Download
1 / 83

اقتصاد خرد (2) دكتر داودي - PowerPoint PPT Presentation


  • 325 Views
  • Uploaded on

اقتصاد خرد (2) دكتر داودي. انواع توابع. توابع مستقيم. انواع توابع:. توابع غير مستقيم. تابع همگن. از نظر ریاضی تابعی را همگن از درجه h گویند که در آن با برابر شدن تمامی متغیرهای مستقل مقدار متغیر تابع برابر گردد، که در آن h درجه همگنی تابع مورد نظر می باشد.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' اقتصاد خرد (2) دكتر داودي ' - morela


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

اقتصاد خرد (2)

دكتر داودي


انواع توابع

توابع مستقيم

انواع توابع:

توابع غير مستقيم

تابع همگن

از نظر ریاضی تابعی را همگن از درجه h گویند که در آن با برابر شدن تمامی متغیرهای مستقل مقدار متغیر تابع برابر گردد، که در آن h درجه همگنی تابع مورد نظر می باشد.

تابع مطلوبیت زیر را در نظر بگیرید:

در صورت همگن بودن این تابع :



اگر تابع مطلوبيت همگن از h باشد MRS را مي‌توان بصورت نسبتي از متغيرها نوشت.


بدست آوردن رابطه اولر: است.

از طرفين نسبت به مشتق مي‌گيريم:

  • در صورتیکه


رابطه اولر براي دو متغيره: است.

رابطه اولر : مجموع حاصلضرب هر كدام از متغيرها در مشتق تابع نسبت به آن متغير برابر است با درجه همگني ضربدر تابع

: براي ‌n متغير


MRS است. تابع همگن، تابعي از نسبت متغيرها مي‌باشد؛ يعني:

X2

B

3

2

A

كشش درآمدي در اين حالت برابر واحد است. براي روشن شدن موضوع به شكل زير توجه كنيد:

X1

O

4

6

X2

I.C.C

B2

B

A2

A

X1

O

A1

B1

M

N


اگر است. I.C.C شعاع باشد كشش درآمدي برابر واحد است.

نتيجه:

كشش درآمدي بدست آمده از هر تابع مطلوبيت همگن برابر واحد خواهد بود.

Px1

.

E

F

.

.

h

X1


ساير خواص تابع همگن: است.

* كشش جانشيني


روابط زير را در نظر بگيريد: است.

با جايگزيني اين سه عبارت در رابطه كشش جانشيني داريم:


(1) است.

كشش جانشيني براي تمام توابع

D

علامت D تعيين كننده تحدب و تقعر منحني بي‌تفاوتي است.


درجه تحدب افزايش است.

كشش جانشيني كاهش

اگر تابع همگن باشد، پرانتز صورت رابطه (1) در واقع رابطه اولر است و مي‌توان معادل آن (درجه همگني ضربدر تابع) را نوشت . لذا:

: براي تابع همگن

اگر تابع همگن از درجه يك باشد، مي توان رابطه كشش جانشيني را بصورت زير نوشت:

(1)

راه ديگر:

اگر تابع u همگن از درجه يك باشد در آن صورت تابع u1 و u2همگن از درجه صفر مي‌شود پس رابطه اولر در مورد u1 و u2 نيز صادق است:



(2) است.

تابع كاپ-داگلاس

: فرم عمومي تابع

: درجه همگني

: درجه همگني


(1) است.

همانطور كه مشاهده مي‌كنيد MRS تابعي از نسبت متغيرها و همگن از درجه صفر است. بنابراين:

  • كشش درآمدي هر تابع كاپ-داگلاس عمومي حتماً برابر واحد است .

  • هر تابع كاپ-داگلاس عمومي حتماً يك تابع هموتتيك هم است .

رابطه اولر

: طبق رابطه (1)


مثال: است.

تابع توليد كاپ- داگلاس:

: رابطه اولر


در حالت كلي: است.

