Динамиката разглежда движението на точките и телата под действие на външни сили

1. Динамиката разглежда движението на точките и телата под действие на външни сили

2. Въведение в динамиката. Диференциално уравнение на движението. • Учебни въпроси: • Въведение. Нютонови аксиоми (Основни закони на динамиката). • Диференциално уравнение на движението. • Диференциално уравнения на движение на тежка точка, изхвърлена под ъгъл спрямо хоризонта в среда без и със съпротивление. 4. Общи свойства на траекторията на тежка точка изхвърлена под ъгъл спрямо хоризонта.

3. 1.Въведение. Нютонови аксиоми. • В съчинението си “Математически основи на натурната философия” (1687 ) Нютон (Newton), използвайки свои и на предшествениците си (главно на Галилей) опити и разсъждения, изгради дедуктивно механиката, като постави в основата й три аксиоми, които той нарече “закони на движението”. Проф. Аркадий Стоянов (1896 – 1963 г.)

4. Първа Аксиома (Закон на инерцията) • В коперниковата координатна система една материална точка, оставена съвсем сама – без действието на никакви сили, има ускорение, равно на нула. • От уравнението а = V = 0 следва V = с1, където с1 е постоянен вектор. Това равенство показва, че при с1 =0 направлението, посоката и големината на скоростта не се променят. • От V = r = c1следва, че r = c1t + c2,(1) където с2 е друга интеграционна константа. Уравнението (1) е параметричното уравнение на права. Следователно траекторията на точката (прим. М) е права линия (ако с1 = 0). • И така: • 1) ако с1 = 0 точката М се движи праволинейно и равномерно; • 2) ако с1 = 0, тогава r = c2, точката М е в покой. • Извод: Всяка изолирана материална точка (тяло) се намира или в покой, или се движи равномерно и праволинейно дотогава, докато външна причина (сила) не промени това състояние.

5. Втора аксиома(закон за ускорителното действие на силите или закон за независимостта на действие на силите) • І част. Ако на точката М действа само една силаF, точката получава ускорение а, равно на F:m, където m е масата на точката. Този коефициент на пропорционалност m не зависи от скоростта, която притежава точката в момента, когато започва да действа силата. • Нютон в същност изказва тази аксиома в по-друг вид: • Производната спрямо времето на количеството на движение q е равна на силата, или q = F, където q = m v. • Двете формулировки са еквивалентни само тогава, когато масата m е постоянна: • F = q = d/dt (mv) = mv = ma a = F/m • Ако масата m е променлива (прим. ракета при излитане), тогава дветепостановки не са равностойни и е прието да се работи с израза F = q

6. Втора аксиома – ІІ част(Закон за независимо действие на силите) • Ако на точка М действат две сили F1и F2, всяка от които поотделно би й съобщила ускорение а1, респективно а2, то при едновременното действие на двете сили F1 и F2 точката М получава ускорение а, равно на сумата от векторите а1 и а2, или: а = a1 +a2 = F1/m + F2/m =( F1+F2)/m = R/m Rсе нарича равнодействаща (резултантна) на силите F1иF2. Ако на точката действат повече сили, зависимостта е аналогична, като равнодействащата Rв този случай ще бъде равна на сумата от всички сили.

7. Трета аксиома (закон за действието и противодействието) • Третата аксиома установява взаимодействието между две материални точки: • Силите, с които си взаимодействат две материални точки М1 и М2, имат една и съща директриса (правата М1М2), противоположни посоки и са равни по големина. • Накратко това може да се изкаже така: • Действието и противодействието са равни и право противоположни.

8. Айнщайн (Einstein) • През 20-ти век се разбра, че нютоновите аксиоми съдържат някои недостатъци, поради което бяха направени опити да се формулират други аксиоми. Един от тези опити бе извършен от Айнщайн, създател на така наречената “релативистична” механика или “теория на относителността”, която разглежда движението на точки с много високи скорости – сравними със скоростта на светлината. За точки, които се движат с по-ниски скорости, формулите на Айнщайн практически не се различават от нютоновите. Поради това въпреки недостатъците им нютоновите аксиоми се използват много успешно, тъй като са прости и фактически твърде точни за приложение в практиката.

