DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU*
Download
1 / 61

Do ğ rusal Model - PowerPoint PPT Presentation


  • 183 Views
  • Uploaded on

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU*. Do ğ rusal Model. Doğrusal olmama durumunu anlatmadan önce doğrusallıktan bahsetmek gerekmektedir. *Bu konu Christopher Dougherty ’, Inroduction to Econometrics kitabının slaytlarından çevrilerek hazırlanmıştır. 1. DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Do ğ rusal Model' - murphy-waters


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU*

Doğrusal Model

Doğrusal olmama durumunu anlatmadan önce doğrusallıktan bahsetmek gerekmektedir.

*Bu konu Christopher Dougherty’, Inroduction to Econometrics kitabının slaytlarından çevrilerek hazırlanmıştır.

1


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Yukarıda verilen model iki durum bakımından dorusaldır. Model değişkenler bakımından doğrusaldır. Ayrıca parametreler bakımından da doğrusaldır.

2


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Değişkenlerde ve parametrelerde doğrusallık durumu:

Parametreler her bir terimde çarpımsal olarak yer almaktadır.

3


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Değişken ve parametre bakımından doğrusallık:

Parametre bakımından doğrusal, değişken bakımından doğrusal olmama:

İkinci model parametre bakımından doğrusalken, değişken bakımından doğrusal değildir.

4


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Bu modellerde bir sorun yoktur. Yeni değişkenler yukarıdaki gibi tanımlanabilir.

5


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Değişkenlerde ve parametrelerde doğrusallık durumu:

Parametrelerde doğrusal değişkenlerde doğrusal olmama durumu:

Yapılan yüzeysel dönüşümler ile hem parametre hem de değişkenler doğrusal duruma getirilir.

6


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Değişkenlerde ve parametrelerde doğrusallık durumu:

Parametrelerde doğrusal değişkenlerde doğrusal olmama durumu:

Parametre bakımından doğrusal olmama durumu:

Üçüncü model katsayı bakımından doğrusal değildir. X4 değişkeninin katsayısı, X2 ve X3 değişkenleri katsayılarının çarpımıdır. Parametre bakımından doğrusal olmayan modeller uygun dönüşümler sayesinde doğrusallaştırılabilir.

7


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Muz Gelir

(lbs) ($10,000)

HanehalkıYX

1 1.71 1

2 6.88 2

3 8.25 3

4 9.52 4

5 9.81 5

6 11.43 6

7 11.09 7

8 10.87 8

9 12.15 9

10 10.94 10

Doğrusallaştırma için yukarıdaki örnek ile başlayalım. 10 hanehalkına ait yıllık muz tüketimi ve yıllık gelir bilgileri yukarıdaki gibidir.

8


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Y

X

Verilerin dağılımı grafikte verilmiştir.

9


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

. reg Y X

Source | SS df MS Number of obs = 10

---------+------------------------------ F( 1, 8) = 17.44

Model | 58.8774834 1 58.8774834 Prob > F = 0.0031

Residual | 27.003764 8 3.3754705 R-squared = 0.6856

---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6463

Total | 85.8812475 9 9.54236083 Root MSE = 1.8372

------------------------------------------------------------------------------

Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

---------+--------------------------------------------------------------------

X | .8447878 .2022741 4.176 0.003 .378343 1.311233

_cons | 4.618667 1.255078 3.680 0.006 1.724453 7.512881

------------------------------------------------------------------------------

Doğrusal modelin sonuçları çıktı olarak verilmiştir. Dağılma diyagramından görüldüğü gibi X’in katsayısı istatistiksel olarak anlamlıdır. R2 değeri oldukça iyidir.

10


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Y

X

Regresyon doğrusu çizildikten sonra dağılım diyagramı yukarıda yine verilmiştir.

11


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Y

X

Grafiğe tahmin değerleri ve hata terimleri eklenmiştir. Hata terimleri modelin bazı bakımlardan yanlış belirlenmiş olabileceğini göstermektedir.

12


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Y

X

Eğer model doğru olarak belirlenmiş olsaydı hata terimleri tesadüfi olarak dağılacaktı. Bu durumda tesadüfi değildir. Negatif hata terimini altı tane pozitif hata terimi ve bunları da üç tane negatif hata terimi takip etmektedir.