طرفين در P ضرب

ناسازگاري با بازار رقابت كامل

ناسازگاري با بازار رقابت كامل

سازگاري با بازار رقابت كامل

نكته : موارد فوق براي توابع همگن برقرار است.

  • اگر تابع همگن از درجه يك باشد (چه كاپ- داگلاس باشد يا نباشد) شرط اينكه براي حداكثر شدن سود داراي بهينه باشد اين است كه كل درآمد جذب اين دو عامل باشد.

  • اگر تابع همگن از درجه بيشتر از يك باشد درآمدهاي آن كفاف هزينه‌هايش را نمي‌دهد.


. است.

.

.

.

استخدام بيشتر

: نقاط كمتر از بهينه

درآمد

هزينه

: نقاط بيشتر از بهينه

هزينه

درآمد

استخدام كمتر


هزينه براي تابع توليد همگن از درجه ‌h :

براي تابع همگن

از درجه h


نتيجه درجه ‌

  • هر تابع توليد همگن از درجه h نسبت به مقدار عوامل توليد، TCاي مي‌دهد كه همگن از درجه است نسبت به توليد.

  • اگر تابع TC همگن باشد، تابع توليد نيز همگن خواهد بود.


پرداخت به درجه ‌L و K

VMPL

VMPL

ميزان درآمد

L


هزينه فزاينده، درجه ‌

بازده كاهنده

هزينه كاهنده، بازده فزاينده

بازده ثابت

نسبت به مقياس


فرم تعميم يافته تابع كاپ- داگلاس: درجه ‌

توابع غير مستقيم كاپ- داگلاس:

سؤال:

تابع هزينه تابع هموتتيك را بدست آوريد.


تابع هموتتيك درجه ‌

توابعی که شیب منحنی های بی تفاوتی آنها در طول شعاع گذرنده از مبدأ مختصات یکسان باشد را توابع هموتتیک گویند.

X2

  • اینگونه توابع توابعی هستند که نرخ نهایی جانشینی آنها تابعی از نسبت (X2/X1) باشد:

  • تقاضاي بدست آمده از هر تابع هموتتيك داراي كشش‌هاي درآمدي برابر واحد است.

X1

O

  • اگر كشش درآمدي واحد باشد، I.C.C شعاع شده پس MRS همگن از درجه صفر است و در نتيجه تابع هموتتيك خواهد بود.


دو تابع u و v را در نظر بگيريد به نحوي كه v تابعي يكنواخت فزاينده از u باشد:

تابع u همگن است ولي تابع v همگن نيست.


توابع ولي هر تابع هموتتيك لزوماً همگن نيست. به مثال زير توجه كنيد:C.E.S

توابعي هستند كه

اولاً؛ همگن از درجه يك هستند

ثانياً: داراي كشش جانشيني ثابت مي‌باشند.


: تعريف ولي هر تابع هموتتيك لزوماً همگن نيست. به مثال زير توجه كنيد:

  • كشش جانشيني بين دو متغير از صفر تا بي‌نهايت مي‌تواند تغيير كند.


: تعريف ولي هر تابع هموتتيك لزوماً همگن نيست. به مثال زير توجه كنيد:

اگر اين تابع روي يك مطلوبيت ثابت بخواهد حركت كند مي‌توان را بصورت زير فرض كرد:

: فرم تابع C.E.S


به دو صورت ولي هر تابع هموتتيك لزوماً همگن نيست. به مثال زير توجه كنيد:C.E.S به C.E.S تعميم يافته تبديل مي‌شود:


بدست آوردن معادله منحني بي‌تفاوتي توابع CES:


متغير جانشيني بي‌تفاوتي توابع

متغير تكنولوژي

متغير تسهيم

: از طرفي


اگر كشش جانشيني برابر یک باشد: بي‌تفاوتي توابع

تعریف :

تابع کاپ- داگلاس:

نتیجه: در تابع C.E.S وقتی باشد، تابع C.E.S به تابع کاپ- داگلاس تبدیل می شود.


