2 koordin ta rendszerek s transzform ci k
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 627

2 . Koordináta-rendszerek és transzformációk PowerPoint PPT Presentation


  • 180 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

2 . Koordináta-rendszerek és transzformációk. 2.1. Koordináta-rendszereink 2.2. Az egyenes és sík egyenlete 2.3. Affin transzformációk 2.4. Projektív transzformációk. Mire jó nekünk az analitikus geometria?. Geometriai modell: pontok, vonalak, felületek – testek

Download Presentation

2 . Koordináta-rendszerek és transzformációk

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

2. Koordináta-rendszerek és transzformációk

2.1. Koordináta-rendszereink2.2. Az egyenes és sík egyenlete2.3. Affin transzformációk2.4. Projektív transzformációk


Mire j nek nk az analitikus geometria

Mire jó nekünk az analitikus geometria?

Geometriai modell:pontok, vonalak, felületek – testek

Átalakítások: geometriai számításoktranszformációk

Rajzolás: geometrikus képek;vetületek - transzformációk

API

2009.08

602


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

2.1. Koordináta-rendszereink

  • A Descartes-féle derékszögű koordináták

  • Polár-koordináták

  • Gömbkoordináták, henger-koordináták

  • Baricentrikus koordináták

  • Homogén koordináták


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

a Descartes-féle (ferdeszögű) KR

  • Egy KR-t meghatároz:- egy pont (origó, kezdőpont)- a rajta átmenő 3 (2) irányított egyenes (tengelyek), amelyek kifeszítik a teret (a síkot),- és a tengelyeken kijelölt egység

  • Egy pont helyének megadása: 3(2) koordinátájával:P = (x, y, z)T // vagy (x, y, z)a pont vetülete egy tengelyre a másik két tengely síkjával párhuzamosan


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

DKR (a Descartes-féle, derékszögű KR)

  • Kijelöli 5 „pont”:O, X, Y, Z, E

  • Pontok: P = (x, y, z)T = ⌠ x|│ y││ z│

  • kétféle irányítás: jobbsodrású (jobbos, jobbkezes),+Z felől nézve: X Y: „CCLW”balsodrású (balos, balkezes)


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

A síkban:

  • Kijelöli 4 „pont”: O, X, Y, E

  • Pontok: P = (x, y)T = │x││y│

  • kétféle irányítása:jobbsodrású (jobbos, jobbkezes),X tengely  Y tengely: „CCLW” balsodrású (balos, balkezes)


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

Síkbeli polárkoordináták (ti)

  • kezdőpont, a polár-tengely, a pozitív elfordulás iránya.P = ( r,  ); ( 0 r ), ( 0 < 2).


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

Síkbeli polárkoordináták (ti)

  • PK  DK

    x = r  cos , y = r  sin 

  • DK  PK

    r = x2+y2 és = arctan( y / x ), ha x 0 és x0 = 0, ha y = 0 és x > 0 = , ha y = 0 és x < 0 = /2, ha x = 0 és y > 0, ill.y<0= meghatározatlan, ha x=y=0 (a kezdőpont).


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti)

alapsík, benne PKR és aZ tengely,

gömbkoordináták: P = (r, , ); r: 0 r : polárszög; <2 az alapsíkban)azimut; 0 vagy -/2 /2


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti)

henger-koordináták: ( r, , z )

PK  DK

x = cos  = r  sin  cos ; y =  sin  = r  sin  sin , z = r  cos   = r  sin = x2+y2, (az alapsíkban)

DK  PK : . . .


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

Pontrendszer súlypontja (olv)

M

p2,m2

p1,m1

p1,m1

M

p2,m2

p3,m3

  • i = 1,2,…,n; tömegpontok Pi pont, pi, helyvektor, mitömeg

  • A pontrendszer súlypontja: a pontok súlyozott összege;M = (  mi·pi) / miM =  (i·pi );i = mi/ mi ; 0 < i < 1; i = 1

  • Adott pi alappontok eseténmás-más mi súlyokhoz, más-más súlypont

  • A i súlyok arányosan változtathatók !


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

Baricentrikus koordináták

  • a0, a1, a2 , a3E 3 ; 4 pont kifeszíti az 3 dimenziós teret

  • E 3 –ben mindenxponthoz egyértelműen: {0, 1, 2, 3} valósak:x = 0a0 +1a1 + 2a2+ 3a3; i=1

  • Súlyozott összeg, a súlyok összege 1. (lehetnek negatívok is)

  • {i}: az x-nek {ai}-re vonatkozó baricentrikus koordinátái


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

Baricentrikus koordináták

  • x = 0a0 +1a1 +…+ nan; i=1

    • Súlyozott összeg, a súlyok összege 1.

    • {i} homogén jellegű koordináták: {'i}  {h i} ;h  0 ugyanaz a pont

    • Ha egy P pont baricentrikus koordinátái pozitívak, P az alappontok konvex burkán belül van.

    • Tömegpontok súlypontja is


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

Homogén koordináták

  • Az E 2 egy „inhomogenitása”

  • Az euklideszi tér kibővítése

  • Homogén koordináták

  • „Homogén terünk” szerkezete

  • Homogén  Descartes koordinátákDescartes  Homogén koordináták

  • A sík homogén koordinátás egyenlete

  • Miért használunk homogén koordinátákat?


