …, z}.

Например, множество дней недели состоит из элементов {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}.

slide8
Если известно свойство P, которое связывает элементы данного множества А, то это множество записывают в виде

А = {x|xобладает свойством P}.

slide9
Например,

B ={xN| x/2} –

множество всех четных натуральных чисел.

slide10
Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустыми обозначается .
slide11
Примеры числовых множеств.

N ={1, 2, 3, …}– множество всех натуральных чисел;

Z ={…, - n, …,-2, -1, 0, 1, 2, …, n, …}– множество всех целых чисел;

Q ={ | m  Z, n N}– множество всех рациональных чисел;

slide12
R – множество всех вещественных (действительных) чисел;

C - множество всех комплексных чисел;

{xR| -1x 2}-множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству -1x 2.

slide13
Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов. В противном случае, множество называется бесконечным.

Примеры конечных множеств:

, {}, {0, 1}, {4, 7, 12, 8, 1}.

slide14
Множество Bназывается подмножествомA, если всякий элемент множества Bявляется и элементом множества A.

B A(или A B)

N ZQR

slide15
Два множестваравны, если они состоят из одних и тех же элементов.

A Bи BA, то

A= B

slide16

ОПЕРАЦИИ НАД

МНОЖЕСТВАМИ

slide17
Объединением двух множеств Aи B(обозначение A B) называется множество C, элементы которого принадлежат множеству Aили множеству B, т.е.

A B= {x| xAили xB}

A

B

Круги Эйлера

slide18
Пересечением двух множеств Aи B(обозначение A B) называется множество C, элементы которого принадлежат как множеству A,так и множеству B, т.е.

A B= {x| xAи xB}

A

B

slide19
Разностью множеств Aи B(обозначение A \B) называется множество C, состоящее только из тех элементов множества A, которые не содержатся в B, т.е.

A \B= {x| xA,xB}

A

B

В общем случае A \ B ≠ B \ A

slide20

Дополнением (до U)множества Aназывается множество A всех элементов, не принадлежащих A, но принадлежащих универсальному множеству U, т.е.

A = U \ A.

U – универсальное множество такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.

A

A

U

slide21
Основные правила комбинаторики.
  • Правило сложения:

Если объект а можно выбрать n различными способами, а объект b –

kразличными способами, которые отличаются nспособов, то выбор «или а,илиb» (а + b) можно осуществить n + kразличными способами.

slide22
Задача. Имеется 15 билетов в цирк и 6 билетов в кинотеатр. Сколькими способами можно выбрать один билет?

Решение. Т.к. нам нужно выбрать 1 билет, который был бы или билетом в цирк, или билетом в кинотеатр (все билеты разные), то по правилу суммы получаем:

15 + 6 = 21 способом.

slide23
Правило произведения:

Если объект а можно выбрать nразличными способами, а объект b –

kразличными способами, то выбор пары «а иb» (а b;одновременно или одно за другим) можно осуществить nkразличными способами.

Правило применяется когда каждый способ одного действия комбинируется с каждым способом другого действия.

slide24
Задача. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из букв слова «учебник»?

Решение. Гласную можно выбрать тремя способами (у, е, и), а согласную – четырьмя способами (ч, б, н, к). Т.к. нужно выбрать гласную и согласную буквы, то число способов равно

3  4 = 12.

slide25
Размещения, перестановки

и сочетания.

  • Если из множества, содержащего nэлементов, каким-то способом отобраны mэлементов (mn), то говорят, что из этого множества произведена выборка объемаm.
slide26
Если порядокрасположения

элементов выборки принимают во внимание, то выборки называют упорядоченными.

Таким образом, две упорядоченные выборки считаются различными, если они отличаются либо составом элементов, либо их расположением.

slide27
В том случае, когда порядокрасположения элементов не учитывают, выборки называют неупорядоченными.

Следовательно, две неупорядоченные выборки считаются различными, если в одной из них есть хотя бы один элемент, которого нет в другой.

slide28
Например, для множества, состоящего из трех элементов a, b, c, существуют три различные неупорядоченные выборки объема 2 (ab, bc, ac) и шесть различных упорядоченных выборок того же объема (ab, bc, ac, ba, cb, ca).
slide29
Опр.Размещением из n элементов по k элементов называется любое упорядоченное подмножество из элементов множества n, состоящее из k различных элементов.

Число размещений из n по k вычисляется по формуле

Читается: «а из n по k».

slide30
Задача: В соревновании участвуют 12 команд, сколькими способами они могут занять призовые места?

Т.к. из 12-элементного множества выбирают группы по 3 элемента с учетом порядка, то число способов выбора равно

Важен порядок!

slide31
Опр.Перестановками из n различных элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все n различные элементы данного множества.

Количество перестановок множества из n по k вычисляется по формуле

slide32
 - 1 перестановка = 0! = 1

кол-во элементов

  • {a} – 1 перестановка = 1!
  • {a, b}, {b, a} – 2 перестановки = 12 = 2!
  • {a, b, c}, {a, c, b}, {c, b, a}, {b, a, c}, {c, a, b}, {b, c, a} – 6 перестановок = 123 = 3!
  • {a, b, c, d} – 24 = 4!

……….

slide33
Задача. В команде 6 человек. Сколькими способами можно осуществить построение?

Т.к. 6-элементное множество меняет порядок элементов, то количество способов равно

slide34
Опр.Сочетанием из n элементов по k элементов называется любое неупорядоченное подмножество из k различных элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n различных элементов.

Число сочетаний множества из n по k вычисляется по формуле

Читается: «це из n по k».

slide35
Задача. Сколькими способами из 33 человек студенческой группы можно выбрать 5 человек для награждения медалями.

Т.к. из множества, содержащего 33 элемента, составляют подмножества по 5 элементов, то число способов равно

Порядок не важен!

slide36
Свойства числа сочетаний:

число всех подмножеств n–элементного множества.

slide37

Бином Ньютона

биноминальные коэффициенты.

slide38
Треугольник Паскаля

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

По краям каждой строки стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух стоящих над ним чисел предыдущей строки.

Сумма всех чисел, стоящих на n-ой строке треугольника равна 2n.

slide40
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
slide41
Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности массовых случайных событий.
slide42
Случайным называется событие, наступление которого нельзя гарантировать.

К случайным событиям относятся: выпадение того или иного числа при бросании игральной кости, выигрыш в лотереи и т.п.

slide43
Случайным событиям (явлениям) присущи свои закономерности, но они проявляются лишь при большом количестве испытаний.

Испытанием (опытом)называется совокупность условий, при которых может произойти данное случайное событие.

slide44
Событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить или не наступить.

События обозначается:

slide45
Например, завтра днем ожидается дождь. В этом примере наступление дня является испытанием, а выпадение дождя – случайное событие.
slide46

Достоверное событие – это событие, которое в результате испытания непременно должно произойти.Например, получение студентом положительной или отрицательной оценки на экзамене есть событие достоверное, если экзамен протекает согласно обычным правилам.

slide47
Невозможное событие – это событие, которое в результате испытания не может произойти.

Например, если в урне находятся лишь цветные (не белые) шары, то извлечение из этой урны белого шара есть событие невозможное.

slide48
События называются несовместными, если в результате данного опыта появление одного из них исключает появление другого.

Например, при бросании монеты выпадение одновременно орла и решки есть события несовместные.

slide49
События называются совместными, если в результате данного опыта появление одного из них не исключает появление другого.

Например, при игре в карты появление валета и масти пик - события совместные.

slide50
События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них происходит чаще, чем другое.

Например, выпадение любой грани игрального кубика есть равновозможные события.

slide51
События образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.

Например, при 10 выстрелах в мишень возможно от 0 до 10 попаданий.

slide52
События, входящие в полную группупопарно несовместных и равновозможных событий, называются исходами, или элементарными событиями.

Совокупность  = А1+ А2 +…+ Аn всех

элементарных событий в опыте

называется пространством

элементарных событий.

slide53
Два несовместных события A и (читается «не A») называются противоположными, если в результате опыта одно из них должно обязательно произойти.

Например, если стипендия начисляется только при получении на экзамене хороших и отличных оценок, то события «стипендия» и «неудовлетворительная или удовлетворительная оценка» - противоположные.

slide54
Событие A называется благоприятствующим событию B, если появление события Aвлечет за собой появление события B.

Например, при бросании игрального кубика появлению нечетного числа благоприятствуют события, связанные с выпадением чисел 1, 3 и 5.

slide56
Суммой событий A иB называется событиеA+BAB, состоящее в том, что в опыте произойдет хотя бы одно из этих событий (возможно два сразу).
slide57
Произведением событий A иB

называется событие AB AB, состоящее в одновременном появлении этих событий.

