Metoda DIVIDE ET IMPERA

1. Metoda DIVIDE ET IMPERA Prezentarea metodei

2. Metoda Divide et Impera este o metodă generală de programare ce constă în împărţirea repetată a unei probleme de dimensiune mare în două sau mai multe subprobleme de acelaşi tip, urmată de combinarea soluţiilor subproblemelor rezolvate pentru a obţine soluţia problemei propuse.

3. ExempluSe presupune că se dă secvenţa ak, ak+1,...,ap pentru o anumită prelucrare şi că există m astfel încât kmp. Prelucrarea secvenţei ak, ak+1,...,ap se realizează astfel:- se prelucrează secvenţa ak, ak+1,...,am- se prelucrează secvenţa am, am+1,...,ap- se combină rezultatele pentru obţinerea prelucrării dorite a secvenţei ak, ak+1,...,ap. k k+1 p m ak ak+1 am ap

4. În continuare se prezintă o funcţie recursivă pentru prelucrarea secvenţei ak, ak+1,...,ap, funcţie numită Prelucrare şi are trei parametri:- k indică începutul secvenţei ce trebuie prelucrată- p indică sfârşitul secvenţei care trebuie prelucrată- r indică rezultatul prelucrării.void Prelucrare(k,p,r){if(k-p<eps) Prelucreaza(k,p,r)else { Imparte(k,p,m) Prelucrare(k,m,r1) Prelucrare(m+1,p,r2) Combina(r1,r2,r) }}

5. În funcţia de mai sus s-au folosit:- eps – lungimea minimă a unei secvenţe ak,-ak+1,...,ap notată prescurtat (k,p) pentru care prelucrarea se poate face direct, fără a mai fi necesară împărţirea în subprobleme- funcţia Prelucrează realizează prelucrarea secvenţelor de acest tip, furnizând rezultatul în r.- funcţia Împarte determină subsecvenţele (k,m) şi (m+1,p) în care se împarte secvenţa (k,p) şi furnizează pe m- funcţia Combină realizează combinarea rezultatelor r1 şi r2 ale prelucrării a două secvenţe vecine (k,m) şi (m+1,p) obţinând rezultatul r al prelucrării secvenţei (k,p).

6. Problemă rezolvată Să se scrie un program care, folosind Divide et Impera returnează 1+2+...+n. Funcţii de tip 1 Orice sumă este o adunare de termeni T1+T2+...+Tn care se notează cu S(1,n). Pentru a calcula sume de acest fel se realizează o funcţie care permite calcularea sumei termenilor cu indici între k şi p adică permite calcularea sumei Tk+Tk+1+...+Tp care se notează S(k,p). Funcţia are doi parametri: k - indicele de început adică indicele primului termen p – indicele de sfârşit adică indicele ultimului termen

7. Funcţia returnează un rezultat întreg sau real şi se procedează astfel: • - dacă suma este un singur termen (k==p) suma este egală cu acel termen Tk. • - dacă trebuie adunaţi mai mulţi termeni se procedează astfel: • - se calculează suma din prima jumătate () şi se notează • - se calculează suma din a doua jumătate () şi se notează • - suma finală se obţine din adunarea celor două sume

8. Altfel spus: Ţinând cont de notaţie, se poate scrie:

9. Funcţia corespunzătoare formulei de mai sus este: int S(int k, int p) { if(k==p) return k else return S(k,(k+p)/2)+S((k+p)/2+1,p) }

10. Programele sunt: Functii de tip 1 #include<iostream.h> int S(int k, int p) { if(k==p) return k; else return S(k,(k+p)/2)+S((k+p)/2+1,p); } int main(void) { int n; cout<<"dati n:"; cin>>n; cout<<"Suma primelor "<<n<<" numere naturale este "<<S(1,n); }

11. Funcţii de tip 2 #include<iostream.h> void Suma(int k, int p, int &S) { int S1,S2; if(k==p) S=k; else { Suma(k,(k+p)/2,S1); Suma((k+p)/2+1,p,S2); S=S1+S2; } } void main() { int n,S; cout<<"dati n:"; cin>>n; Suma(1,n,S); cout<<S; }