حالت های مختلف تابع بي‌تفاوتي توابع C.E.S:

مبهم

رفع ابهام


این حالتی است که منحنی بی تفاوتی مجانب به خط افقی باشد.

عدد


تابع کاپ- داگلاس مجانب به خط افقی باشد.

مبهم

شکل تابع کاپ- داگلاس بصورت زیر است :

مجانب به سمت محورها



تابع کند. مطلوبیت استون و جری

Stone-Geary – Klein- Robin

مقادير حداقل معيشت

و

پارامترهاي تسهيم

و

(1)


با گرفتن آنتي لگاريتم از رابطه (1): کند.

آنچه كه باعث ايجاد مطلوبيت مي‌شود مازاد مصرف از يك مقدار معين است كه آن مقدار معين حداقل معيشتي است كه مطلوبيتي از آن حاصل نمي‌شود و از آن فقط فرد ارتزاق مي‌كند و اضافه بر آن شروع به ايجاد مطلوبيت مي‌كند. لذا را سطح حداقل معيشت گويند.

بنابراين تابع استون و جري تمام خواص تابع كاپ- داگلاس را دارا مي‌باشد.



عبارت صفحه قبل را مي‌توان بصورت زير نوشت:

مخارج روي كالا

سهمي از درآمد مازاد بر حداقل معيشت

مخارج روي سطح حداقل معيشت

مخارجي كه روي حداقل معيشت انجام مي‌شود.

سهم مخارج روي كالاي 1

سهم مخارج روي كالاي 2


توابع زير نوشت:مطلوبیت تفكيك پذير

Separable Utility function

Non- Addetive

Strongly separable

توابع مطلوبيت تفكيك پذير

Addetive

weakly separable

Addetive

Non- Addetive


1) تابع مطلوبيت قوياً تفكيك پذير زير نوشت:

: شرط

براي همه i ها وj ها

: با توجه به شرط

بنابراين زماني يك تابع قوياً تفكيك پذير است كه MRSهر دو متغير فقط تابعي از آن دو متغير باشد و تابعي از متغيرهاي ديگر نباشد به اين خاصيت، خاصيت قوياً تفكيك پذيري گويند.



3) تابع مطلوبيت بطور ضعيف تفكيك پذير

بنابراين خاصيت تابع بطور ضعيف تفكيك پذير اين است كه MRSبين هر دو متغير انتخابي از گروه اول تابع متغيرهاي گروه دوم نباشد.


سؤال: پذيرفايده تابع بطور ضعيف تفكيك پذير چيست؟

فرض كنيد تابع مطلوبيت زير را داريم:

اگر به نوعي تفكيك پذيري وجود داشته باشد مثلاً مصرف فرد از خوراك، پوشاك و تفريح مستقل از مسكن و اتومبيل باشد؛ در اين صورت MRS بين مسكن و اتومبيل تابعي از خوراك و پوشاك و تفريح نخواهد بود بنابراين تابع مطلوبيت آنها را مي‌توان جدا كرد و رفتار آنها را جداگانه بررسي كرد:

لذا :

به جاي بررسي يك تابع پيچيده، مي‌توان يك تابع ساده را بررسي كرد.


4) تابع مطلوبيت بطور ضعيف تفكيك پذير جمع پذير

مقايسه تابع مطلوبيت قوياً تفكيك پذير جمع پذير با تابع قوياً تفكيك‌پذير

-‌ رفتار بيروني اين دو تابع يكي است (رفتار بيروني را MRS مشخص مي‌كند) ولي رفتار ذهني آنها متفاوت است.

-‌ تابع قوياً جمع پذير تفكيك‌پذير داراي يك رفتار ذهني است كه علاوه بر MRS مطلوبيت نهايي نيز فقط تابع خود متغير است و تابع بقيه متغيرها نيست. در حالي كه در توابع قوياً تفكيك‌پذير اين تنها در مورد MRS صادق است.


