1 / 31

Chapitre V

Chapitre V. Methodes de Simulation Bootstrap, Jacknife. Introduction. Econometrie: Un seul echantillon historique Impossible de repeter des donnees en construisant des experiences (physique) Efron (1979): considerer l’echantillon observe comme population Re-echantilloner l’echantillon.

myles-beck
Download Presentation

Chapitre V

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Chapitre V Methodes de Simulation Bootstrap, Jacknife

  2. Introduction • Econometrie: Un seul echantillon historique • Impossible de repeter des donnees en construisant des experiences (physique) • Efron (1979): considerer l’echantillon observe comme population • Re-echantilloner l’echantillon

  3. The Central Limit Theorem

  4. Illustration CLT • Choisir une distribution de probabilite • Choisir nombre de groupes N • Choisir R echantillons • Histogramme des moyennes et ecarts type

  5. Exemple Matlab n=[3,10,100]; mea=[]; for ni=1:1:3; si=n(ni); rn=[]; for z=1:1:500; rn=[rn,chi2rnd(2,si,1)]; end mea=[mea;mean(rn)]; end for z=1:1:3; subplot(3,1,z); hist(mea(z,:),40); axis( [min(mea(1,:)) max(mea(1,:)) 0 50] ) end Boucle sur N Boucle sur R

  6. Application • Distribution: chi-deux[2] • Somme au carre de deux variables N(0,1) • Z=X12+X22 Vraie moyenne = 2, Varie variance = 4 • Groupes: 3, 10, 100 • Echantillons: R = 500

  7. Moyenne N=3 N=10 N=100

  8. Variance N=3 N=10 N=100

  9. N=3 N=10 N=100

  10. Bootstrap – Efron (1979) • Baron de Munchhausen: “Pulling oneself up by one’s bootstraps” • Approche non-parametrique d’inference statistique • Utiliser simulations plutot que des hypotheses sur la distribution sous-jacente • Objctifs: Estimer les ecarts type, intervalle de confiance et formuler tests sur une distribution

  11. Avantages • Large applicabilite • Gain de precision • Cout informatique reduit

  12. Objectifs

  13. Procedure Standard • 1. Population=echantillon • 2. Tirer des echantillons aleatoires avec remplacement: taille m<n Pseudo echantillons  bootstrap 1 bootstrap 2 etc…

  14. Suite • 3. Pour chaque pseudo-echantillon, calculer la statistique d’interet • 4. Utiliser la distribution empirique de la statistique T pour examiner les caracteristiques de la distribution

  15. Exemple • Taux de rendement CAN/USD dpuis 1986 • Quel est l’ecart type? • Std(Returns)*sqrt(48)=4.43% • Obtenir intervalle de confiance?

  16. Matlab retu=diff(log(cana)); stat_boot=[]; boot=5000; nb=size(retu,1); Lo=5/100; Up=95/100; for b=1:1:boot; R = UNIDRND(nb,nb,1); boot_sample=retu(R,1); stat_boot=[stat_boot; std(boot_sample)*sqrt(48)]; end hist(stat_boot,40); sam_sort=sort(stat_boot); ind_conf=ceil([Lo; Up]*boot); Conf_int=sam_sort(ind_conf);

  17. Histogramme Ecart Type des Rendements Annualises Intervalle de Confiance std(5%)=4.22% std(95%)=4.64%

  18. Block Bootstrap • Si dependence dans le temps entre observations • Tirer des echantillons individuels avec remplacement detruit la structure temporelle • Solution: Block Bootstrap de Kunsch • Tirer des echantillons de taille k • {1,2,3}, {6,7,8}, {3,4,5}

  19. Sieve Bootstrap • Si le modele statistique sous-jacent est connu: X=ARMA(p,q) • Estimer le modele pour obtenir residus • Re-echantilloner les residus • Generer pseudo-donnees X* recursivement • Re-estimer le modele

  20. Simulation AR(1) %-------------------------------------------------------- % Generer une serie AR(1) n=500; y(1,1)=0; for i=2:1:n; y(i,1)=-0.2+0.6*y(i-1,1)+normrnd(0,1); end plot(y); %-------------------------------------------------------- % Premiere etape: Estimation du coefficient xx=[ones(500,1), lag(y)]; y_reg=ols(y,xx); prt(y_reg); Reg_prem=y_reg.beta; % Coefficient Reg_resid=y_reg.resid; % Residus Simulation de la serie Estimation sur l’echantillon entier

  21. Simulation AR(1) % Simulations nboot=1000; ar_coff=[]; for nb=1:1:nboot; nb new_samp=y(1,1); R=unidrnd(n,n,1); resid_resamp=Reg_resid(R,1); for ii=2:1:n; new_samp(ii)=Reg_prem(1)+Reg_prem(2)*new_samp(ii-1)+resid_resamp(ii,1); end; new_samp1=new_samp'; xx1=[ones(500,1), lag(new_samp1)]; boot_reg=ols(new_samp1,xx1); Boot_coeff=boot_reg.beta; % Coefficient ar_coff=[ar_coff; Boot_coeff(2)]; end Boucle Bootstrap Pseudo-echantillon

  22. Resultats Coefficient AR(1) Coefficient Observe 0.66 Moyenne=0.655 Ecart Type=+-0.0322

  23. Stationary Bootstrap • Les donnees re-echantillonnees ne sont pas stationaires • Solution: Politis et Romano (1994): Stationary bootstrap • Block bootstrap avec des blocs de taille aleatoire • Donnees resultantes sont stationaires

  24. Probleme 4 • Quelle taille? • La taille de l’echantillon doit augmenter avec n pour rendre l’estimation fiable • Hall (1995)

  25. Cas Pratique • Modelisation ECM de AUD/EUR • 200 observations seulement

  26. Exemple - Suite • Objectifs: Comparer performance du modele ECM avec modele monetaires • Meese et Rogoff (1983): Les modeles monetaires n’arrivent pas a battre le modele Random Walk • Statistique d’interetMesure de predictabilite relative

  27. Application

  28. Application • Predictabilite des Taux de Change

  29. Intervalles de Confiance • Distribution Normale • Deciles Exemple • Intervalle a 95% : trier les donnees par ordre croissant • Bas = 0.025 x statistiques bootstrapees • Haut = 0.975 x statistiques bootstrapees

  30. Variations • Modele de Regression Lineaire: • Statistique d’interet beta1 • 1) Premiere Regression pour obtenir residus • 2A) BOOTSTRAP NON-PARAMETRIQUE • Re-Echantilloner les residus • Fixer les X, Y*=Y+U** est la nouvelle variable dependente • Regresser Y* et X • Sauver le coefficient • 2B) BOOTSTRAP PARAMETRIQUE • Tirage de U** a partir de la distribution Normale • Meme procedure

  31. Autres Methodes • Jackknife (take one out) • S={X1,X2,...Xn} • Tirer un echantillon de taille n-1 • S(i)=S-{Xi} • Estimer • Calculer

More Related