13


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Yeniden düzenlenmiş model:

Y değişkeninin ilişkisinin 1/X ile daha uygun olabilir. Eğer 2 < 0 ise, Y değişkeni X ile yine artacaktır, fakat artış oranı düşecektir.

14


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Gözden geçirilmiş model :

Yukarıdaki model doğusal değildir. X değişkeninin tersi olarak bir Z değişkeni tanımlanırsa model doğrusal olabilecektir.

15


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

MuzGelir

(lbs) ($10,000)

Hanehalkı YXZ=1/X

1 1.71 1 1.00

2 6.88 2 0.50

3 8.25 3 0.33

4 9.52 4 0.25

5 9.81 5 0.20

6 11.43 6 0.17

7 11.09 7 0.14

8 10.87 8 0.13

9 12.15 9 0.11

10 10.94 10 0.10

Yeni adım Z değişkenini X değişkeni yardımı ile hesaplamaktır. Böylece eski değişkenlerden yeni değişkenler elde edilebilir.

16


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Y

Z

Bu kez Y ve Z arasındaki dağılma diyagramı yukarıdaki gibidir.

17


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

. g Z=1/X

. reg Y Z

Source | SS df MS Number of obs = 10

---------+------------------------------ F( 1, 8) = 286.10

Model | 83.5451508 1 83.5451508 Prob > F = 0.0000

Residual | 2.33609666 8 .292012083 R-squared = 0.9728

---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9694

Total | 85.8812475 9 9.54236083 Root MSE = .54038

------------------------------------------------------------------------------

Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

---------+--------------------------------------------------------------------

Z | -10.98865 .6496573 -16.915 0.000 -12.48677 -9.490543

_cons | 12.48354 .2557512 48.811 0.000 11.89378 13.07331

------------------------------------------------------------------------------

Yeni Z değişkeni ile elde edilen model çıktısı yukarıdadır.

18


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

. g Z=1/X

. reg Y Z

Source | SS df MS Number of obs = 10

---------+------------------------------ F( 1, 8) = 286.10

Model | 83.5451508 1 83.5451508 Prob > F = 0.0000

Residual | 2.33609666 8 .292012083 R-squared = 0.9728

---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9694

Total | 85.8812475 9 9.54236083 Root MSE = .54038

------------------------------------------------------------------------------

Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

---------+--------------------------------------------------------------------

Z | -10.98865 .6496573 -16.915 0.000 -12.48677 -9.490543

_cons | 12.48354 .2557512 48.811 0.000 11.89378 13.07331

------------------------------------------------------------------------------

Regresyon modeli

19


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Y

Z

Regresyon doğrusu ve verilerin dağılım diyagramı

20


DOĞRUSALLIK VE DOĞRUSAL OLMAMA DURUMU

Y

X

X değişkeninin tersini alarak Z değişkeninin yer alması ve elde edilen modelin orijinal veriler ile grafiği çizildiğinde daha uygun olduğu görülmektedir.

21


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Doğrusal olmayan regresyon modellerinin hata yapısını ele alalım.

1


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Doğrusal modellerde regresyon sonuçları istenilen özelliklere sahiptir. Dönüştürülen modelde hata terimi toplamsal olmalıdır ve Gauss-Markov şartlarını sağlamalıdır.

2


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Geleneksel testlerin gerçekleştirilebilmesi için, dönüştürülmüş model hata terimi normal dağılmalıdır.

3


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Eğer orijinal modeldeki hata terimleri istenilen özelliklere sahip ise, doğrusal olmayan regresyon modelindeki hata terimleri de istenilen özelliklere sahiptir. Dönüşümden etkilenmemektedir.

4


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Log-log bir modelde hata terimi dışlansın.

5


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Bununla birlikte, dönüştürülmüş modelde hata teriminin toplamsal olduğu varsayılsın.

6


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Ancak orjinal modelde tesadüfi bileşen çarpımsaldır. eu.

7


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Orijinal modeldeki çarpımsal terimi v ile gösterelim.

8


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

u sıfıra eşit olduğunda, log Y değerini değiştirmeye gerek yoktur. Aynı biçimde v 1’e eşit olduğunda ise Y değerini değiştirmeye gerek yoktur.

