A polinomalgebra elemei

1. A polinomalgebra elemei Ábrahám Gábor Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium Szeged

2. Az egyhatározatlanú polinom • A továbbiakban az R jelentse a , míg K a halmazok valamelyikét. Definíció:Az R fölötti egyhatározatlanú polinomok az alakú formális kifejezések, azzal a megállapodással, hogy esetén akkor és csak akkor, ha Ha p(x)-ben , akkor az n számot a p fokszámának nevezzük. Az -et a p főegyütthatójának. Ha =1, akkor pfőpolinom.

3. Az R fölötti polinomok halmazát a továbbiakban R[x]-szel jelöljük. • Az R[x] halmazon definiálható az összeadás és a szorzás az ismert módon. • Nyilván R[x] additív egységeleme a 0 konstans polinom, a additív inverze a polinom. • A polinomra legyen • Definíció: A pR[x]-beli polinom osztója a q R[x]-beli polinomnak, ha létezik rR[x]-beli polinom, hogy q=rp. Jel.: p|q

4. Az R[x]-beli polinomokra fennállnak az egész számok köréből jól ismert oszthatósági tulajdonságok. • Az R[x]-ben az egységelem osztóit egységeknek nevezzük, melyek K[x]-ben a 0 polinomtól különböző konstanspolinomok, -ben az 1, -1 konstanspolinomok. • Ha a p és q polinom elem R[x]-nek, valamint teljesül rájuk, hogy p|q és q|p, akkor p és q polinomok asszociáltak. Jel.: pq. • A q polinomot, mely elem R[x]-nekirreducibilis polinomnak nevezzük, ha nem a 0 polinom és nem egység, valamint q-nak a saját asszociáltjain ill. az egységeken kívül nincs más osztója. • Maradékos osztás tétele: Ha f és g polinom eleme K[x]-nek és g nem a 0 polinom, akkor egyértelműen létezik olyan q és rK[x]-beli polinom, hogy f=gq+r, ahol r*<g*.

5. Polinom helyettesítési értéke, gyöke • Definíció: Legyen polinom eleme az R[x]-nekés c eleme R-nek. Ekkor a p polinom c helyen vett helyettesítési értéke az R-beli elem. Ha p(c)=0, akkor c a polinom gyöke. • A közismert felhasználásával könnyen bizonyítható az alábbi tétel: • 1. Tétel: Tetszőleges R[x]-belip polinom és R-beli c szám esetén létezik olyan R[x]-beliq polinom, hogy p(x)=(x-c)q(x)+p(c). • Következmény: Ha a és b két egész szám és p egész együtthatós polinom, akkor a-b|p(a)-p(b).

6. Bézout-tétel és következményei • Bezout-tétel: • Legyen a p polinom eleme R[x]-nek. Az R-beli c elem akkor és csak akkor gyöke p-nek, ha x-c|p(x). • Következmények: • 1. Legyen a p polinom eleme R[x]-nek és a elemek páronként különbözők. A akkor és csak akkor gyöke a p polinomnak, ha osztója p-nek. • 2. Ha p eleme R[x]-nek, nem a nullapolinom és fokszáma n, akkor p-nek legfeljebb n db gyöke van R-ben. • 3. Ha az R[x]-beli p és q legfeljebb n-edfokú polinom helyettesítési értéke legalább n+1 R-beli helyen megegyezik, akkor a két polinom egyenlő.

7. A klasszikus algebra alaptétele és következményei • Alaptétel: • Minden legalább elsőfokú komplex együtthatós polinomnak van komplex gyöke. • Következmények: 1. A -ben egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú. 2. Bármely legalább első fokú -belip polinom felírható a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen (1) alakban, ahol aa polinom főegyütthatója, a gyökei. (Az (1) a p polinom gyöktényezős alakja.) 3. Az -ben egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy olyan másodfokú, melynek nincs valós gyöke.

8. Viѐte képletei • Legyen valós együtthatós n-edfokú (n>0) polinom, gyöktényezős alakja . Ekkor

9. Szimmetrikus polinomok • A többhatározatlanú polinomok közül kitűnnek azok, melyek a határozatlanok semmiféle permutációjával sem változnak. Az ilyen polinomokban valamennyi határozatlan szimmetrikusan szerepel, ezért ezeket szimmetrikus polinomoknak nevezzük. • Pl: • Könnyen látható, hogy két szimmetrikus polinom összege, különbsége, szorzata is szimmetrikus polinom. • Az n-határozatlanú szimmetrikus polinomok tartalmazzák mind az n határozatlant.

10. A határozatlanok elemi szimmetrikus polinomjai

11. A szimmetrikus polinomok alaptétele • Tétel: • Bármely szimmetrikus polinom kifejezhető elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként. • Unicitástétel: • Minden szimmetrikus polinom csak egyféleképpen fejezhető ki elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként.

12. A hatványösszegek felírása elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként, Newton képletei • Az előző egyenlőségek alternáló összege adja az alábbi összefüggést: