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STORIA DELL’ALGEBRA

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STORIA DELL’ALGEBRA. C. S. Roero 2006-07. ALGEBRA RETORICA xviii a. C.-III ALGEBRA SINCOPATA III-XVI Diofanto ALGEBRA SIMBOLICA XVI- Viète. Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-giabr wa’l-muqabala Operazione del “completamento”, trasferimento di termini da un membro all’altro

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storia dell algebra
STORIA DELL’ALGEBRA

C. S. Roero 2006-07

  • ALGEBRA RETORICA xviii a. C.-III
  • ALGEBRA SINCOPATA III-XVI Diofanto
  • ALGEBRA SIMBOLICA XVI- Viète
slide2

Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-giabr wa’l-muqabala

Operazione del “completamento”, trasferimento di termini da un membro all’altro

Arte di trasformare un’equazione in un’altra ad essa equivalente

INCOGNITA

Say’ =cosa

Res latinoarte cossica, arte dei cossisti

Coss tedesco

algebra
algebra

Fino alla metà del XIX sec. l’Algebra era lo studio delle equazioni

Serret 1866 Traité d’algèbre superieure

LAGRANGE 1770

Proprietà di simmetria delle radici

RUFFINI 1799 ABEL 1823

eqz di 5° non risolubile

GALOIS 1830

teoria dei gruppi – strutture algebriche

egitto equazioni lineari 1 incognita
EGITTO EQUAZIONI LINEARI 1 incognita

Una quantità cui viene aggiunto un suo settimo diventa 19. Assumi come falsa risposta 7. Aggiungi 1/7 di essa alla medesima quantità e hai come risultato 8. Poi tante volte 8 deve essere moltiplicato per dare 19, quante 7 per dare il numero corretto. Così dividi 19 per 8. Ottieni 2+1/4+1/8. Ora moltiplica questo per 7. La risposta è 16+1/2+178. Prendi 1/7 di questa quantità e aggiungilo alla medesima, il risultato è il richiesto 19.

egitto equazioni 1 grado
EGITTO EQUAZIONI 1 grado
  • Metodo di falsa posizione
mesopotamia
MESOPOTAMIA
  • Incognita lunghezza uš
  • Larghezza say Area a-šà volume sahar
  • Tavoletta BM 13091
  • 1-7 risoluzioni di equazioni 2° ad 1 incognita
  • 8-14 sistemi di 2 equazioni in 2 incognite

(nella prima compare la somma dei quadrati, nella 2a la somma o la differenza o il rapporto o il prodotto delle incognite)

  • 15-24 esercizi e applicazioni , con numero qualsiasi di incognite
mesopotamia1
MESOPOTAMIA

Metodi utilizzati

  • Completamento del quadrato
  • Semisomma e semidifferenza delle incognite
problema 1 tavoletta bm 13901
Ho addizionato la superficie e il lato del quadrato 0;45

Tu porrai 1 l’unità

Tu dividerai in due l’unità: 0;30 e la moltiplicherai per 0;30: 0;15.

Tu aggiungerai 0;15 a 0;45: 1

E’ il quadrato di 1.

Tu sottrarrai 0;30 che hai moltiplicato da 1: 0,30.

È il lato del quadrato.

Problema 1 tavoletta BM 13901

Completamento del quadrato

completamento del quadrato
Completamento del quadrato

Si basa sull’identità

analogamente

semisomma e semidifferenza problema 9 tavoletta bm 13901
Ho sommato la superficie di due quadrati: 21,40, l’uno supera l’altro di 10

Tu dividerai in due 21,40, scriverai 10,50

Dividerai in due 10: 5

Moltiplicherai 5 per 5: 25

Sottrarrai 25 da 10,50: 10,25

Questo è il quadrato di 25

Scriverai 25 due volte

Aggiungerai il 5 che hai moltiplicato al primo 25: 30, è il primo quadrato

Sottrarrai 5 dal secondo 25: 20, è il secondo quadrato

Semisomma e semidifferenzaproblema 9 tavoletta BM 13901
euclide elementi libri ii vi
EuclideElementi libri II VI
  • Algebra geometrica
  • Applicazione delle aree
elementi ii 4
Elementi II.4

ab

Se si divide a caso una linea retta, il quadrato di tutta la retta è uguale alla somma dei quadrati delle parti e del doppio del rettangolo compreso dalle parti stesse.

b2

a2

ab

applicazione delle aree ed equazioni
Applicazione delle aree ed equazioni
  • Applicazione parabolica (applicazione)

Costruire un rettangolo di area data S su una base data b

  • Applicazione ellittica (mancanza)

Costruire un rettangolo di area data S su una parte di un segmento dato b, in modo che l’altezza sia la parte rimanente del segmento

  • Applicazione iperbolica (eccesso)

Costruire un rettangolo di area data S su un segmento dato b più un segmento aggiuntivo, in modo che l’altezza sia uguale al segmento aggiunto.

slide15

Applicazione parabolica (applicazione)

Costruire un rettangolo di area data S su una base data b

  • Applicazione iperbolica (eccesso)
  • Applicazione ellittica (mancanza)

S

x

b

S

x

b-x

S

x

x

b+x

elementi ii 5
Elementi II.5

Se si divide una retta in parti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dalle parti disuguali della retta insieme col quadrato della differenza fra le due parti, è uguale al quadrato della metà della retta.

b

b2

a2

a-b

a

a+b

elementi ii 51

D

A

C

a-x

K

L

H

E

G

Se si divide una retta in parti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dalle parti disuguali della retta insieme col quadrato della differenza fra le due parti, è uguale al quadrato della metà della retta.

Elementi II.5

B

M

F

ADHK applicazione ellittica

Forma geometrica della formula risolutiva dell’equazione di 2°

elementi vi 27 in forma pi generale e separando i casi in cui possibile risolvere il problema

L

D

N

E

G

F

M

A

C

K

B

Elementi VI.27 in forma più generale e separando i casi in cui è possibile risolvere il problema

Tra tutti parallelogrammi costruiti su uno stesso segmento e mancanti di parallelogrammi simili a quello descritto sulla metà del segmento dato è massimo quello costruito sulla metà del segmento dato ed è simile al parallelogramma mancante

ACDL>AKFG

elementi vi 27

L

D

N

E

G

M

F

C

K

A

B

Elementi VI.27

Diorisma: l’area da applicare non deve superare il quadrato costruito su metà base

diofanto iii sec d c
DIOFANTO III sec. d. C.

ARITHMETICA 13 libri

problemi determinati e indeterminati

I.27 Trovare due numeri tali che la loro somma e il loro prodotto siano numeri dati

Condizione necessaria:

Il quadrato della semisomma supera di un quadrato perfetto il prodotto

diofanto arithmetica i 27
Diofanto Arithmetica I.27

Condizione necessaria: Il quadrato della semisomma supera di un quadrato perfetto il prodotto

diofanto arithmetica iii 4
Diofanto Arithmetica III.4

Problema indeterminato

Trovare tre numeri tali che se il quadrato della loro somma è sottratto da ciascuno di essi, il resto sia un quadrato.

Poniamo che la somma sia un aritmo x

diofanto arithmetica
Diofanto Arithmetica

Algebra sincopata abbreviazioni per incognite

  • x S
  • x2y
  • x3 Ky
  • x4y
  • Il resto è scritto a parole, ad esempio
storia
storia

CALIFFI – biblioteche, arabi chiedono ai bizantini libri come indennità di guerra

MANSUR754-775 chiede a Bisanzio trattati matematici Euclide

HARUN AL-RASHID786-809 incoraggia scienziati e traduzioni in lingua araba e siriaca Mille e una notte

MAMUN813-833 sogno - Baghdad

lacasa della saggezza

le scienze arabe viii xvi traduzioni
Scienze religiose

Geografia

Scienze linguistiche

Scienze storiche

Scienze giuridiche:

diritto – computo di eredità, …

Astrologia

Teologia e filosofia

Retorica

Le scienze arabe VIII-XVI traduzioni

Scienze fisiche:

medicina – botanica – veterinaria – agraria

Filosofia:

logica – metafisica – fondamenti

Matematica:

aritmetica – geometria

Astronomia

Musica

traduzioni di opere matematiche ix sec
EuclideElementi

Data

scritti di ottica

di meccanica, …

Archimede tutte le opere

ApollonioConiche

De sectione rationis

Pappo

Diofanto Arithmetica

Nicomaco di Gerasa

Erone diAlessandria

TRADUZIONI di opere matematiche IX sec.
scienze matematiche contributi principali
Scienze matematichecontributi principali
  • Algebra
      • Teoria delle equazioni di 2° e 3° grado
      • Algebra dei polinomi
  • Geometria
      • V postulato di Euclide
      • Costruzioni con riga e compasso
      • Teoria delle coniche
  • Aritmetica- numerazione posizionale indiana
  • Trasmissione di opere classiche
790 850 al khwarizmi padre dell algebra
790 - 850 AL-KHWARIZMIpadre dell’algebra
  • Algoritmi de numero indorum
  • Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-giabr wa’l-muqabala

Breve opera sul calcolo di spostare e raccogliere

      • Problemi su contratti commerciali
      • Teoria equazioni di 1° e 2° grado
      • Geometria e algebra
      • Divisione di eredità
slide30

1 Igin

2 Andras

3 Ormis

4 Arbas

5 Quinas

6 Calcus

7 Zenis

8 Temenias

9 Celentis

0 Zephir

Algoritmi de numeroindorum

B. BoncompagniAlgoritmi de numeroindorum (Roma 1857)

K. VogelMohammed ibn MusaAlchwarizm’s Algorithmus (Aalen 1963)

Algoritmus algoritmo

Evoluzione delle cifre indo-arabiche

slide31
Al-kitab al-muhtasar fi hisab

al-giabr wa’l-muqabala

Breve opera sul calcolo di spostare e raccogliere

opera che racchiude le più raffinate e le più nobili operazioni di calcolo di cui gli uomini hanno bisogno per la ripartizione delle loro eredità e delle loro donazioni, per le divisioni e i giudizi, per i loro commerci e per tutte le operazioni che essi hanno fra loro relative agli strumenti, alla ripartizione delle acque dei fiumi, all’architettura e ad altri aspetti della vita civile

slide32
dirham (moneta greca dracma) numero

say’ cosa o gizr radice incognita res

malbenequadrato dell’incognita census

EQUAZIONI 6 tipi canonici

l. I quadrati sono uguali alle radiciax2 = bx

2. I quadrati sono uguali a numeroax2 = c

3. Le radici sono uguali a numeroax = c

4. I quadrati e le radici sono uguali a numeroax2 + bx = c

5. I quadrati e i numeri sono uguali alle radiciax2 + c = bx

6. Le radici e i numeri sono uguali ai quadratibx + c = ax2

slide33
operazioni

al-jabrcompletamento, riempimento restauratio

al-muqabalamessa in opposizione, bilanciamentooppositio

al-hattcoefficiente dell’incognita ridotto all’unità

x2 + (10 – x)2 = 58

2x2 + 100 – 20x = 58

con l’al-jabr2x2 + 100 = 20x + 58

con l’al-muqabala

2x2 + 42 = 20x

e infine l’al-hattdà x2 + 21 = 20x

che riconduce l’equazione di partenza al tipo 5

algebra retorica
Algebra retorica

l. I quadrati sono uguali alle radiciax2 = bx

2. I quadrati sono uguali a un numeroax2 = c

3. Le radici sono uguali a un numeroax = c

x2 = 5x

“La radice del quadrato è 5 e 25 costituisce il suo quadrato”

1/2 x = 10 x = 20 x2 = 400

slide35
Formula per radicali

Dimostrazione geometrica

Quadrato x2

4 rettangoli 10/4x

4 quadratini che completano il quadrato

x=3

x

x

10/4

Tipo 4

x2 + 10x = 39

x2 + px = q

slide36

x

x

10/4

Completamento del quadrato

x2 + px = q

quadrati e numeri uguali a radici x 2 21 10 x
Quadrati e numeri uguali a radicix2 + 21 = 10x

Il seguente esempio è un’illustrazione di questo tipo: un quadrato e 21 unità uguali a 10 radici.

La regola risolutiva è la seguente: dividi per 2 le radici, ottieni 5. Moltiplica 5 per se stesso, hai 25. Sottrai 21 che è sommato al quadrato, resta 4. Estrai la radice, che dà 2 e sottrai questo dalla metà della radice, cioè da 5, resta 3. Questa é la radice del quadrato che cerchi e il suo quadrato è 9. Se lo desideri, aggiungi quella alla metà della radice. Ottieni 7, che è la radice del quadrato che cerchi e il cui quadrato è 49.

10 : 2 = 5

5 · 5 = 25

25 – 21 = 4

5 – 2 = 3

x = 3 x2 = 9

2 + 5 = 7

x = 7 x2 = 49

slide39

x2 + q = p xdiscussione sulle radici

  • > 0

due radici distinte

(p/2)2 < q

  • < 0

(p/2)2 = q

  • = 0

due radici coincidenti

Se tu affronti un problema che si riconduce a questo tipo di equazione, verifica l’esattezza della soluzione con l’addizione, come si è detto. Se non è possibile risolverlo con l’addizione, otterrai certamente il risultato con la sottrazione. Questo è il solo tipo in cui ci si serve dell’addizione e della sottrazione, cosa che non trovi nei tipi precedenti.

Devi inoltre sapere che se in questo caso tu dividi a metà la radice e la moltiplichi per se stessa e il prodotto risulta minore del numero che è aggiunto al quadrato, allora il problema è impossibile.

Se invece risulta uguale al numero, ne segue che la radice del quadrato sarà uguale alla metà delle radici che sono col quadrato, senza che si tolga o si aggiunga qualcosa.

slide40

GCDE = px

GCDE=ABCD+GBAE

ABCD = x2 GBAE=(p–x)x = q

GFKM= (p/2)2IHKL = (p/2 x)2

EILM = FBAH

IHKL= GFKM – GBAE

(p/2x)2 = (p/2)2 q

IH = AH

AD = HD–AH =

Tipo 5x2 + 21 = 10x

x2 + q = p x x < p/2

L

M

K

A

H

D

E

I

x

p/2

G

F

C

B

tipo 5

A

E

L

K

M

x2

(p/2)2

H

I

p/2

x - p/2

G

B

C

F

x2 + 21 = 10xx2 + q = p x x > p/2

Tipo 5

D

ABCD=x2 GF=FC=p/2

AL=BF=x-p/2

BFHI=(x-p/2)2

GFKM = (p/2)2

GBLM+IHKL=GBAE = q

BC=BF+FC=

tipo 6 3 x 4 x 2 px q x 2

M

x

B

C

q

K

N

R

H

(p/2)2

p

G

L

T

p/2

x

D

A

Tipo 63x + 4 = x2px+q=x2

ABCD=x2 ARHD = px

RBCH = x2 – px = q

quadrato TKHG = (p/2)2

TL = CH= MN = x–p

GL=CM=CG, GL=GT+LT=GH+HC

LNKT=RBMN

NMCH+BMNR=RBCH=q=gnomoneNMCHGTKN

LMCG=TKHG+q=(p/2)2+q

CG =

CD = CG+GD =

slide43
Abu-Kamil (850-930)

Libro sull’al-jabr e l’almuqabala

elevato livello teorico - tendenza all’aritmetizzazione

cubo x3quadrato-quadratox4

quadrato-quadrato-cosax5

espressioni con irrazionali

regole per la determinazione immediata di x2 sotto forma di radicali

Ogni regola è dimostrata geometricamente e si prescinde dall’omogeneità dimensionale

abu kamil 850 930
Abu-Kamil (850-930)

Dividere 10 in due parti x e 10 –x tali che

moltiplicata per diventa

(10 –x)/x = y è trasformata in

Elevando al quadrato giunge a un’equazione di 2° di soluzione

x xii sec due correnti
indirizzo aritmetico-algebrico

X sec.

traduzione araba dell’opera di Diofanto

961-976Abul-Wafa

Libro sull’aritmetica necessaria agli scribi e ai mercanti

XI sec al-KaragiAl-Fahri

XI-XII secas-Samaw’al

Libro luminoso sull’aritmetica

indirizzo geometrico-algebrico

965-1093ibn al-Haytham

Al-hazen

973-1048 Al-Biruni

1048-1123Omar al-Khayyam

Sulle dimostrazioni dei problemi di algebra e almuqabala

XII sec.Sharaf al-din al-Tusi

Teoria delle equazioni

X-XII sec.due correnti
algebra e aritmetica
al-Khwarizmi

regola di approssimazione radice quadrata di

N = a2 + r

al-Uqlidisi (morto intorno al 952)

Algebra e Aritmetica
algebra e aritmetica1
al-Karagi

al-hisabimaestro di aritmetica

Manuale sulla scienza dell’aritmetica

Al-Fakri

scopo dell’algebra

Potenze

x5 = x2x3quadrato-cubo

x6 = x3x3cubo-cubo

1:x=x:x2=x2:x3=x3:x4=...

tabella dei coefficienti di

(a + b)n fino an = 12

Algebra e Aritmetica
algebra e aritmetica2
AL-KARAGI

Al-Fakri

l’algebra è l’aritmetica dell’incognita

ax2n + bxn = c

ax2n+ c = bxn

bxn + c = ax2n

ax2m+n = bxm+n + cxm

Algebra e Aritmetica
algebra e aritmetica3

D

C

n2

E

F

S

A

B

R

G

Algebra e Aritmetica

al-Karagi Manuale sulla scienza dell’aritmetica

quadrato

Gnomone (rettangoli uguali di lati n e 1+2+3+...+n)

Area gnomone

2n(1+2+...+n) – n2 = n3

Essendo

1+2+3+...+n =n(n+1)/2

da cui

13+23+ …+n3 = (1+2+ …+n)2

xi xii sec as samaw al
XI-XII secas-Samaw’al

Libro luminoso sull’aritmetica

Regole da usare coi negativi

4 3 2 1 0 1 2 3 4 ______________________________________

x4 x3 x2 x 1 1/x 1/x2 ...

Algoritmo per la divisione dei polinomi

Algoritmo per l’estrazione di radici quadrate di polinomi

indirizzo geometrico algebrico
indirizzo geometrico-algebrico

equazioni cubiche - problemi classici

duplicazione del cubo Menecmo parabola x2= ay

iperbole xy = ab

problema di Archimede

“Dividere una sfera data in modo tale che il rapporto fra i volumi dei segmenti ottenuti sia uguale ad un rapporto dato”

965-1093ibn al-Haytham Al-hazen

973-1048 Al-Biruni trisezione dell’angolo

omar al khayyam 1048 1122 poeta matematico astronomo
Omar al-Khayyam 1048-1122Poeta matematico astronomo

Rubaiyyàt

Ogni mattina che il volto del tulipano si riempie di rugiada,

la corolla della viola si incurva sul prato.

in verità, mi piace il boccio della rosa

Che si raccoglie attorno il lembo della sua veste.

Sotto specie di verità, non di metafora,

noi siamo dei pezzi da gioco, e il cielo è il giocatore.

Giochiamo una partita sulla scacchiera della vita,

e ad uno ad uno ce ne torniamo nella cassetta del Nulla

Questa volta del cielo in cui noi ci troviamo smarriti,

ci appare a somiglianza di una lanterna magica.

Il sole è la candela, il mondo la lanterna,

e noi siam come le immagini che vi vanno intorno rotando.

omar al khayyam 1048 1122
Omar al-Khayyam1048-1122

Rubaiyyàt

Giacché non si può contar sulla vita dalla sera al mattino,

bisogna in conclusione seminare ogni seme di bontà.

Giacché a nessuno lasceranno in possesso questo mondo,

bisogna almeno sapersi serbare il cuor degli amici.

Dicono dolce l’aria di primavera

dolce la corda del liuto e la flebile melodia,

dolce il profumo della rosa, il canto degli uccelli, il roseto…

O stolti, tutto ciò sol con l’Amico è dolce!

omar al khayyam 1048 11221
Omar al-Khayyam 1048-1122

Rubaiyyàt

Ci troviamo a vivere sotto questa volta del cielo piena di frottole.

L’anima è una caraffa, la morte una pietra, il cielo un pazzo.

La coppa della mia vita è giunta ai settanta:

e quegli la romperà appena essa sia colma.

Il cielo versa dalle nuvole petali candidi.

Diresti che si sparge sul giardino una pioggia di fiori.

Nella coppa pari a un giglio io verso il vino rosato,

ché dalla nuvola color di viola scende una pioggia di gelsomini.

omar al khayyam
Omar al-Khayyam

Sulle dimostrazioni dei problemi di

al-jabr e al-muqabala

l’algebra è la teoria delle equazioni

Non riesce a trovare la soluzione per radicali

delle equazioni cubiche

“Forse uno di quelli che verranno dopo di noi riuscirà a trovarla.”

classifica 14 tipi di equazioni cubiche

risoluzione con l’intersezione di coniche

omar al khayyam sulle dimostrazioni dei problemi di al jabr e al muqabala
Omar al-Khayyam Sulle dimostrazioni dei problemi di al-jabr e al-muqabala

quadrinomie

tre termini positivi uguali ad un termine positivo

x3+ cx2+ a = bx

x3= a + bx + cx2

x3 + a + bx = cx2

x3 + bx + cx2 = a

due termini positivi sono uguali a due positivi

x3 + cx2 = bx + a

x3 + a = cx3+ bx

x3 + bx = cx2 + a

14 tipi di equazioni cubiche

binomiax3=a.

trinomiex3+bx=a

x3+a=bx

bx+a=x3

x3+cx2=ax3+a=cx2x3=a+cx2

omar al khayyam sulle dimostrazioni dei problemi di al jabr e al muqabala1
Omar al-KhayyamSulle dimostrazioni dei problemi di al-jabr e al-muqabala

x3 + p2x =p2 q

Cerchio

x2+y2=qx

Parabola

x2=py

fine xii sharaf al din al tusi
Fine XII Sharaf Al-Din al-Tusi

Teoria delle equazioni cubiche

sviluppa lo studio delle curve

discussione sistematica dell’esistenza delle radici positive, legata al ruolo del discriminante

Teoria delle equazioni

Soluzioni approssimate

sharaf al din al tusi teoria delle equazioni soluzioni approssimate
Sharaf Al-Din al-TusiTeoria delle equazionisoluzioni approssimate

x3+px=N x3+36x=91 750 087

x = x1+x2+x3 x1 = a∙102 x2= b∙10 x3 = c

x3=(x1+x2+x3 )336x= 36x1+36x2+36x3

x3=a3106+3a2b105+3ab2104+3a2c104+6abc103+b3103+3ac2

102+3b2c102+3bc210+c3

36x=36a102+36b10+36c

Si cerca a tale che a3<91 sitrovaa=4 tabella

N 9 1 7 5 0 0 8 7

x1336x164144

N1 2 7 7 3 5 6 8 7

N1= 91750087-64000000-14400=27735687

N - x13· 106 - 36x1·102

slide60

Sharaf Al-Din al-TusiTeoria delle equazionisoluzioni approssimate

Si cerca b tale che 3a2b<277 cioè 3·16 b<277 trovab=5

N12 7 7 3 5 6 8 7

x23 1 2 5

3x1x22+ 3x2x12+36x2 2 7 0 0 1 8 0

N2 6 0 8 8 8 7

N2 = N1 – 3a2b·105 –3ab2104 – b3103 – 36b10

Si cerca c tale che 3a2c<60 cioè 3·16 c<60 trovac=1

x = 4·102 + 5·10 + 1= 451

equazioni di terzo grado
Equazioni di terzo grado

Leonardo Fibonacci Pisano Flos1225

Fornisce una soluzione approssimata in forma sessagesimale 1; 22, 7, 42, 33, 4, 40

Paolo Gherardi Libro di ragioni1328 classifica 9 casi e le formule risolutive sonoerrate perché generalizzazioni della formula di secondo grado

equazioni di terzo grado1
Equazioni di terzo grado

Mastro Dardi Aliabra Argibra 1344

Formule risolutive esatte per particolari equazioni, ma non svela il procedimento

equazioni di terzo e quarto grado
Equazioni di terzo e quarto grado

Mastro Dardi Aliabra Argibra 1344

Qual è l’interesse mensile richiesto a quel tale cui sono state prestate 100 lire se dopo 3 anni tra capitale e interesse sono state restituite 150 lire?

Calcolo degli interessi per un periodo di 4 anni

calcolo degli interessi per un periodo di 5 anni

EQUAZIONI

Calcolo degli interessi per un periodo di 5 anni

Piero della FrancescaTrattato d’abaco

Luca PacioliSumma de arithmetica, geometria, proporzioni et proporzionalità 1494 Venezia

equazioni di terzo grado 1530 1534
Equazioni di terzo grado 1530-1534

Cartelli di sfida matematica

Antonio Maria del Fiore sfida

Zuannin de Tonini da Coi

Nicolò Tartaglia

Scipione dal Ferro 1465-1526

Girolamo Cardano

Annibale della Nave

Nicolò Tartaglia 1500-1557

scipione dal ferro 1465 1526
Scipione dal Ferro 1465-1526

Ms. 595 Biblioteca Universitaria Bologna Pompeo Bolognetti

Il capitolo di cose e cubo uguale a numero.

Quando le cose e li cubi si agguagliano al numero, ridurai la equatione a 1 cubo, partendo per la quantità delli cubi. Poi cuba la terza parte delle cose, poi quadra la metà dil numero, e questo summa con il detto cubato, et la radice quadra di detta summa più la metà dil numero fa un binomio, et la radice cuba di tal binomio men la radice cuba dil suo residuo val la cosa.

tartaglia confida a cardano la sua formula sotto giuramento che non la sveler
Tartaglia confida a Cardano la sua formula sotto giuramento che non la svelerà

Cardano1501-1576

Tartaglia 1500-1557

slide68

Tartaglia

Quando che \'l cubo con le cose appresso

Se agguaglia a qualche numero discreto

Trovami dui altri, differenti in esso;

Dapoi terrai, questo per consueto,

Che \'l loro produtto, sempre sia eguale

Al terzo cubo delle cose neto;

El residuo poi suo generale,

Delli lor lati cubi, ben sottratti 

Varrà la tua cosa principale.         

slide69

Tartaglia

In el secondo, de cotesti atti

Quando che \'l cubo, restasse lui solo,

Tu osserverai quest\'altri contratti

Del numer farai due tal part\' a volo,

Che l\' una, in l\' altra, si produca schietto,

El terzo cubo delle cose in stolo;

Delle quali poi, per commun precetto,

Terrai li lati cubi, insieme gionti,

Et cotal somma, sarà il tuo concetto

slide70

Tartaglia

El terzo, poi de questi nostri conti,

Se solve col secondo, se ben guardi

Che per natura son quasi congionti.

Questi trovai, et non con passi tardi

Nel mille cinquecent\' e quattro e trenta

Con fondamenti ben saldi, e gagliardi

Nella Città del mar \'intorno centa.

Venezia 1534

girolamo cardano 1501 1576
Girolamo Cardano 1501-1576
  • Ars Magna 1545
  • Pubblica le soluzioni dell’equazione di terzo e di quarto grado
  • Mostra di saper eliminare il termine nell’equazione di grado n con un’opportuna traslazione
cardano ars magna 1545
CARDANO Ars Magna 1545

Dimostrazione geometrica

Solidi AB3, BC3, 3AB2 BC, 3AB BC2

cardano ars magna 15451
CARDANO Ars Magna 1545

interpretazione

originale

raffaele bombelli 1530 1572
Raffaele BOMBELLI 1530-1572

Opera su l’Algebra 1572

Il caso irriducibile: q2/4 - p3/27 < 0 porta alla radice quadrata di un numero negativo, espressione intrattabile,

“sofistica e lontana dalla natura dei numeri”

caso irriducibile
Caso irriducibile

ha 3 radici reali

Bombelli dà un senso alle radici dei numeri negativi

rafael bombelli 1530 1572
Rafael BOMBELLI 1530-1572

Radici quadrate di una quantità negativa

Più di meno p d m

Meno di meno m d m

Più via più di meno fa più di meno

Meno via più di meno fa meno di meno

Più via meno di meno fa meno di meno

Meno via meno di meno fa più di meno

Più di meno via più di meno fa meno

Più di meno via men di meno fa più

Meno di meno via più di meno fa più

Meno di meno via men di meno fa meno

equazioni di quarto grado
Equazioni di quarto grado

Ludovico Ferrari 1522-1565 allievo di Cardano

Luca PacioliSumma de arithmetica, geometria, proporzioni et proporzionalità 1494 Venezia

equazioni di quarto grado1
Equazioni di quarto grado

INDIA Bhaskara 115-1178 Vija Ganita

Se sei versato nelle operazioni di algebra, dimmi il numero il cui biquadrato meno il doppio della somma del quadrato e 200 volte il numero è uguale alla miriade meno uno.

equazioni di quarto grado2
Equazioni di quarto grado

Zuannin de Tonini da Coi (Giovanni Colla) sfida Tartaglia nel 1535

Dividere 20 in tre parti che siano in proporzione continua e tali che il prodotto delle due minori sia 8

equazioni di quarto grado3
Equazioni di quarto grado

1539 Cardano chiede a Tartaglia di risolvergli un quesito postogli da Zuannin de Tonini da Coi, analogo al precedente

“Questo proponeva Zuannin de Tonini da Coi, e diceva che non era risolubile; io invece dicevo che si sarebbe potuto risolvere, solo che tuttavia non sapevo come sino a che non lo risolse FERRARI.”

Ferrari elenca 20 possibili tipi di equazioni di quarto grado, 14 quadrinomie, 6 trinomie

ludovico ferrari 1522 1565 allievo di cardano
Ludovico Ferrari 1522-1565 allievo di Cardano

Il metodo consiste inizialmente nel cambiare la variabile ed eliminare il termine di terzo grado

Se non è un quadrato perfetto, lo si rende tale con opportune aggiunte, in modo da scrivere l’equazione nella forma

ferrari aggiunge alcuni termini cos da avere quadrati perfetti
Ferrari aggiunge alcuni termini così da avere quadrati perfetti

Ora si dovrà scegliere w in modo che il secondo membro risulti un quadrato ed essendo

Si dovrà imporre che il discriminante sia zero, cioè

Equazione di terzo grado in w, detta risolvente cubica di Ferrari, una cui soluzione permette di scrivere

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Siala soluzione dell’equazione cubica, per cui si avrà solo da risolvere un’equazione di secondo grado

fran ois vi te 1540 1603
François Viète 1540-1603

In artem analyticem isagoge sursim excussa ex operae restitutae mathematicae analyseos seu algebra nova 1591