9


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

1 değerinden büyük olan v değerlerine karşılık gelen pozitif u değerleri, tesadüfi faktör Y ve log Y üzerinde pozitif etkiye sahiptir. Benzer şekilde, 0 ve 1 değerleri arasındaki v değerlerine karşılık gelen negatif u değerleri, tesadüfi faktör Y ve log Y üzerinde negatif etkiye sahiptir.

10


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

f(v)

v

Ayrıca Gauss-Markov şartlarını sağlanması, t ve F testlerini gerçekleştirebilmek için u teriminin normal dağılması gerekmektedir.

11


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

f(v)

v

Eğer v lognormal dağılıma sahip ise şekli yukarıdaki gibi olacaktır.

12


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

f(v)

v

u = 0 iken, dağılımın modu v =1 olmaktadır.

13


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

f(v)

v

Aynı çarpımsal hata terimi yarı-logaritmik modelde de olmalıdır.

14


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

f(v)

v

Bu dağılımda büyük pozitif tesadüfi etkiye maruz kalan gözlemlerde küçük oransal değişme beklenecektir.

15


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Örnekte kazanç ve eğitim yılına ait verilerin dağılımı yukarıdaki gibidir. Birçok aykırı gözlem bulunmaktadır ve bunların üç tanesi sarı ile gösterilmiştir.

16


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Yukarıda yarı-logaritmik modelin regresyon doğrusu etrafındaki dağılma diyagramı gösterilmektedir. Aynı üç değer hala aykırı gözlem olarak görülmektedir.

17


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Yukarıdaki histogram doğrusal ve yarı-logaritmik modellerin hata terimlerini karşılaştırmaktadır. Hata terimleri standart sapması bir olacak şekilde standartlaştırıldığında karşılaştırılabilir.

18


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Eğer regresyon modelindeki hata terimi normal dağılıyorsa yukarıdaki gibi gösterilir

19


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Yarı-logaritmik modelden elde edilen hata terimleri yaklaşık olarak normal iken doğusal modelden elde edilen model hata terimleri normal değildir. Bu da yarı-logaritmik modelin daha iyi tanımlama olduğunu göstermektedir.

20


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Eğer tam logaritmik yada yarı-logaritmik model hata terimi çarpımsal yerine toplamsal olursa ne olur?

21


DOĞRUSAL OLMAYAN MODELLERDE HATA TERİMİ

Eğer böyle bir durum söz konusu ise, verilerin logaritması alınarak doğrusallaştırılamaz. log(b1Xb + u)’i basitleştirmenin bir yolu yoktur. Bu durum için bazı doğrusal olmayan tekniklerin kullanılması gerekmektedir.

2

22


BOX-COX TESTİ*

Bir regresyon modelinin tanımlanmasında bağımlı değişken aynı iken R2, modelleri karşılaştırmak için kulllanılabilir.

* Bu örnek “Applied Econoemtrics A Modern Approach” Dimitrios Asterious and Stephen G. Hall kitabından alınmıştır.

1


BOX-COX TESTİ

Ancak bağımlı değişken aynı değilse karşılaştırma yapılamaz.

2


BOX-COX TESTİ

Bu modeller aynı değildir ve karşılaştırma yapılamaz. Farklı fonksiyonel biçimlerin Box-Cox dönüşümü ile karşılaştırılması mümkündür.

4


BOX-COX TESTİ

Box-Cox dönüşümü yapılmadan önce Box-Cox dönüşüm parametresi olan λ nın bulunması gerekmektedir. λ belirlendikten sonra bağımlı değişkene ilişkin dönüşüm aşağıdaki gibi yapılmaktadır.

λ değeri eğer sıfır olarak bulunmuş ise, gerçek bağımlı değişkenin(y) ile logaritmik bağımlı değişken(logy) birbiri yerine kullanılabilmektedir. Ancak, λ nın sıfırdan farklı olması durumunda yukarıdaki formülden hesaplanan yeni bağımlı değişkeni oluşturulup Box-Cox testi aşamaları gerçekleştirilebilir.


BOX-COX TESTİ

(1)

(2)

1.Adım: Y gözlemlerinin geometrik ortalaması alınır.

2.Adım: Y gözlemleri geometrik ortalamalarına bölünerek Y* değişkenine dönüştürülür.


BOX-COX TESTİ

(1)

(2)

3.Adım: (1) ve (2) nolu modellerde bağımlı değişken yerine Y* değişkeni konur.