سؤال پذير جمع پذير

اثبات كنيد كه در توابع جمع پذير همواره رابطه زير برقرار است:

نكته

كشش قيمت خودي

كشش درآمدي

  • تابع استون و جري يك تابع جمع پذير است لذا رابطه بالا در مورد آن صادق است.

  • تابع كاپ- داگلاس نيز يك تابع جمع پذير است و رابطه بالا در مورد آن صادق است.


توابع پذير جمع پذيرمطلوبیت متعالي

اين تابع بدليل نقصي كه تابع كاپ- داگلاس داشت معرفي شده است. به تابع زير توجه كيند:

مشاهده مي‌كنيد كه كشش توليدي ثابت فرض شده است و در واقعيت لزوماً كشش توليدي ثابت نيست.

تابع متعالي در واقع يك تابع كاپ- داگلاس است كه در آن كشش‌هاي توليدي ثابت نيستند. فرم عمومي آن بشكل زير است:


نقص اين تابع پذير جمع پذير

اگر خطوط مرزي اين تابع محاسبه شود :


زمين پذير جمع پذير

خطوط مرزي

كارگر

يعني در اين نوع توابع به ازاء هر مقدار معيني از هر عامل حداكثر مقدار عامل ديگري كه با عامل ثابت مي‌توان استفاده كرد و حداكثر توليد را بدست آورد تابعي از متغيرها نبوده و يك مقدار ثابتي خواهد بود.

اين موضوع در واقعيت صادق نيست.

در اين نوع توابع كشش توليدي نهاده 1 تابع بكارگيري نهاده 2 نمي‌باشد يعني در واقع عكس‌العمل توليد در قبال تغيير نهاده‌ها متأثر از نهاده مقابل نمي‌باشد.


توابع پذير جمع پذيردمرتين

يكي از توابع معروف در كشاورزي است كه نقص وارد بر تابع متعالي را رفع مي‌كند. فرم عمومي آن بشكل زير مي‌باشد:

كشش‌هاي توليدي تابعي از هر دو متغيرند.


X پذير جمع پذير1 تابعي از X2

X2 تابعي از X1

توابع مطلوبيت ترانسلاگ

Translog Utility function

طبق تعريف كمنتا و تيلور تابع ترنسلاگ از تابع ‍C.E.S استخراج شده است:

: تابع C.E.S


براي بدست آوردن تابع ترنسلاگ را حول بسط مي‌دهيم. ( با قرار دادن از بسط مك‌لورن استفاده مي‌كنيم):


اين تابع همگن از درجه را حول بسط مي‌دهيم. ( با قرار دادن از بسط مك‌لورن استفاده مي‌كنيم):h است. درجه همگني تابع ترانسلاگ بستگي به درجه همگني تابع CES دارد. چنانچه CES همگن از درجه h باشد،تابع ترانسلاگ نيز همگن از درجه h خواهد بود.

در صورت برابر كردن عوامل LnQ تبديل به مي‌شود. پس همگن از درجه h است.

درجه 1

به درجه همگني بستگي دارد:

كشش جانشيني:

درجه h


كشش‌هاي توليدي را حول بسط مي‌دهيم. ( با قرار دادن از بسط مك‌لورن استفاده مي‌كنيم):

توابع مطلوبيت غير مستقيم

متغير تصميم Xi ها


تقاضاهاي بدست آمده را در تابع را حول بسط مي‌دهيم. ( با قرار دادن از بسط مك‌لورن استفاده مي‌كنيم):U قرار مي‌دهيم. مقدار بهينه تابع مطلوبيت بدست مي‌آيد:

تابع مطلوبيت غير مستقيم

در واقع تابع مطلوبيت غير مستقيم همان مقدار بهينه تابع مطلوبيت است.

خواص تابع مطلوبيت غير مستقيم

1- يك تابع پيوسته است.

2- تابع V همگن از درجه صفر است نسبت به قيمت‌ها و درآمد


اگر قيمت‌ها و درآمد دو برابر شود ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و V تغيير نمي‌كند.

3- تابع V تابعي كاهنده نسبت به درآمد نيست. زيرا:

: از F.O.C

برابر يك

زيرا


از طرفي ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و

4- تابع V تابعي فزاينده نسبت به قيمت‌ها نيست. زيرا:

از خط بودجه نسبت به Pjمشتق مي‌گيريم:


نكته: ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و

(2)

(1)

با جايگذاري در رابطه (1)

(3)

به اين سه شكل اتحاد روي گويند.


خاصيت ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و اتحاد روي:

خاصيت اين اتحاد اين است كه بدون داشتن تابع مطلوبيت مستقيم و صرفاً با داشتن تابع مطلوبيت غير مستقيم مي‌توان تقاضا را بدست آورد.

5- تابع مطلوبيت غير مستقيم نسبت به قيمت‌ها شبه محدب است.

يعني شكل منحني‌هاي بي‌تفاوتي غير مستقيم در صفحه P1 و P2 محدب هستند.


. ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و

مقدار v ماكزيمم

.

مقدار v مينيمم


نكته: ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و

پروسه بدست آوردن v دوگان پروسه بدست آوردن u است:


تابع تقاضاي معكوس (غير مستقيم) ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و

اگر I ثابت باشد

اگر در هر دو پروسه I ثابت و يكسان باشد، اگر مقادير بهينه X ها را از پروسه ماكزيمم U بعنوان مقادير ثابت و داده شده در پروسه U در نظر بگيريم و ثانياً وقتي تابع مطلوبيت را بر روي X ماكزيمم مي‌كنيم و تابع مطلوبيت غير مستقيم را بر روي P ها مينيمم مي‌كنيم در اين صورت اين دو پروسه دوگان هم خواهند بود.


پروسه مينيمم كردن ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و V

پروسه ماكزيمم كردن U


S.O.C ها تغيير نمي‌كنند بنابراين تغيير نكرده و در مينيمم كردن V

S.O.C در ماكزيمم كردن U

ماتريس هشين حاشيه‌دار بايد منفي معين باشد، دترمينان ماتريس 3*3 بايد مثبت باشد:

ماتريس هشين حاشيه‌دار بايد مثبت معين باشد، يعني دترمينان همه ماينورها بايد منفي باشد و از 3*3 شروع مي‌شود:


نشان دادن تحدب معادله منحني بي‌تفاوتي تابع مطلوبيت غير مستقيم:

: تابع مطلوبيت

: معادله منحني بي‌تفاوتي


: شرط تحدب بي‌تفاوتي تابع مطلوبيت غير مستقيم:

يعني شرط S.O.C براي min v به اين معني است كه منحني‌هاي بي تفاوتي محدب هستند.

بدست آوردن معادلات هيكس و اسلاتسكي با استفاده از تابع مطلوبيت غير مستقيم:

: در تقاضاي معمولي

: در تقاضاي جبراني


رابطه (1) بي‌تفاوتي تابع مطلوبيت غير مستقيم:

: از طرفين رابطه (1) نسبت به pi مشتق مي‌گيريم

: از اتحاد روي داريم


انواع توابع مطلوبيت غير مستقيم: بي‌تفاوتي تابع مطلوبيت غير مستقيم:

1- تابع كاپ- داگلاس:

: تابع مطلوبيت مستقيم

: تابع مطلوبيت غير مستقيم

خواص :

(1)تابع پيوسته مي‌باشد.


: اتحاد روي بي‌تفاوتي تابع مطلوبيت غير مستقيم:

2 - تابع مطلوبيت غير مستقيم استون و جري:

Indirect addilog utility function

3 - تابع مطلوبيت غير مستقيم آديلاگ:

فرم عمومي تابع بصورت زير است:


4- تابع ترانسلاگ غير مستقيم : بي‌تفاوتي تابع مطلوبيت غير مستقيم:

فرم عمومي اين تابع بصورت زير است:

شرط:


فرم ديگر اين تابع بصورت زير است: بي‌تفاوتي تابع مطلوبيت غير مستقيم:

به عبارت كسري زير توجه نماييد:

سهم مخارج كالا

طبق اتحاد روي = X1


در صورتي كه و و برابر صفر باشند تابع مذكور هموتتيك خواهد بود و ضرايب و سهم مخارج آن كالا مي‌باشد و كشش درآمدي برابر صفر خواهد بود.

در بهينه

در بهينه

Almost Ideal demand system

4- تابع تقاضاي A.I.D.S يا سيستم تقاضاي تقريباً ايده‌آل:

اين تابع در سال 1980 توسط پيپون و مول ارائه شده است. اين تابع در واقع تابع مخارج مي‌باشد. اگر تابع مخارج اولاً نسبت به قيمت‌ها و مطلوبيت كاهشي نباشد و اگر نسبت به قيمت‌ها مقعر و همگن از درجه يك باشد مي‌توان سيستم معادلات تقاضايي را استخراج نمود كه به آن سيستم تقاضاي تقريباً ايده‌آل گويند.


تابع تقاضاي تقريباً‌ ايده‌آل بصورت زير تعريف مي‌شود:

(1)

هزينه فرط خوشحالي

هزينه حداقل معيشت

Expenditure for subsistence

Bliss expenditure

b(p) هزينه زماني كه u برابر يك است.

a(p) هزينه زماني كه u برابر صفر است.

برگشت

به اين نوع توابع، توابع pic Logگويند.

b(p) و a(p) تابعي از قيمت‌ها هستند. اين توابع بايد بگونه‌اي باشند كه تابع مخارج همگن از درجه يك نسبت به قيمت‌ها باشد. اين نوع توابع فرم توابع ترانسلاگ را دارند.



(3) داريم:

از رابطه (2) داريم:


در رابطه (3) به جاي عبارت مي‌توان از تساوي آن استفاده كرد:

نوعي شاخص است و لذا به جاي آن مي‌توان يك شاخص قيمت گذاشت.

مي‌دانيم:

در نهايت اين تابع تخمين زده مي‌شود. در بسياري از اين تحقيقات براي تخمين سهم مخارج از اين تابع استفاده مي‌كنند.


Money Metric Utility function مي‌توان از تساوي آن استفاده كرد:

5- تابع تقاضاي سنجه پولي:

فرض مي‌شود سطح زندگي بوسيله مقدار پول يا درآمد پولي مورد نياز براي تأمين آن سطح زندگي اندازه‌گيري مي‌شود.

نسبت مصرف از دو كالاي x1 و x2

.

.

نقاط روي نمايشي از سطح زندگي فرد است.

سطح زندگي بالاتر

سطح زندگي پايين‌تر

شاخصي از سطح زندگي (A و B) خواهند بود.


در قيمت‌هاي مرجع، هزينه حداقل رسيدن به است و در واقع استفاده از تركيب A در زندگي است.

در قيمت‌هاي مرجع، هزينه حداقل رسيدن به است و در واقع استفاده از تركيب B در زندگي مي‌باشد.

حال اگر هر نقطه دلخواهي مانند h را انتخاب كنيد در اين صورت مخارج بصورت زير خواهد بود:

مي‌توان از بسط تيلور استفاده كرد و بطور تقريبي E را بدست آورد. بدين منظور E را حول قيمت موجود h بسط مي‌دهيم:


اگر صفر را سال مبدأ و حداقل رسيدن به است و در واقع استفاده از تركيب h را سال كنوني در نظر بگيريم و شاخص پاشه را بنويسيم:

بنابراين براي محاسبه سنجه پولي كافي است GDP سال جاري را بر شاخص پاشه تقسيم نماييم.


ad