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

Az E2 egy „inhomogenitása”

  • Az a egyenes pontjait K-ból vetítjük az x egyenesre.

  • F’ = ?

  • Legyen !! Az E2 kibővítése:- minden egyenesnek legyen még egy pontja,- neve: „az egyenes ideális pontja”, (fernpunkt)- párhuzamosok ideális pontja megegyezik: az egyenesek állása,- egy sík ideális pontjai a sík ideális egyenesén vannak.


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

A kibővített euklideszi sík

  • Az E 2projektív lezárása (a „kibővített sík”); (projektív sík egy kitüntetett egyenessel.)

  • „a homogén sík”: H 2 = E 2 I 2[„homogén sík” és „ H 2” jelölés csak KG]

  • A projektív síkban:bármely két pont meghatároz egy egyenestbármely két egyenes meghatároz egy pontot…


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

A kibővített euklideszi tér

  • Az E 3projektív lezárása (a „kibővített tér”); „a homogén tér”: H 3 = E 3 I 3.(„homogén tér”, „ H 3” csak KG)

  • H 3 : P 3 (projektív tér) egy kitüntetett ideális síkkal

  • A projektív térben:bármely 3 pont meghatároz egy síkotbármely 3 sík meghatároz egy pontot. . .


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

A kibővített euklideszi tér

  • Egyenes: közönséges pontjai + 1 ideális pontegy egyenes ideális pontja: az egyenes „állása”: ,

  • úgy, hogy:párhuzamosok ideális pontja (állása) megegyezik; egy sík ideális pontjai egy egyenesen vannak, ez „a sík ideális egyenese”, (a sík „állása”)párhuzamos síkok ideális egyenese (állása)megegyezik,a tér ideális elemei (pontok, egyenesek, síkok) egy síkban vannak; „a tér ideális síkja”


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

Homogén koordináták

  • A tér (közönséges részének) egy derékszögű KR-ébenO : közönséges pont; belőle X, X, Z tengelyek

  • P = (x, y, z)„homogén koordináták” :P = (x, y, z)  [x, y, z, 1]  h  [x, y, z, 1] = [ h  x, h  y, h  z, h ]; h0

  • Arányos számnégyesek ekvivalencia-osztálya (!)

  • Figyelem: [ x, y, z, w ]  h  [ -x, -y, -z, -w ] !!


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

Homogén koordináták

  • A v = (x, y, z) állású egyenesek ideális pontja:Iv = [ x, y, z, 0 ]; a pont „homogén alakja”,illetve:Iv = [ x, y, z, 0 ]  h  [ x, y, z, 0 ] = [ hx, hy, hz, 0 ]; h0


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

Áttérés a homogén alakra és vissza

  • A feladat adatai: DKR-ben:

  • Számítások DKR-ben, de közben:

  • Ha kell („kényes” műveletek előtt):

    • áttérés homogén alakra: (x, y, z) [x, y, z, 1]

    • „kényes” műveletek homogén alakban; utána

    • az eredmények „szűrése” (ideális pontok kizárása)

    • visszatérés DKR-be (projektív osztás): [x1, x2, x3, x4] (x1 / x4, x2 / x4, x3 / x4).

  • Az eredmények értékelése DKR-ben.


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

Vissza: Descartes koordinátákra

  • H3 [x1, x2, x3, x4] pontjának  :

    • ha x40, akkor ez közönséges pont :[x1, x2, x3, x4]  [x1/x4, x2/x4, x3/x4, 1]  (x1 /x4, x2 /x4, x3 /x4),

    • ha x4=0, de x1,x2, x3 nem mind nulla: ideális pont, az (x1, x2, x3) irányvektor: | | egyenesek állása

    • [0,0,0,0] nem pont (számítások eredménye nem lehet).


Ide lis pontok

„Ideális pontok”

E 3= { (x, y, z) }{ [x, y, z, 1] }; x, y, zR

I 3 = { [x, y, z , 0] }; x, y, zR

H 3 = E 3 UI 3; a „kibővített tér”, a „homogén tér”

Az euklideszi tér kibővítése:minden egyenesnek van még egy pontja:az egyenes állását jellemzipárhuzamosok ideális pontja megegyezikegy sík ideális pontjai: a sík ideális egyeneséna tér ideális pontjai: az ideális síkban


Egyenesek k z s pontja

Egyenesek közös pontja


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

„Homogén terünk” szerkezete (olv)

  • A valós számhármasok tere: R3 = { (x,y,z); x,y,z R }

  • Az arányos számnégyesek ekvivalencia-osztályai:Ax,y,z,w= { h ·[ x, y, z, w ]; h R, h ≠ 0}; x,y,z,wRA homogén tér:H 3 ={ Ax,y,z,w ; x,y,z,w R } \ { [0,0,0,0] }


2 koordin ta rendszerek s transzform ci k

Miért használunk homogén koordinátákat?

  • A párhuzamosok „kivételes helyzete” megszűnik.

  • A mátrix szorzás egységes formalizmusa (eltolás!)transzformációk egymásutánja: mátrixuk szorzata

  • A középpontos vetítés számolhatóa pontok homogén koordinátáival és4x4-es mátrixal


  • Login