AB= 0 – события Aи Bнесовместные, т.к. событие ABневозможное событие.

slide58
Разностью событий A и Bназывается событие A - B, состоящее в том, что событие A произойдет, а событие B нет.
slide64
Например, пусть при бросании игрального кубика событие А – появление четных чисел (2, 4, 6), а событие В – чисел кратных 3 (3, 6). Тогда событие А – В – появление чисел (2, 4).
slide67
Классическое определение вероятности

Вероятностью p(A)события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных исходов опыта.

slide68

где k – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А,

n – число всех возможных элементарных исходов опыта.

slide69
СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

3. Вероятность случайного события находится между 0 и 1.

slide70
Задача. В урне 10 белых, 5 красных и 5 зеленых шаров. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет цветным (не белым).

Решение. Опыт: 1 шар из 20.

n = 20 (способов вынуть 1 шар из 20).

Событие А: вынутый шар окажется не белым.

k = 10 (способов вынуть не белый шар из 10 (сумма красных и зеленых шаров)). Тогда

(шансы исходов, которые приведут к появлению события А).

slide72
Классическое определение вероятности события предполагает, что
  • число элементарных исходов конечно,
  • эти исходы равновозможные.

На практике встречаются опыты с бесконечным числом различных возможных исходов. Существует сложность обоснования равновозможных конечных элементарных исходов. В этих случаях используют статистическую оценку вероятности события.

slide73
Отношение числа появлений k события А к общему числу испытаний nназывается относительной частотой(частостью)события А.
slide74
Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместных событий (АВ = 0) равна сумме вероятностей этих событий

slide75
= А1+ А2 +…+ Аn– полная группа событий, то

p(А1) + p (А2) +…+ p (Аn) = 1.

slide76
Сумма вероятностей противоположенных событий
slide77
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, т.е.
slide78
Теорема умножения вероятностей.

Вероятность события А при условии, что произошло событиеВ, называется условной вероятностью события А и обозначается

p(A/B) = pB(A).

Читаем: pот Aпри условии B.

slide79
Теорема. Если события А и Внезависимы, то независимы события и В, а также и события и
slide80
Два событияА и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого, т.е.

В противном случае события называются зависимыми.

slide81
Вероятность произведения (совместного появления) 2 независимых событийА и В равна произведению вероятностей этих событий:

Этот закон справедлив и дляn независимых событий.

slide82
Вероятность произведения (совмещения) 2 зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие осуществилось.
slide83
Задача. В группе из 20 человек 5 студентов не подготовили задание. Какова вероятность того, что два первых студента, вызванные наугад, будут не готовы к ответу.
slide84
Решение. Опыт: 2 студента одного за другим вызывают наугад.

Событие А: вызванные студенты не готовы к ответу.

Введем события:

А1 – первый студент не готов,

А2 – второй студент не готов.

и А1 и А2  А = А1А2

События зависимые (происходят одновременно или один за другим), то

slide85
Задача. Слово «лотос» составлено из одинаковых букв - кубиков. Кубики рассыпаны. Берут наугад один за другим три кубика. Какова вероятность того, что при этом появиться слово «сто».

Решение: . Опыт: Берут наугад один за другим три кубика.

Событие A - проявиться слово «сто».

A1- первой извлечена«с».

A2- второй извлечена «т».

A3- третьей извлечена «о».

(События зависимые)

slide86
Представим событие A в виде:

Тогда:

(2 – две буквы «о»)

slide88
Пусть событие А может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий образующих полную группу.

гипотезы.

slide89
Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
slide91
Эта формула решает следующую задачу: пусть произведен опыт, и в результате него наступило событие А.

H1, H2,…, Hn - полная группа несовместных гипотез,

p(Hi) (i= 1, 2,…,n) – вероятности этих гипотез известны до опыта. Найти вероятностиэтих гипотез после опыта, т.е. условную вероятность

slide95
Пусть производится n независимых испытаний, каждое из которых может иметь 2 исхода: «успех» с вероятностью p и «неудачу» с вероятностью q = 1 – p.

Теорема. Пусть в опыте производится n независимых испытаний в одних и тех же условиях, причем некоторое событие Aв каждом опыте появляется с одной и той же вероятностью p. Тогда вероятность pn(k) того, что в n опытах событие Aпроизойдет ровно k раз, вычисляется по формуле

slide96
где n - столько раз проводили опыт;

k - число появления соб. A;

p - вероятность появления соб. A;

q - вероятность не появления соб. A,

slide97
Следствия:

1) Если n 10, то используют формулу Бернулли.

