第一节 LTI 离散系统的响应

1. 第一节 LTI离散系统的响应 • 一.差分与差分方程 • 差分定义 前向差分： 后向差分： 关系： 两者仅移位不同无原则区别，本书主要采用后向差分，简称差分。 <1>.差分运算具有线性，即： • <2>.差分阶次：

2. <3>.差分方程： 对线性系统： 其差分方程为： <4>.差分方程的递推法求解： 例1：某离散系统： ，初始条件y(0)=0. y(1)=2,求输入 时的响应 解：∵ 代入初始条件 该方法可以用迭代法计算，使用计算机运算比较方便，但不易得解析解。 或 n为差分阶次 LTI离散系统 ……

3. 二.差分方程的经典解 线性系统的一般差分方程： 经典解法： 1.齐次解： 由特征方程 特征根，再由特征根的形式定出齐次解的形式。 的形式 单根： 重根： 一对共轭： r重共轭根，形式如书。 2.特解：由输入形式定特解的形式。 所有特征根部不为1 有r重为的特征根 α不为特征根 α为单特征根 α为r重特征根 或 其中共轭根：

4. 或 所有特征根不为 ， 3.全解： 由初始条件定系数。 注意：初始条件应为y(j),j=0,1,2…,而已知y(j),j=-1,-2,-3,应由方程迭代出 y(j),j=0,1,2…的。 例1： 单根 为r重根 由初始条件定系数 求全解。 解： 1.求 由输入 2.求 代入方程 将 3.全解 由初始条件

5. ∴ 例2： 解：齐次解： 特解： 由输入 代入方程得：P=Q=1 全解： 一般对于稳定系统其自由响应一般为瞬态响应，其强迫响应即输入作用的 响应为稳态响应。 自由响应 强迫响应 求全解 由初始条件 自由响应(瞬态) 强迫响应(稳态)

6. 三.零输入响应和零状态响应： 零状态响应 零输入响应 1.零输入响应：零输入时，差分方程 齐次方程，可求其特征根，当为单特 征根时： 2.零状态响应：为非齐次方程，当单特征根时，形式为： ３.全响应： 则 可由初始条件直接定出。 由输入定形式，代入非齐次方程定系数 由零初始条件定出 零输入响应 零状态响应 自由响应 强迫响应 仅由系统的初始条件决定。 不仅与系统的初始条件有关，而与输入也有关系

7. ４.初始条件： 各初始条件中，不仅包含有零输入响应的初始值 ，也包含零状态响应 的初始值 ，不便分开，不能去定 。而当 时，这时 激励还未加入，则 时，有 即当给定初始条件的j不为负值时，可由方程迭代入 再上式得 由它定系数 和 例1 ： 求零状态响应，零输入响应，全响应。 解：<1> 由初始条件 <2>零状态响应 ： 由输入： 代入方程定出

8. 由特征根 得 代入k ≥0 的初始条件 ∵ 迭代出 由它们定出系数 <3>系统的全响应： 注意：求零状态和零输入响应时，y(j)初始条件，j为0,1，…正的取值才可以. 例2: 求零输入响应的初始条件 和零状态响应的初始条件 解：<1>零状态初始条件 ∵ （零状态下-1，-2时无输入） 代入方程迭代出 零输入 零状态 自由响应 强迫响应 ∴

9. <2>当已知 求 ∵ 迭代 迭代 ∴