(3)

(4)


BOX-COX TESTİ

4.Adım: (3) ve (4) nolu modellerden elde edilen hata kareler toplamına göre ki-kare kritik değeri elde edilir. Serbestlik derecesi 1 olan ki-kare tablo değeri ile karşılaştırılır.

(3)

(4)

Sonuç olarak eğer test değeri tablo değerinden büyük ise daha küçük hata kareler toplamına sahip modelin daha iyi olduğu ifade edilebilir.


BOX-COX TESTİ

Örnek: 1985:1-1994:2 dönemleri arasında tüketim, gelir ve tüketici fiyat indeksi verileri verilmiştir. İki türlü tüketim fonksiyonu tanımlanmıştır.

Ct : reel tüketim,

Yt: reel gelir

Her iki modeli karşılaştırabilmek için reel hale getirilen değişkenlerin logaritması alınarak dönüştürme adımlarına başlanabilir.


BOX-COX TESTİ

lnCt =ln(Ct)=CYeni

C değişkenin geometrik ortalaması alınır.

λ=0 olduğu için logaritmik C değişkeni kullanılmıştır.

C* değişkeni (1) ve (2) nolu modellerde bağımlı değişken yerine kullanılır ve (3) ve (4) nolu modeller ayrı ayrı tahminlenir.

(3)

(4)




Model karşılaştırması

H0: Model tahminleri arasında fark yoktur.

H1: Hata kareler toplamı küçük model daha iyidir.

Logaritmik fonksiyonun doğrusal modelden daha iyi olduğu söylenemez


BOX-COX TESTİ

Yukarıdaki iki modelde Y gözlemlerin geometrik ortalamasına bölünmesi ile normalleştirdikten sonra şu şekilde karşılaştırılabilir.

8


BOX-COX TESTİ

Aşağıdaki iki model karşılaştırılmak istensin.

Bir önceki örnekte olduğu gibi bağımlı değişkenin geometrik ortalaması alınarak bağımlı değişken gözlemleri geometrik ortalamaya bölünür.

9


BOX-COX TESTİ

EARN* elde edildikten sonra aşağıdaki iki model tahminlenebilir.

Karşılaştırma amaçlı aşağıdaki test istatistiği hesaplanır.

Kazanç denklemini doğrusal ve yarı logaritmik biçimde karşılaştırmak için yukarıdaki testi uygulayacağız.

10


BOX-COX TESTİ

. reg EARNSTAR S

Source | SS df MS Number of obs = 570

---------+------------------------------ F( 1, 568) = 65.64

Model | 30.8184248 1 30.8184248 Prob > F = 0.0000

Residual | 266.69807 568 .469538855 R-squared = 0.1036

---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1020

Total | 297.516494 569 .522876089 Root MSE = .68523

------------------------------------------------------------------------------

EARNSTAR | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

---------+--------------------------------------------------------------------

S | .0944558 .0116589 8.102 0.000 .0715559 .1173557

_cons | -.1224433 .1602326 -0.764 0.445 -.437164 .1922774

------------------------------------------------------------------------------

EARNSTAR’nın S ye göre regresyonu alınır. Hata kareleri toplamı bulunur.

17


BOX-COX TESTİ

. reg LGEARNST S

Source | SS df MS Number of obs = 570

---------+------------------------------ F( 1, 568) = 93.21

Model | 21.6812545 1 21.6812545 Prob > F = 0.0000

Residual | 132.120642 568 .232606764 R-squared = 0.1410

---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1395

Total | 153.801897 569 .270302103 Root MSE = .48229

------------------------------------------------------------------------------

LGEARNST | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

---------+--------------------------------------------------------------------

S | .0792256 .0082061 9.655 0.000 .0631077 .0953435

_cons | -1.071214 .1127785 -9.498 0.000 -1.292727 -.8496999

------------------------------------------------------------------------------

LGEARNST’nın de regresyonu alınır ve hata kareler toplamı alınır.

18


BOX-COX TESTİ

H0: Model tahminleri arasında fark yoktur.

H1: Hata kareler toplamı küçük model daha iyidir.

Test istatistiği 200.2 dir. Kikare tablo değeriyle karşılaştırıldığında yarı logaritmik modelin daha iyi olduğuna karar verilir.

19


ad