2)

slide100

Теорема. Если вероятность pнаступления события A в каждом испытании постоянна и 0  p1, то вероятность pn(k) того, что событие A произойдет kраз в nнезависимых испытаниях при достаточно большом числе n, вычисляется по формуле

slide102

Чем больше n, тем точнее формула.

  • Значения функции (x) сведены в специальную таблицу.
slide104
Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и 0  p1, то вероятность того, что число k наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от k1до k2 (включительно), при достаточно большом числе nприближенно равно
slide106

Чем больше n, тем точнее интегральная формула Лапласа.

  • Значения функции Ф(x) сведены в специальную таблицу.
  • Свойства функции Ф(x):
  • Ф(x) – нечетная функция,
  • Ф(x) – монотонно возрастающая функция.
slide109

Теорема. Если вероятность p наступления события Aв каждом испытании стремится к нулю (p«мала») при неограниченном увеличении числа nиспытаний (n«велико»), причем произведение np стремится к постоянному числу (np), то вероятность того, что событие A появится k раз в nнезависимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству

slide111

Задача. При выработке некоторой массовой продукции вероятность появления одного нестандартного изделия составляет 0,01. Какова вероятность того, что в партии 100 изделий этой продукции 2 изделия будут нестандартными?

Решение. Вероятность p = 0,01 мала, а число n = 100 велико,

причем  = np = 1000,01 = 1.

slide112

Для искомой вероятности используем формулу Пуассона и получим:

slide115
Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.
slide116
Дискретной (прерывной) случайной величиной называют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечно, либо бесконечно, но обязательно счетно.

Например, количество студентов на лекции, число новорожденных за сутки.

slide117
Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Например, дальность полета футбольного мяча, температура тела пациента за определенный промежуток времени.

slide121
Определение.

Суммой случайных

величин и называется случайная величина , возможные значения которой есть

slide123
Определение.

Произведением случайных величин и называется случайная величина , возможные значения которой есть

slide125
Определение.

Произведением СXслучайной величины X на постоянную С называется случайная величина Z, возможные значения которой есть

slide126

Определение.

m-й степенью случайной величиныX, т.е. , называется случайная величина, которая принимает значения с теми же вероятностями pi(i= 1, 2,…, n).

slide128
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение между возможными значениями случайной величиныи соответствующими им вероятностями.
slide129
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать табличным, графическим и аналитическим способами.
slide130
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения вероятностей одной из них не зависит от того какие возможные значения приняла другая.
slide132
Пусть

тогда

тогда

тогда

…………………………………

тогда

slide135
Многоугольник распределения

(xi, pi) - вершины многоугольника.

slide137
Функцией распределения вероятностейслучайной величины Xназывается функцияF(x), задающая вероятность того, что случайная величина X принимает значение, меньшее x, т.е.
slide138
Свойства функции распределения:

1.

т.к. а

2. F(x) - неубывающая функция и для

выполняется равенство

slide139
3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности – единице, т.е.

4.

5. F(x) – непрерывная слева функция.

slide140
Рассмотрим F(x) для дискретной случайной величины X. F(x)можно представить как сумму значений вероятностей по тем значениям X, которые меньше xi, т.е.
slide142

Суммирование производится по тем i, для которых xi x.

slide145
Плотность распределения вероятностей f(x) является разновидностью закона распределения для непрерывных случайных величин.
slide146
Пусть X -непрерывная случайная величина.

Рассмотрим вероятность попадания значений случайной величины в некоторый интервал

Разделим обе части на  x

и

slide148
Дифференциальной функцией распределения или плотностьюраспределения вероятностейf(x)непрерывной случайной величины X называется первая производная интегральной функции распределения F(x).
slide149
График дифференциальной функции распределения называется кривой распределения:

При возрастании числа значений случайной величины (n∞) и увеличении количества интервалов на графике, уменьшаются их ширины (x0) и функция распределения вместо ступенчатого, принимает плавный характер.

slide150
Свойства плотности распределения вероятности:

1. Для

2. Для имеет место равенство

3.