“L’arte che oggi presento è un’arte nuova, o per lo meno un’arte talmente degradata dal tempo, talmente sporcata e intricata dai barbari, che ho creduto necessario, dopo avere eliminato tutte le proposizioni erronee, … di donarle una forma interamente nuova. … Tutti i matematici sanno che sotto il nome di Algebra et Almucabala, che essi vantano e chiamano la Grande Arte, si nasconde una miniera d’oro di incomparabile ricchezza. Essi fecero anche delle ecatombe e dei sacrifici ad Apollo quando avevano trovato la soluzione di uno solo di quei problemi, che io risolvo spontaneamente a decine, a ventine, un fatto che prova che la mia arte è il metodo d’invenzione più sicuro in matematica”.

vi te in artem analyticem isagoge
Viète In artem analyticem isagoge
  • logistica numerosa, il calcolo numerico
  • logistica speciosa, il calcolo letterale

“Per rendere con un artificio questo metodo più facile, le grandezze date si distingueranno dalle grandezze incognite o cercate, rappresentandole con un simbolo costante, immutabile e ben chiaro, indicando, per esempio, le grandezze cercate con la lettera A oppure con un’altra vocale E, I, O, U, Y e le grandezze date con le consonanti B, D, G, ecc.”.

terminologia e simbolismo
Terminologia e simbolismo

latus o radix incognita xA

quadratumAq

cubusAc

quadrato-quadratumAqq

quadrato-cubusAqc

+addizione, – sottrazione, = minus incertum,

in o sub moltiplicazione,---- divisione,

Rq radice quadrata,

Rc radice cubica,

Rqq radice quarta,

aeq. uguaglianza.

zetesi forma canonica delle equazioni
Zetesi Forma canonica delle equazioni
  • Le operazioni che riconducono un’equazione alla sua forma canonica sono:
  • l’antitesi (trasposizione), cioè il passaggio dei termini da un membro all’altro;
  • l’hypobabismo(abbassamento), abbassamento della potenza massima dell’incognita in un’equazione mancante del termine noto;
  • il parabolismo (divisione), che consente di togliere, mediante divisione, il coefficiente della potenza massima dell’incognita.
slide94

Viète mira a fondere il linguaggio della geometria con quello dell’algebra, per cui spesso, dopo aver scritto l’equazione in forma canonica, la mette sotto forma di analogismo, cioè il primo membro dell’equazione è uguale al prodotto degli estremi di una proporzione e il secondo membro al prodotto dei medi.

esempio: l’equazione

corrisponde a

Viète la scrive come analogismo, nella forma

vi te de aequationum recognitione et emendatione 1615
Viète De aequationum recognitione et emendatione 1615

Tramite la ZETESI procede ad un esame diretto delle relazioni fra l’incognita, i coefficienti e i termini noti dell’equazione canonica

Interpretazione delle equazioni di secondo e terzo grado come proprietà di una serie incognita di 3 o 4 grandezze in proporzione continua

Dati la media proporzionale e la somma degli estremi trovare le grandezze

teoria delle equazioni algebriche
Teoria delle equazioni algebriche

2° grado

tipo soluzioni:

2 reali se

2 complesse se

legami radici-coefficienti

teoria delle equazioni algebriche1
Teoria delle equazioni algebriche

3° grado

tipo soluzioni:

3 reali se

1 reale, 2 complesse se Δ>0

legami radici-coefficienti

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Teoria delle equazioni algebriche

problemi studiati

esistenza di soluzioni

AA. Girard 1629

ogni eqz di grado n ha esattamente n radici

teorema fondamentale dell’algebra

1799 Carl Friedrich Gauss

Ogni equazione algebrica ammette almeno una radice reale o complessa

determinazione soluzioni: esatte o approssimate

teoria delle equazioni algebriche2
Teoria delle equazioni algebriche

Dai problemi di calcolo delle radici delle equazioni algebriche sorti nel Cinquecento, sotto la spinta delle difficoltà di soluzione delle equazioni di quinto grado, progressivamente l\'attenzione si spostò sulle proprietà che legano il sistema delle radici al campo dei coefficienti. La principale di queste proprietà era data dalle funzioni simmetriche elementari delle radici, che sono date direttamente, a meno del segno, dai coefficienti dell\'equazione.

equazioni algebriche
equazioni algebriche
  • 1770 J. L. Lagrange Réflexions sur la résolution algébrique des équations
  • 1799 Gauss teorema fondamentale dell’algebra
  • 1799 P. Ruffini

L’equazione di grado 5 non è in generale risolubile per radicali

  • 1824 N. Abel
  • 1829-1832 E. Galois teoria dei gruppi
  • 1846 ad opera di Liouville è edita sul Journal de Math. Pure et appl. la teoria di Evariste Galois
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