1 / 24

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan. Pendahuluan. Sering dijumpai bahwa fungsi-fungsi yang akan diintegralkan bukan merupakan bentuk baku ( rumus umum integrasi ), sehingga tidak dapat langsung diintegralkan . Fungsi tersebut harus dibawa ke bentuk baku, dengan cara: T eknik substitusi

moya
Download Presentation

Teknik Pengintegralan

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. TeknikPengintegralan

  2. Pendahuluan • Seringdijumpaibahwafungsi-fungsi yang akandiintegralkanbukanmerupakanbentukbaku(rumusumumintegrasi), sehinggatidakdapatlangsungdiintegralkan. • Fungsi tersebut harus dibawa ke bentuk baku, dengan cara: • Tekniksubstitusi • Teknikpengintegralanparsial • Teknik Substitusi • Mengubahkebentukbaku • Mengubah-ubahintegran • Beberapa integral trigonometri

  3. Basic Integration Formulas

  4. A.1. Mengubah ke bentuk baku • Untukmenentukanf(x) dx, dapatmensubstitusikanu = g(x),dengangadalahfungsi yang dapatdiintegralkan. • Apabilasubstitusimengubahf(x) dxmenjadih(u) dudanapabilaHantiturunanh, maka: f(x) dx = h(u) du = H(u) + c = H(g(x)) + c Contoh 3 • Tentukan • Bentukbaku yang mendekatiadalaheududenganmengandaikan u = 1/x , maka du = sehingga : = - 6 eu+ c = = -6

  5. Contoh 4 Ingatbentukbakuu = x4+ 11, maka

  6. Contoh

  7. A.2. Mengubah ke bentuk integran • Sebelummelakukansubstitusi, sering kali dibutuhkanmenulisintegrankedalambentuk yang lebihcocok. Contoh 5

  8. A.3. Bentuk Integral Trigonometri • Apabilakitamenggunakanmetodepenggantiandandisertaidenganpemakaiankesamaantrigonometri yang tepat, makakitadapatmengintegralkanbanyakbentuktrigonometri. • Tigajenis integral yang sering dijumpai : • sin n x dxdancosn x dx • sin m x cosn x dx • sin mxcosnxdx, sin mx sin nxdx, cosmxcosnxdx i) Jenis sin n x dxdancosn x dx • Untuk n = ganjil, digunakankesamaan : sin2 x + cos2 x =1 Contoh 6

  9. Untuk n = genap, digunakankesamaan : sin2x= ½ (1 - cos 2x) cos2 x = ½ (1 + cos 2x) Contoh 7. sin 2 x dx =  ½ (1 - cos 2x) dx = ½ dx – ¼ cos 2x (2) dx = ½ dx – ¼ cos 2x d(2x) = ½ x – ¼ sin 2x + c ii) Jenissin m x cosn x dx Untuk m atau n ganjilsedangeksponen lain merupakanbilangansembarang, makadikeluarkan sin x ataucos x dandigunakankesamaan : sin2 x + cos2 x =1 Contoh 8.

  10. Untuk m dan n genapmakadigunakankesamaan : sin2x= ½ (1 - cos 2x) cos2 x = ½ (1 + cos 2x) Contoh 9.

  11. iii) Jenissin mxcosnxdx, sin mx sin nxdx, cosmxcosnxdx Integral jenisinibanyakdigunakandalamteoriarusbolak-balik, teoriperpindahanpanasdanteori-teori yang menggunakanderet Fourier. Untukmenyelesaikan integral jenisinidigunakankesamaansebagaiberikut. • sin mxcosnx = ½ [sin (m+n) x+ sin (m - n) x] • sin mx sin nx = - ½ [cos (m+n) x - cos (m - n) x] • cosmxcosnx = ½ [cos (m+n) x+ cos (m - n) x] Contoh 10.

  12. Apabilapengintegralandenganmetodepenggantiantidakberhasil, denganmenerapkanmetodepenggunaanganda, yang lebihdikenaldenganpengintegralanparsial. Metodeinididasarkanpadapengintegralanrumusturunanhasil kali duafungsi. • Andaikanu danv adalahfumgsi x yang dapatdideferensiasikan. Maka • d(uv) = v du + u dv • uv =  v du +  u dv •  u dv = uv -  v du • Duaaturanumum yang harusdiikutiadalah : • bagian yang dipilihsebagaidvharussegeradapatdiintegrasikan •  v du tidakbolehlebihsulitdaripada u dv B. PengintegralanParsial

  13. Contoh 11 : Tentukan x cos x dx Penyelesaian : Jika diambil u = x dv = cos x dx du = dxv = sin x Maka :  x cos x dx = x sin x -  sin x dx = x sin x + cos x + c

  14. PengintegralanParsialBerulang • Sering kali didalampenerapanteknikinidijumpaipengintegralanparsial yang harusdilakukanbeberapa kali. • Contoh 12 Hitunglah x2 sin x dx. Penyelesaian : Andaikanu = x2dv = sin x dx du = 2x v = - cos x Maka :  x2 sin x dx = - x2cos x + 2 x cos x dx  x2 sin x dx = - x2cos x + 2(x sin x + cos x + C ) = - x2cos x + 2x sin x + 2 cos x + K

  15. Contoh 13 • Tentukan ex sin x dx. Penyelesaian : Andaikanu = exdandv = sin x dx du = exdx v = - cos x Sehingga  ex sin x dx= -excos x +  excos x dx • Tampaknyatidakadaperbaikan. Akantetapidengansekalilagimenerapkanpengintegralanparsialpada integral kedua, yaitudenganmengandaikan : u = exdandv = cos x dx du = exdx v = sin x Maka :  excos x dx = ex sin x -  ex sin x dx Apabilahasilinikitasubstitusikankedalamhasilpertama, makadiperoleh:  ex sin x dx = - excos x + ex sin x -  ex sin x dx Denganmengubahurutansukuterakhirkesebelahkiri integral danmengumpulkansuku-sukunya, kitaperoleh 2  ex sin x dx = ex (sin x - cos x) + C Sehinggaakhirnya :  ex sin x dx = ½ ex (sin x - cos x) + K

  16. Pengintegralan Tabular • Jikapengulangan integral parsialdilakukanberkali-kali, makabisadiperingkasdengan integral tabular • Ilustrasidari integral iniadalah

  17. Teknik Integral Fungsi Rasional • Menurutdefinisi, suatufungsirasionaladalahhasilbagiduafungsisukubanyak (polinom). • Contoh : • Untuk pengintegralan yang dicari adalah membuat bentuk fungsi rasional seperti sisi kiri dari fungsi rasional di sisi kanan.

  18. A. Faktor linear yang berlainan Tentukan integral Solusi : x2-x-6 = (x-3)(x+2) Sehingga penjabaran pecahannnya Selanjutnya dicari nilai A dan B : 3x-1 = A(x-3) + B(x+2) 3x-1 = (A+B) x + (-3A+2B) A + B = 3 -3A + 2B = -1 A = 7/5 dan B =8/5 = Jadi = 7/5ln |x + 2 | + 8/5ln | x - 3 | + C

  19. B. Faktor linear yang berulang Tentukan integral Penjabaranmenjadipecahanparsialadalah Nilai A dan B dapatdicari, setelahpenyebut-penyebutnyadihilangkandiperoleh x = A(x-3) + B A = 1 dan B = 3 = = ln | x-3 | -

  20. C. Faktorkuadrat yang berulang Tentukan integral Penjabaran : Kesamaan : dan E = 0

  21. Sehingga :

  22. Subsitusitrigonometri • Untukmensubtitusibentukdandengandan

More Related