4.

slide151
Числовые характеристики случайных величин.
slide152

При решении ряда задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые в жатой форме дают достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются: математическоеожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

slide153

Математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, определяя некоторое среднее значение, около которого сосредоточены все возможные значения случайной величины.

slide154
Математическое ожидание M(X)

дискретной случайной величиныX равно сумме произведений всех возможных ее значений на

соответствующие вероятности:

slide155
Математическое ожидание M(X) непрерывной случайной величины X с плотностью распределения f(x) равно

В общем случае

slide156

Математическое ожидание является центром распределения вероятностей случайной величины X.

f(x)

M(X)

x

slide157
Свойства математического ожидания:

1.

2.

3.

4. Если X, Y - независимые случайные величины, то

5. Если X, Y - независимые случайные величины, то

6.

slide158

Другой характеристикой центра распределения является срединная точка, или медиана. МедианаМе равна такому значению случайной величины, которое делит пополам площадь под кривой плотности распределения.

Мода – это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятностью.

slide163
Дисперсией (рассеянием)D(X)случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от её математического ожидания.

где M(X) - математическое ожидание случайной величины X,

(X - M(X))- отклонение.

slide164

Для дискретной

для непрерывной

slide165

Задача. Случайная величина задана следующим рядом распределения

Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины.

Решение. Дана дискретная случайная величина. Результаты вычисления сведены в таблицу.

slide166

M(X) = 0,7;

D(X)= 0,81.

slide167

Задача. Случайная величина задана плотностью вероятности:

Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины.

Решение. Дана непрерывная случайная величина.

slide170
Формула для вычислениядисперсии случайной величины:

Читается: разность между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

slide171

Дисперсия D(X) характеризует рассеивание (отклонение) случайной величины относительно математического ожидания.

Дисперсия – всегда положительное число.

slide174
Законы распределениянепрерывных случайных величин
slide176
Непрерывная случайная величинаX, все возможные значения которой заполняют конечный промежуток [a,b], называется равномерно распределенной, если ее плотность вероятности f(x) постоянна на этом промежутке.
slide180

F(x)

1

a

b

x

slide182
Непрерывная случайная величинаX имеетнормальное распределение вероятностей(закон Гаусса)с параметрами aи , если ее плотность распределения задается формулой:
slide183

где a = M(X)– математическое ожидание случайной величины;

2= D(X)– дисперсия случайной величины;

 - среднее квадратическое отклонение.

slide184
Основные свойства графика нормального распределения:
  • D(f) = (-; +).
  • f(x) > 0.
  • Предел функции f(x) при неограниченном возрастании xравен нулю, т.е. ось Оxявляется горизонтальной асимптотой графика функции.
  • Функция f(x) имеет в точке x= aмаксимум, равный
  • График функции f(x) симметричен относительно прямой x= a.
  • Кривая нормального распределения в точках x= a имеет перегиб.
slide185
Параметр a характеризует положение графика на числовой оси, а  характеризует степень сжатия или растяжения графика относительно оси a. Площадь под кривой во всех случаях должна быть одинаковой и равной 1.

Если случайная величина подчинена нормальному закону распределения с параметрами aи, то это можно записать X  N (a, ).

slide186

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

Для этого используем интегральную функцию Лапласа.

slide187
Вероятность того, что отклонениеслучайной величины X, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания не превысит величину ||> 0, вычисляется по формуле
slide188
Правило «трех сигм»:

Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то ее значения практически не выходят за интервал

(a – 3; a + 3).

slide189
Нормальный закон распределения вероятностей находит применение в теории ошибок, теории стрельбы, физике и т.д.
slide190
Показательное (экспоненциальное) распределение
slide191
Случайная величина Xраспределена по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

f(x)

1

x

slide192
Функция распределения случайная величина X,распределенной по экспоненциальному закону, имеет вид:

F(x)

1

x

slide196
Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n с вероятностями

где 0 < p < 1, q =1 – p, k = 0, 1, …, n.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

slide198

Биномиальный закон в виде таблицы:

Первый член разложения определяет вероятность того, что событие не появится ни разу, а последний член определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях.

slide200
Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и других областях.
slide201
Задача. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X – числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты p= 1/2, а вероятность непоявления «герба» q= 1- ½ = ½.

slide202
При двух бросаниях монеты «герб» может появится либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появится.

Таким образом возможные значения X :

x1 = 2, x2 = 1, x3 = 0.

Найдем вероятности этих значений по формуле Бернулли:

slide204
Закон распределения:

Контроль: 0,25 + 0,5 + 0,25 =1.

slide206
Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, … с вероятностями

где k = 0, 1, 2, …

ad