9. 2 2 2 2 2. Диференциално уравнение на движението на материална точка. 2.1. Векторна форма на диференциалното уравнение на движението. От втората аксиома – закона за независимо действие на силите имаме: a = ∑ Fi/m или: m. a = ∑ Fi[1] В уравнение [1] може да заместим а с dr/dt,a ∑ Fi c F, където F = F(t,r,v). Тогава диференциалното уравнението за движение във векторна форма ще има вида: mdr/dt = F(t,r,v). [2]

10. Z v М a r z F O Y траектория x y X 2.2 Диференциални уравнения на движението в правоъгълна координатна система Като проектираме векторното диференциално уравнение (2) върху трите оси на правоъгълната координатна система Oxyz, ще получим следната система от три скаларни диференциални уравнения: m.x = Fx, m.y = Fy, [3] m.z = Fz, В уравненията (3) x, y, z са проекциите на ускорението а, а Fx, Fy, Fz – проекциите на равнодействащат сила F върху съответните оси. Тези уравнения ще наричаме диференциално уравнение на движението в координатна форма.

11. F z 2 a r O O М OM=s y x Триедъра на Френе b 2 n t 2.3 Диференциално уравнение на движението в естествена координатна система. Проектираме ускорението по трите оси на триедъра: • at= s. τ; an=(s/ρ).n; ab = 0 Проекциите на силата F върху съответните оси ще бъдат – Ft, Fn, Fb. Тогава формата на диференциалното уравнение за движение на точка в естествени координати ще бъде: m.s = Ft(t,s,s); m.s/ρ = Fn(t,s,s); [4] 0=Fb Диференциалните уравнения на движението на точка могат да се представят още и в полярна, цилиндрична и сферична координатна система.

12. A A A A [5] B B B B F F F F Ф Ф Ф Ф a a M M MА MА МВ Ф= -m.a Ф= -m.a МВ 2.4 Принцип на Даламбер (D Alembert) Уравнения на движението в Даламберов вид: F + Ф = 0 F – m.a = 0 или Даламберов смисъл! Действително положение!

13. Принцип на Даламбер (продължение) • Уравнението [5] всъщност представлява условие за равновесие на точка, върху която са приложени равнодействащата Fна сума от сили F1, F2, F3,……Fn и инерционната (Даламберовата) сила Ф. • По този формален начин уравнението за движение добива вид на едно уравнение за равновесие и затова може да се каже: динамичната задача доби облика на статична задача – равновесие в Даламберов смисъл. • Така стигаме до принципа на Даламбер: • “На уравнението на динамиката можем да дадем вида на едно уравнение за равновесие, като прибавим (фиктивно) към физическите (реални) сили Fiи инерционната сила Ф и след това приравним сбора на нула.” • Принципа на Даламбер може да се приложи както при изследването на динамиката на точка, така и при динамиката на материално тяло. ПРИМЕРИ!

14. 2.5 Права и обратна задача на динамиката. С помощта на диференциалното уравнение на движението могат да се решават два основни вида задачи. И при двата вида масите на точките (телата) са предварително известни. Първи вид задачи – права задача на динамиката. Познати са кинематичните характеристики (закона на движение) на точката, а се търсят силите (част от силите) или равнодействащата на силите, под действието на която точката се движи по известния закон. Тази задача може да бъде поставена и по следния начин: как, каква сила да приложим, за да накараме точката да се движи по точно определен начин. Примери. Втори вид задачи – обратна задача на динамиката. Познаваме силите, приложени върху точката и търсим закона за движение – как ще се движи точката под действието на тези сили. При втория вид задачи се определят кинематичните характеристики на точките – траектория, път, скорост и ускорение. Примери.

15. y V0 α0 G O x 3. Диференциално уравнения на движение на тежка точка изхвърлена под ъгъл спрямо хоризонта в среда без и със съпротивление. • 3.1.Диференциално уравнение на движение в среда без съпротивление. • m.a = G [3.1] • mx = 0;my = -G или my = -mg [3.2] • mr = mg; r = g; Интегрираме [3.1]:∫dr =∫g.dt • r = v = g.t + c1; Повторно интегрираме: • ∫dr = ∫g.t.dt + ∫c1.dt; • r = g.t/2 + c1.t + c2; • Начални условия: при t = 0, • v = v0 = c1, и r = 0 = c2; • тогава получаваме окончателно: • r = g.t/2 + v0.t [3.3] • Проектираме [3.3] върху осите х и у: • х = V0.cosα0.t и y = V0.sinα0.t – g.t/2 [3.4] • Същия резултат щяхме да получим и ако последователно интегрирахме уравненията[3.2]. V 2 2

16. n 2 2 n 3.2 Диференциално уравнение на движение на тежка точка, изхвърлена под ъгъл спрямо хоризонта в среда със съпротивление. Силата на съпротивление при движениетона материални обекти (снаряд, самолет или друг летателен апарат) в атмосферата наЗемята може да се формира от: • Съпротивление на въздуха: -съпротивлението на триенето на въздуха; -съпротивлението на налягане на въздуха; -вълновото съпротивление; -други съпротивления, породени от въртенето на снаряда. • Влияние на въртенето на Земята. • Влияние на напора от скоростта на вятъра и др. В общия случай силата на съпротивление F на материална точка може да се представи като: F = - m.f(v).ve[3.5],където: ve= v/v– единичен вектор на скоростта; m – масата на точката, а f(v) – функция, зависеща от скоростта. Тази функция в много частни случай може да бъде: 1.) f(v) = k.v; 2.) f(v) = b.v ; 3.) f(v) = c.v ;(Бернули) 4.) f(v) = a.v + b.v (Нютон, Ойлер), 5.) f(v) = a. + b.v (Даламбер).

17. y V t V0 M α F α0 G O n x [3.7] 2 3.2 Диференциално уравнение на движение на тежка точка, изхвърлена под ъгъл спрямо хоризонта в среда със съпротивление.(продължение) Към движещата се точка прилагме и силата на съпротивление F – обратна по посока на скоростта V. В точка М присъединяваме системата на Френе:tMn. Тогава диференциалното уравнение на движение на точката ще бъде: m. a = G + F = G – m. f(v).ve[3.6] Проектирайки уравнението [3.6] върху осите t и n на естествената координатна система на Френе, получаваме диференциалните уравнения на движението на точката в естествени координати: m. dv/dt = - m. f(v) – G. sinα m. v /ρ = G. cos α

18. [3.9] 4.Решение на диференциалните уравнения на движението на точка в среда със съпротивление. Свойства на траекторията й. 4.1 Решение на уравненията [3.7] Вземаме пред вид, че: 1/ρ = - dα/ds = - dα/ds . dt/dt = - dα/dt . 1/ds/dt; или: 1/ρ =- dα/dt .1/v [3.8.a]; освен това: G = m.g [3.8.b]. Заместваме [3.8.a] и [3.8.b] в [3.7] : m.dv/dt = - m. f(v) – m. g. sinα, съкращаваме на m: m.dv/dt = - m. f(v) – m. g. sinα, m. dα/dt = - m. g/v. cosα m. dα/dt = - m. g/v. cosα Получаваме: dv/dt = - f(v) –g. sinα, dα/dt = - g/v. cosα Елиминираме dt от уравнения [3.9] и получаваме: dv/dα. cosα = v/g.f(v) + v. sinαили: d/dα(v. cosα ) = v/g.f(v) [3.10] Ако е дадена функцията f(v) и ако интегрирането е възможно от уравнението [3.10] директоно се определя V във функция на алфа. Тъй като при t = 0, α = α0лесно се намира и t във функция на алфа. Тези уравнения определят движението на точката (външната балистика).Обикновенно при изчисления, свързани с външната балистика интегрирането на [3.10] се извършва числено.

19. 4.2 Общи свойства на траекторията на точката. След по-подробно изследване на уравненията на движението, могат да се направят някои изводи, които могат да се формулират като общи свойства на траекторията на материална точка, изхвърлена под ъгъл спрямо хоризонта: • Хоризонталната съставка на скоростта постепенно намалява. • Ъгълът на падане е по-голям от ъгъла на изхвърляне. • Скоростта на падане е по-малка от скоростта на излитане. • Ъгълът алфа намалява с течение на времето, в сравнение с началната си стойност. • Хоризонталната далечина при движение на точката в среда със съпротивление е по-малка в сравнение с движение в безвъздушна среда. • Максималният ъгъл на изхвърляне е в границите 25 – 60 градуса.

20. Въпроси ?